Suites

Table des matières

Applications de Césaro 4

1.Suites où l'on parle de un+1-un 1

2.Suites où l'on parle de un+1un 2

3.Exercices utilisant la subtilité de la définition de un ou de un+ 2

4.Applications de Césaro. 4

Applications de Césaro 2

5.Suites extraites 2

6.Applications de Bolzano-Weierstrass 3

7.Suites adjacentes 4

8.Vers les séries usuelles 4

9.Suites « encadrées » 3

10.Suites équivalentes et o() 3

11.Double récurrence 3

11.1.Théorie 4

11.2.Exercices 4

12.Divers 5

12.1.Petites limites concrètes 5

13.Suites solutions d'équations 5

14.Suites avec sommes 5

15.Divers 6

1.Suites où l'on parle de un+1-un

  1. un+1-un0, est-ce que (un) converge ?

    Non, prendre un=lnn.

    Remarque 1. Cet exercice simple est une autre manière de dire que vn0vnCV (en prenant vn=un+1-un).

  2. un+1-unα>0 donner un équivalent de un.

    Réponse : utiliser Césaro.

  3. Exercice des petits pas :

    On suppose un+1-un0. Montrer que si (un) possède deux suites extraites : { uφ(n)a uψ(n)b . avec a<b alors, c]a,b[, (un) possède une suite extraite ayant pour limite c.

    (Autrement dit le spectre est un intervalle).

    Pour simplifier l'énoncé on peut prendre un2-1 et un2+1+1.

    Réponse : soit n0 assez grand pour qu'au-delà de lui, |un+1-un|<ε et qu'il existe n,pn0 tels que unb-ε et upa+ε. Supposons p>n et soit n'>n le min des n tels que un<c-ε, alors un'-1[c-ε,c+ε].

2.Suites où l'on parle de un+1un

Dans tout ce paragraphe on considère des suites qui ne s'annulent jamais.

  1. Soit (un) une suite à termes non nuls. On s'intéresse à la convergence de la suite (un+1un). Que dire…

    1. …si (un) CV vers ?

    2. …si (un) CV vers 0 ?

    3. …si (un) CV vers + ?

  2. On suppose que u0>0 et v0>0 et que pour tout n, on a un+1un>0,9 et vn+1vn>1,1. Que dire de la convergence éventuelle de ces deux suites ?

    un=0,99n convient et toute suite qui DV vers + aussi donc on ne peut rien affirmer ;

    mais vnwn(wn) géométrique de raison 1,1 et de premier terme v0 : donc (vn) DV vers +.

  3. Soit (un) une suite à termes non nuls. On s'intéresse à sa convergence. Que dire…

    1. …si (un+1un) CV vers ?

    2. …si (un+1un) CV vers 0 ?

    3. …si (un+1un) CV vers + ?

  4. On suppose que |un+1un|]0;1[. Montrer que un0.

    En choisissant bien ε, on a, à partir d'un certain rang, |un+1un|<+ε<1.

    Donc |un| est majorée par une suite géométrique de raison <1.

  5. On suppose que |un+2un|]0;1[. Montrer que un0.

    D'après ce qui précède, les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers 0, donc, par recollement…

  6. Deux suites u et w étant données, y a-t-il équivalence entre les deux propriétés lim(un-wn)=0 et limunwn=1 ?

    On essaiera les exemples suivants :

    1. { un=cos(n) wn=cos(n)+1n .{ un=1n wn=1n2 .{ un=n wn=n+n ..

  7. Y a-t-il un lien entre les deux propriétés un+1-un0 et un+1un1 ?

    * un=n et un=n2 vérifient un+1un1 mais pas un+1-un0

    * un=2-n c'est le contraire

3.Exercices utilisant la subtilité de la définition de un ou de un+

    (un) bornée et n'admet pas de suite extraite de limite 0, montrer que un0.

    Réponse : supposons que ε>0 tel que n0,n1n0 tel que un1]-ε,ε[. Alors, en posant n1=φ(n0), on a une suite extraite uφ(n) qui, étant bornée, doit avoir une valeur d'adhérence (BW) ce qui est contradictoire avec l'énoncé.

