Fonctions circulaires réciproques

Table des matières

1.Questions de cours 1

2.Exercices 1

2.1.Autour de arcsin et arccos 1

2.2.Autour de l'arctan 2

2.3.Divers 2

1.Questions de cours

  1. Étude globale de xarccos(x).

    cos(arccos(x))=xarccos'(x)=-11-x2 dans ]-1;1[.

    Figure 1. Courbe de xarccos(x).

  2. Étude globale de xarcsin(x).

    sin(arcsin(x))=xarcsin'(x)=11-x2 dans ]-1;1[.

    Figure 2. Courbe de xarcsin(x).

Visualisation :

Figure 3.

2.Exercices

2.1.Autour de arcsin et arccos

  1. Graphe de sin(arccosx).

  2. Étude de f définie par f(x)=arccos(1-2x2) ;

  3. Établir (en la démontrant) la formule donnant la dérivée de la fonction arccos et celle de la focntion arcsin.

  4. Relation entre arccos et arcsin : montrer que pour tout x[-1,1] on a :

    arccosx+arcsinx=π2

    Réponse : dériver...

  5. Courbe sur [-1;1] des fonctions :

    f(x)=cos(arcsinx) g(x)=sin(arccosx)
    h(x)=cos(arccosx) k(x)=sin(arcsinx)
    .

    Réponse : f(x)=1-x2.

  6. Courbe sur [-π;π] des fonctions :

    f(x)=arccos(sinx) g(x)=arcsin(cosx)
    h(x)=arccos(cosx) k(x)=arcsin(sinx)
    .

    Réponse :

    Figure 4.

  7. Résoudre les équations suivantes :

    arccos(3x)=arcsin(2x) arccos(2x)=arcsin(x)
    arcos(4x)=arccos(-x) arcos(2x)=2arcsin(x)
    .

  8. Graphe sur [-π;π] de la fonction f(x)=arccos(2sinx).

2.2.Autour de arctan

  1. Étudier les fonctions a(x)=tanarctanx et b(x)=arctantanx.

  2. Établir que arctan'(x)=11+x2.

  3. Retrouver la formule tan(a+b) à partir des formules { cos(a+b) sin(a+b) . ainsi que la formule tan(2a).

  4. Montrer que pour tout réel x0 on a :

    arctanx+arctan1x=επ2,

    ε désigne le signe de x (c'est-à-dire ε={ 1 si x>0 -1 si x<0. .)…

    1. En étudiant la fonction u(x)=arctanx+arctan1x ;

    2. En utilisant la formule tan(a+b).

  5. Étudier f(x)=arctan(x2)+arctan(1x2).

  6. Étude de f définie par f(x)=arctan(1x) ;

  7. On pose f(x)=arctan(x1-x2). Déterminer une expression plus simple de f(x) :

    1. en posant x=sinθ ;

    2. en exprimant f'(x).

      Réponse :

      Df=]-1;1[ et par les deux méthodes on trouve facilement f(x)=arcsinx.

  8. Calculer arctan2+arctan3 :

    1. en déterminant (1+2)(1+3) ;

    2. avec la formule tan(a+b).

  9. Montrer que 2arctan12=arctan43.

  10. Variations de f définie par f(x)=(x2-1)arctan12x-1.

    Indications :

    1. écrire f'(x)=2xg(x) ;

    2. soit Φ(x)>0 pour tout x avec Φ(x)=2x4-4x3+9x2-4x+1.

    Réponse : dans le dossier scans (cliquer en haut à gauche de l'écran).

2.3.Divers

  1. Voir un peu quoi faire avec ces fonctions :

    1. a(x)=cos(arctanx) b(x)=sin(arctanx)
    2. a(x)=sin(2arcsin(x)) c(x)=arcsin(2x1-x2)
      e(x)=sin(3arctan(x)) f(x)=arctan(tan(x))