Suites définies par un+1=f(un)

Table des matières

1.Méthode générale 1

2.Batterie d'exercices 1

3.Autres exercices 3

4.Homographiques, arithmético-géométriques 3

4.1.Suites homographiques 3

4.1.1.Présentation scolaire (niveau lycée) 3

4.1.2.Cas général (niveau prépa) 4

4.1.3.Cas intermédiaires 5

4.2.Arithmético-géométriques 6

1.Méthode générale

On étudie :

2.Batterie d'exercices

  1. Étudier un+1=4un/3 (partie entière).

  2. Étudier un+1=eun-a, avec a.

    Figure 1. Avec a<1.

  3. Étudier un+1=(un)3.

    Points fixes, monotonie et stabilité faciles.

    Simple et didactique.

    Figure 2.

  4. Étudier un+1=cos(un).

    Figure 3.

  5. Étudier un+1=un-ln(1+(un)2).

    f(x)x facile, point fixe facile, f.

    Figure 4.

  6. Étudier un+1=(un)21+(un)2.

    Facile u2[0;1[ et là, f et un0.

    Figure 5.

  7. Escaliers à trappe…

    Étudier un+1=2un-un avec u0>0.

    Points fixes 0 et 1. Si u0>1 la suite +.

    Si 0<u0<1, la suite décroît jusqu'à ne plus être définie, sauf certains cas

    où elle est stationnaire en 0, ce qui arrive lorsque u0{an,n}, avec { a0=0 an+1=f(an) .

    et f(x)=1+4x+1+8x8.

    Pour info, on a les premiers termes 0,1/4,1/4+3/8… et (an)1.

    Figure 6.

  8. Étudier un+1=un et u0>0.

  9. Étudier la suite un+1=3-2un.

  10. Suite u0=1 et un+1=sin(un) :

    1. Montrer que lim(un)=0.

    2. Connaître le DL ordre 3 du sinus : sinx=x-x36+o(x3).

    3. Exprimer 1(un+1)2-1(un)2 et en déduire un équivalent de (un).

  11. un+1=un+e-un

  12. un+1=un+(un)2

  13. un+1=un+11+(un)2

  14. un+1=un+2un.

  15. On pose f(x)=x+lnx.

    1. Montrer que f est bijective de Df sur .

    2. On pose un=f-1(n).

      1. monotonie, limite ?

      2. montrer que n-lnnunn

  16. On pose u0. Étudier les suites :

    1. un+1=un+(un)2

    2. un+1=un+2un

    3. un+1=ln(1+un).

  17. On pose f(x)=x-e-x2 et la suite { un+1=f(un) u0 ..

  18. Idem avec g(x)=2arctanx+1-π2.

3.Autres exercices

  1. un+1=12(un+aun)a est un réel fixé.

    1. Quelles sont les limites possibles ?

    2. Étudier la fonction f correspondante.

    3. Montrer que Ia=[a;+[ est stable par f. Donc si u0Ia, variations de u ? Convergence ?

    4. Étudier les autres intervalles, à savoir u0]0;a[ ; u0]-a;0[ ; u0]-;-a[.

    5. Recommencer tout sans analyse, juste avec l'algèbre, en posant vn=un-aun+a : démontrer que vn+1=(vn)2. En déduire le terme général de v et donc sa convergence éventuelle puis celle de u

    Réponses : les seuls limites possibles sont ±a

    * si |u0|<a alors |u1|>a ;

    * si u0>a alors (un)a ;

    * même principe pour u0<-a ;

    * suite auxiliaire vn=(v0)2n d'où pour u0>a :

    |un-a|<(un+a)×(v0)2n.

    voir fichier a_un dans le dossier scans

  2. Question ouverte à creuser…

    Étudier la suite (un) définie par un+2=f(un+1+f(un)2) et u0,u1 quelconques.

    1. si I stable par f alors u0,u1I entraîne, par récurrence, que tous les un sont dans I ;

    2. si par hasard u1=f(u0) alors un+1=f(un) ;

    3. si f et u2u1u0 alors (un)

4.Homographiques, arithmético-géométriques

4.1.Suites homographiques

4.1.1.Généralités sur les fonctions homographiques

Notation 1. Pour a,b,c,d, avec c0, on pose f(x)=ax+bcx+d.

Alors f est appelée fonction homographique

On appelle point fixe de f tout réel ou complexe μ tel que f(μ)=μ.

Remarque 2. x0 point fixe de f ssi ax0+bcx0+d=x0 ssi x0 solution de cx2+(d-a)x-b=0.

Notation 3. On définit la suite (un) par la donnée de u0 et par la relation de récurrence :

un+1=f(un).

(un) est une suite dite homographique.

4.1.2.Cas où f possède deux points fixes distincts (réels ou complexes)

Exemple 4. On donne un+1=un-62-un et u0=0.

  1. Prouver que la suite w définie par wn=un-3un+2 est géométrique et en déduire le terme général et la limite de (un).

  2. Recommencer avec la suite w' définie par wn'=un+2un-3.

Solution.

  1. On trouve wn=-32(-4)n, puis un=6(1-(-4)n)2+3(-4)n .

  2. On trouve wn'=-23(-0,25)n puis un=-6(1-(-0,25)n)3+2(-0,25)n .

Question 5. Cas général

On suppose que f possède deux points fixes αβ réels ou complexes. On utilise la suite auxiliaire (vn) définie par :

vn=un-αun-β.

Démontrer que (vn) est géométrique et en déduire le terme général de (un) ainsi que lim(un).

L'ordre α,β ou β,α est indifférent.

Réponse.

Ainsi : vn+1=Kvn avec K=cβ+dcα+d et d'autre part v0=u0-αu0-β.

Ensuite on remplace :

un = α-βvn1-vn = α-βv0Kn1-v0Kn,

de limite :

4.1.3.Cas où f possède un seul point fixe (double)

Exemple 6. On donne un+1=un-13+un et u0=0.

  1. Prouver que la suite w définie par wn=1un+1 est arithmétique et en déduire le terme général et la limite de (un).

Solution.

On trouve vn+1=

Question 7. Cas général

On suppose que f possède un point fixe double γ (donc réel). On utilise la suite auxiliaire (vn) définie par :

vn=1un-γ.

Démontrer que (vn) est arithmétique et en déduire le terme général de (un) ainsi que la valeur de lim(un).

Réponse.

Ainsi : vn+1=K+vn avec K=2ca+d et d'autre part v0=1u0-γ.

Ensuite on remplace :

un = γ+1vn = γ+1v0+Kn,

de limite γ.

4.1.4.Divers

  1. f(x)=a+bc+x.

  2. f(x)=x+32x. Remarque : ff

    .

4.2.Arithmético-géométriques

Trouver le point fixe α de f(x)=ax+b, puis, les deux suites (un) et (vn) étant données avec :

un+1=f(un) et vn=un-α,

avec u0 donné, établir que (vn) est géométrique et en déduire le terme général de (un), dans les cas suivants :

  1. un+1=2un+1 et u0=0.

  2. Cas général en fonction de a,b,u0

    Réponse : un=α+an(u0-α) et α=b1-a.