  1. Césaro, montrer. Montrer que la réciproque est vraie dans le cas où (un).

  2. Gendarmes, montrer.

  3. Montrer que toute suite convergente est bornée.

  4. Soient (un) divergente mais bornée, et (vn) convergente vers 0. Prouver que (un×vn) est aussi divergente bornée.

  5. Une suite qui diverge vers + est-elle automatiquement croissante ? Si oui, le démontrer, si non, expliciter un exemple.

  6. Pour a>1 montrer que lim(an)=+.

  7. On suppose que (u2n) et (u2n+1)'. Alors :

    1. si (un), montrer que =' ;

    2. si =', montrer que (un) ;

  8. On considère une suite (un) vérifiant :

    ε>0,n,pn,|up|<ε.

    Est-ce que cela veut dire que lim(un)=0 ?

  9. f: injective. Mq lim(f(n))=+.

  10. Montrer qu'une suite dont toutes les suites extraites sont non-majorées, diverge vers +

  11. Deux suites (un) et (wn), la première tend vers 0 et la seconde vers 0, prouver que leur produit converge vers 0.

  12. Démontrer que si une suite diverge vers +, son inverse converge vers 0.

  13. (un) et (vn) deux suites à valeurs dans [0,1] et telles que un×vn1. Montrer que les deux suites (un) et (vn) convergent vers 1.

    Si ce n'était pas le cas on aurait par exemple un1 donc une sous-suite (uφ(n)) majorée par μ<1 donc uφ(n)×vφ(n)μ contradictoire avec l'hypothèse.

  14. Unicité de la limite

    - soit par l'absurde en prenant ε<|-'|3 ;

    - soit directement par inégalité triangulaire on a |-'||-un|+|un-|2ε et ce pour tout ε>0

  15. Divergence de (cosn) :

    1. Montrer que k,[2kπ+π4;2kπ-π4].

    2. Montrer que la suite (cosn) ne converge pas vers 0.

    3. Montrer que la suite (cosn) ne converge pas.

4.

Applications de Césaro
  1. D'alembertCauchy… si un+1un>0 alors unn.

    Réponse : passer au ln et utiliser Césaro.

  2. On pose vn=u1+2u2++nunn2.

    1. Si un0, montrer que vn0.

    2. Si un, déterminer lim(vn). (Poser un'=un-).

    3. Application : si un+1-unn, déterminer limunn2.

  3. On pose un+1=ln(un) et u0>0.

    1. Étudier la suite (décroissante minorée de limite 0).

    2. Trouver la limite de 1un+1-1un (utilise un DL ordre 2 du ln, on trouve 12).

    3. En déduire un équivalent de un (par Césaro, un2n).

  4. On pose un+1=sin(un) et u0]0;π2[.

    1. Étudier la suite (décroissante minorée de limite 0).

    2. Trouver la limite de 1(un+1)2-1(un)2 (utilise un DL ordre 3 du sin, on trouve 13).

  5. Généralisation un+1=f(un) avec f(x)x et f et f(x)=x+axn+o(xn)

  6. un+1=un+1un, déterminer limite de (un+1)2-(un)2 et en déduire la limite de (un).

5.Suites extraites

  1. Si u2n0, peut-on affirmer que (un) est bornée ?

  2. Si u2n2, peut-on avoir u3n3 ?

    Non, il suffit de regarder (u6n) pour comprendre que (u2n) et (u3n) ont forcément la même limite.

  3. Si (u2n) et (u3n) sont convergentes, (un) est-elle aussi automatiquement CV ?

    Réponse : non il suffit que (u6n+1) soit divergente.

  4. Théorème de recollement.

  5. Soit un qui vaut 0 si n est composé et 1 si n est premier. Montrer que (un) diverge mais que toute suite extraite (ukn)n avec k un entier, converge.

  6. Soit (un) une suite réelle telle que toute suite extraite de (un), si elle converge, converge vers 0. La suite (un) converge-t-elle vers 0 ?

6.Applications de Bolzano-Weierstrass

  1. Montrer qu'une suite d'entiers positifs (pnqn) qui converge vers un irrationnel λ vérifie forcément lim(pn)=lim(qn)=+.

    si (pn) avait une sous-suite bornée, cette sous suite aurait une sous-sous-suite convergente avec pn et donc qnλ contradiction si ce sont des suites d'entiers.

  2. Mq si (un) majorée alors (un) CV.

    Remarque 2. on peut aussi utiliser la propriété de la borne supérieure.

  3. (un) bornée vérifie : α0,ε>0,nα/nnα,un]α-ε,α+ε[. Que dire de la convergence de (un) ?

    Supposons que un0 alors il existe une sous-suite hors d'un ]-ε,ε[ et (*) celle-ci devrait avoir des sous-suites convergentes mais l'énoncé l'empêche.

    Avec BL : on reprend à (*), on extrait un sous-recouvrement fini de α[m,M]\]-ε,ε[]α-εα,α+εα[ et à partir de max(nα) (qui existe puisque fini), la suite ne peut plus être nulle part…

7.Suites adjacentes

  1. Le théorème : Si (un) et (vn) et vn-un0, montrer que (un) et (vn) tendent vers la même limite.

    Démo rapide : (un) ne peut diverger vers + sinon un-vnun-v0+.Or, une suite croissante soit diverge vers + soit converge.

    Cette démo utilise le principe majorée CV qui est pris comme axiome.

  2. Montrer que les deux suites un=k=0n1k! et wn=un+1n×n! ont une limite commune.

  3. 0<v0<u0 et pour tout n :

    un+1=un+vn2 et vn+1=unvn

    Montrer que les deux suites convergent vers la même limite.

    On trouve un-vn=12(vn-1-un-1)2 positif, puis rapidement (un) minorée donc CV vers a et (vn) majorée donc CV vers b donc a-b=12(a-b)2 d'où en posant λ=ab si b0 :

    λ2-1=12(λ-1)2λ2+2λ-3=0λ=1.

    Il y a plus rapide : un+1=un+vn2 donc a=a+b2a=b.

  4. Étudier un=(1+1n)n et vn=(1+1n)n+1.

    Réponse :

    Méthode 1 : un+1un=exp(f(n))f est une fonction compliquée dont on établit, après un certain calcul… que f''(x)=3x+4x(x+1)2(x+2)2>0 dans . Donc f' et vu que limx+f'(x)=0 on a f'<0 donc f. De même, limx+f(x)=0 donc f>0. Ainsi, (un) est croissante.

    Méthode 2 : on montre directement que g:x(1+1x)x est croissante pour établir (un) croissante.

    De la même manière (vn) décroît.

    Clairement, une et vne aussi.

    Exemple (1110)10<e<(1110)11.

8.Vers les séries usuelles

  1. On pose qn=1+122++1n2. On souhaite montrer de plusieurs manières que (un) CV.

    1. En montrant que les suites (qn) et (wn) définie par wn=qn+1n sont adjacentes.

    2. En montrant que pour tout n2, on a 1n21n-1-1n.

    3. En montrant que 122++1n21ndxx2.

  2. On pose hn=1+12++1n. On souhaite montrer de plusieurs manières que (hn-ln(n)) CV.

    1. En montrant que ln(n+1)<hn<1+ln(n) (par intégration ?)

    2. En montrant que (hn-ln(n)) et (hn-ln(n+1)) sont adjacentes.

  3. si |un+1-un|<1n est-ce que (un) CV ? Même question avec |un+1-un|<1n2.

9.Suites « encadrées »

  1. Autour d'un quart :

    1. Montrer que pour tout x réel, x(1-x)14.

    2. Soit un une suite vérifiant :

      1. pour tout n, 0un1.

      2. pour tout n, un+1(1-un)>14.

      Montrer, par une astuce, que (un) est croissante. Quelle est alors sa limite ?

      Réponse : un+1un>1/4un(1-un)>1 ou plus simple : { un(1-un)14 un+1(1-un)>14 .implique logiquement que un+1>un.

  2. Deux suites (un) et (vn) sont telles que pour tout n, 0un1 et 0vn1. On suppose que un×vn1. Montrer que (un) et (vn) convergent.

10.Suites équivalentes et o()

  1. À propos des équivalences :

    1. Donner deux suites équivalentes entre elles mais non convergentes.

    2. Donner deux suites équivalentes entre elles mais dont la différence ne tend pas vers 0.

    3. Donner deux suites non équivalentes entre elles mais dont la différence tend vers 0.

  2. Si unvn, a-t-on :

  3. A-t-on équivalence entre un+1-un0 et un+1un1 ?

  4. Si un+ et si vn=o(un) montrer que un-vn+.

  5. Si unun' et vnvn', a-t-on automatiquement un+un'vn+vn' ?

  6. unvn et (un) bornée montrer que (vn) bornée (les suites sont supposées ne pas s'annuler)

    |un|M et 0,9vnun1,1 donc |vn|1,1M

  7. On suppose que un1+un, que dire de (un) ?

    On a 1+unun=1un+11 donc 1un0 donc un a pour limite + ou - ou un « mix des deux » style (-1)n×n.

11.Double récurrence

11.1.Théorie

On pose E l'ensemble des suites u vérifiant un+1=un+un-1.

  1. Soit φ:{ E2 u(u0,u1) .. Montrer que φ est un isomorphisme d'e.v. et en déduire la dimension de E.

  2. Trouver une base de E formée de suites géométriques.

  3. En déduire le terme général de la suite de Fibonacci qui est la suite de E vérifiant u0=u1=1.

11.2.Exercices

  1. On définit la suite (un) par :

    a) Trouver α,β tels que pour tout n{0;1;2}, un=αn+βn (indication : se souvenir de la méthode pour trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit).

    b) Montrer par récurrence que la formule est en fait valable pour tout n0.

  2. Terme général de { v0=1 v1=3 vn+2=4vn+1-4vn .. Réponse : vn=2n(1+n2).

  3. Terme général de { un+2=un+1+un u0=u1=1. .En déduire lim(un) et lim(un+1un)

  4. (Cas où Δ=0). On donne { v0=a v1=b vn+2=2μvn+1-μ2vn ..

    1. Montrer que vn=μn et wn=nμn vérifient la relation de récurrence.

      Réponse : vn=aμn+(bμ-a)nμn.

      On peut prendre des exemples en exercice avec b=0 ou a=0 ou a=μ2 et b=μ2.

  5. (Cas où Δ<0).

    1. un+2=2un+1-3un : on trouve un=α(1+2)n+β(1-2)n.

      1. Avec {

        u0=1
        u1=1
        . cela donne { α = 1/2 β = 1/2 . .

      2. Avec {

        u0=1
        u1=2
        . cela donne { α = 12-24 β = 12+24 . .

    2. un+2=un+1-un : on trouve un=αenπ3+βe-nπ3.

  6. (Comparaison Fibo et Arithmético-Géométrique)

    On pose :

    { wn+2=3wn+1-2wn un+1=3un-2. .

    Déterminer laquelle des deux domine l'autre.

    On trouve :

    un = 1+3n(u0-1) wn = (2w0-w1)+2n(w1-w0).

    donc :

  7. Terme général de un+1=aun+bun-1 et { u0=c u1=d . avec :

    1. { a=2 b=3 c=2 d=-3 .{ a=-2 b=0 c=-1 d=0 .{ a=-1 b=-5 c=0 d=1 . et on peut en inventer d'autres…

12.Divers

12.1.Petites limites concrètes

  1. Donner la limite des suites :

    1. un=n

    2. un=n2+2n+4-n

    3. un=( n 5 )

    4. un=(n+1)a-(n-1)a, discuter suivant les valeurs de a.

      a lim(un)
      a<0 0 par différence
      0 0 constante
      1/2 0 par expression conjuguée
      1 2 stationnaire

      à finir… On peut prendre a{-12;0;1;12;32}.

  2. limn(1+2n)-2nlimn(1-2n)+2nlimn(1+2n2)-n/4limn(1-2n)-n2

  3. limn(1-2n)+2nlimn(1-2n2)-2nlimn(1-2nα)+2nβ discuter suivant α,β.

  4. (un) et (un)2 converge, est-ce que (un) converge ?

    si n0/un0>0 alors un>0 pour nn0, tandis que si un tel n0 n'existe pas, cela veut dire que un0 pour tout n. Et à signe constant, la convergence de (un)2 est équivalente à celle de (un).

13.Suites solutions d'équations

Section à terminer

  1. Pour n, on appelle un l'unique solution réelle de l'équation :

    x3+5x-n=0 .

    .

    1. Prouver que la définition est cohérente.

    2. Prouver que un0.

    3. Prouver que unn3.

    4. Trouver limn+unn.

    5. Trouver un équivalent de un.

    Réponse :

  2. ( ouverte ) On appelle un l'unique solution de

    xn=x+n
    .

    1. Montrer que la définition a un sens.

      Variations de fn(x)=xn-x-n sur [1;+[:on a x 1un+ fn -n+ .

    2. Montrer que un1.

      Réponse : Soit ε>0. Alors limnfn(1+ε)=, donc à partir d'un certain rang un]1;1+ε[.

    3. Monotonie ? non résolu

      Montrer que un+1<un revient à montrer que fn(un+1)<0, ce qui amène à r(un+1)<0 avec r(x)=-x2+(1-n)x+(n+1) mais au final cela amène à montrer que un+1>12(1-n+(n+1)2+4) et là on n'en sait rien…

  3. Pour n3, on appelle un l'unique solution dans ]0,1[ de l'équation :

    xn+1=nx
    1. Montrer que (un) est bien définie.

    2. Montrer que n2, 0un2n.

    3. Déterminer lim(un) puis lim(un)n, et en déduire un équivalent simple de un.

      Réponse :

      a) si fn(x)=xn+1-nx alors fn'(x)=n(xn-1-1), croissant de -n vers + d'où f avec un min en x=1 et f(1)=2-n<0 et f(0)=1>0 et lim+f=+ donc fn s'annule deux fois, une fois dans ]0,1[ et une fois dans ]1;[.

      b) fn(2n)<0 donc un]0;2n[.

      c)

      à terminer

14.Suites avec sommes

  1. On pose pour n1 :

    un=k=1n1n+k

    montrer que (un) est croissante et majorée.

    Montrer ensuite que pour tout x>1 on a lnx+1x1xlnxx-1, en déduire la limite de (un).

    un+1-un=12n+2+12n+1-1n+1=-12n+2+12n+1=1(2n+2)(2n+1)>0.

    unnn+1<1.

    lnx+1x1x se prouve par ln(1+a)a (concavité du ln) et 1xlnxx-1 par -aln(1-a) ce qui revient au même.

    On en déduit ln(2n+1)-ln(n+1)unln(2) donc lim(un)=ln(2).

  2. On pose :

    un=k=0n1n2+n+k

    majorer et minorer (un). En déduire sa limite, puis montrer qu'elle est équivalente à une suite de la forme wn=kn avec un certain k.

  3. On pose un=k=1nk5 et vn=n7, montrer que (vn) domine (un).

15.Divers

  1. Soit f: vérifiant x,f(2x-f(x))=x, et soit une suite définie par la donnée de u0 et par la relation de récurrence un+1=f(un). Montrer que (un) est arithmétique et en déduire f.

  2. Montrer que la suite un=n+(-2)n n'a pas de limite.

  3. On suppose démontrée l'existence de la partie entière d'un réel.

    Démontrer que pour tous réels x<y il existe un a=p2n, avec p,q, tel que x<a<y.

  4. Si (un) bornée, est-ce que {un} admet un sup ? un max ?

    Un sup oui, comme toute partie majorée de ; un max, pas forcément : un=1-1n.

  5. Étudier la suite :

    un+1=un+abun-1

    indications : ff(x). (on trouve (u2n) et (u2n+1) constantes).

  6. Montrer que les deux suites un=(5n-12)2 et vn=(4n+12)2 vérifient unαvn avec un certain α. Convergent-elles ?

  7. On pose lim(un)=infn(supknuk). Trouver lim(un) pour les suites suivantes :

  8. Si (un)2 et (un)3 CV, Mq un CV.

  9. Donner la limite des suites :

    1. un=n

    2. un=n2+2n+4-n

    3. un=( n 5 )

    4. un=(n+1)a-(n-1)a suivant les valeurs de a{-12;0;1;12;32}.