Séries

Table des matières

1.Études de cas concrets 1

1.1.Avec des DL 1

1.2.Avec d'autres critères 2

1.3.Méthode télescopique 2

1.4.Séries alternées sans utiliser les critères des séries alternées 2

2.Critères usuels 3

2.1.Présentation 3

2.2.Démonstration 3

2.2.1.d'Alembert dans le cas 0<1 3

2.2.2.Cauchy dans le cas 0<1 3

2.2.3.Raabe-Duhamel dans le cas 0<1 3

2.2.4.Raabe-Duhamel dans le cas >1 3

2.3.Comparaison 4

2.4.Applications 4

3.Petits exercices théoriques 5

4.Calculs effectifs 5

5.Produits de Cauchy de séries 5

6.Séries de Riemann 5

6.1.La série harmonique 5

6.1.1.Divergence de la série harmonique, plusieurs méthodes 5

6.1.2.Équivalent 6

6.2.La somme des inverses des carrés 6

7.Séries de Bertrand 6

8.Séries alternées 7

8.1.Critères 7

8.1.1.Égalité d'Abel 7

8.1.2.Application : critères d'Abel 7

8.1.3.Critères de Leibniz 7

8.1.4.Abel généralisé 7

1.Études de cas concrets

1.1.Avec des DL

Étudier la nature de un dans les cas suivants :

  1. un=(cos1n)n-1e ; réponse : un-112ne donc un DV.

  2. un=e-(1+1n)n ; réponse : on remarque que un0, puis une2n donc un DV.

  3. un=1n-n ; réponse : un1n donc un DV. Réponse plus rapide avec une expression conjuguée, on a tout de suite l'équivalent.

  4. un=1ln(n)ln(chn) ; réponse : un1nlnn Bertrand un DV.

  5. un=(n-1n+1)na, discuter suivant α.

    Réponse : déjà le DL de un :

    ln(n-1n+1) = -2n-23n3+o(1n3) donc nαln(n-1n+1) = -2nα-1-23nα-3+o(nα-3) donc un=(n-1n+1)na = e-2nα-1×e-23nα-3+o(nα-3).

    Donc si α1 , un0 : DV grossière. Supposons maintenant

    α>1
    .

    À partir d'un certain rang, on a : un<e-2nα-1 .

    Or, pour tout k>0, on peut toujours majorer nk>lnn à partir d'un certain rang.

    Ainsi, à partir d'un certain rang, un<1n2 donc un CV.

1.2.Avec d'autres critères

Étudier la nature de un dans les cas suivants :

  1. un=nk(n-1)! ;

    Réponse : n2un=nk+3n!0 quelle que soit la valeur de k. Ainsi un CV. On pouvait aussi utiliser d'Alembert (ou sûrement aussi Cauchy avec Stirling).

1.3.Méthode télescopique

On la retrouve aussi dans le paragraphe « 6.1 série harmonique ».

  1. La suite un=(k=1nlnk)-(n+12)lnn+n admet-elle une limite finie ?

    Réponse : oui car un+1-un14n2. Remarque : la comparaison avec une intégrale ne donne rien.

  2. Calculer i=20401i(i+1) .

  3. Déterminer i=0100k3 en trouvant un polynôme P de degré 4 vérifiant pour tout x :

    P(x+1)-P(x)=x3.
  4. Déterminer i=0100k4 en trouvant un polynôme P de degré 4 vérifiant pour tout x :

    P(x+1)-P(x)=x4.

1.4.Séries alternées sans utiliser les critères des séries alternées

On demande la nature de un dans les cas suivants :

  1. Une suite qui fournit des contre exemples intéressants

    1. un=(-1)nnα.

      Réponse : un+un+1=αnα+1+o(1nα+1) donc un CV ssi α>1.

      Remarque : pour α=1/2 on peut utiliser une expression conjuguée.

    2. On prend désormais α=1/2.

      1. Montrer que un CV mais que ln(1+un) DV.

      2. On pose vn=un+1-un et wn=vn+1n. Montrer que vnwn mais que vn CV alors que wn DV.

2.Critères usuels

2.1.Présentation

Pour tous ces critères, on exibe un réel et :

Calcul du :

(D'Alembert) est la limite éventuelle de un+1un.

(Cauchy) est la limite éventuelle de (un)1n.

(Raabe Duhamel) est le coefficient éventuel dans un+1un=1-n+o(1n).

Remarque : Les séries de Riemann 1nα sont un exemple typique où =1 pour d'Alembert de Cauchy tandis que =α pour Raabe-Duhamel.

2.2.Démonstration

2.2.1.d'Alembert dans le cas 0<1

2.2.2.Cauchy dans le cas 0<1

2.2.3.Raabe-Duhamel dans le cas 0<1

À partir d'un certain rang, un+1un<1-'n<1 avec un certain '];1[, soit un<uN×Nn+1(1-α'n)

et le produit diverge vers 0 (son ln diverge vers -).

2.2.4.Raabe-Duhamel dans le cas >1

2.3.Comparaison

  1. d'Alembert Cauchy

    Si un+1un a une limite finie , alors (un)1n a aussi une limite finie et c'est aussi.

    Autrement dit : Si d'Alembert permet de conclure, alors Cauchy aussi.

    Démonstration, première rédaction :

    À partir d'un certain rang n0 on a -εun+1un+ε donc pour tout n=n0+k :

    (l-ε)k×un0un(l+ε)k×un0 (l-ε)kn-ε×(un0)1n1(un)1n(l+ε)kn+ε×(un0)1n1.

    Démonstration, seconde rédaction :

    Écrire d'Alembert entre N(ε) et n : (α-ε)n-Nun+1uN(ε)(α+ε)n-N avec α+ε<1 ou α-ε>1 suivant le cas, et sommer.

  2. Cauchy d'Alembert

    Il suffit de prendre un=b(-1)n-n avec b>0 quelconque.

    Alors Cauchy nous donne un =1b tandis que d'Alembert alterne entre b et 1b3.

  3. Raabe Duhamel n'a de sens que lorsque α=1 pour d'Alembert.

2.4.Applications

suite d'Alembert Cauchy Raabe-Duhamel
un=xnn! =0

=0

par Stirling

un=(-1)nnk =1 =1
un=1xn+1xn {
<1 si x1
=1 si x=1
.
un=n!nn =1e
un=nkzn (avec z) =1z
un=(nn+1)n2 long… =1e =1e
un=nlnn(lnn)n voir… =0
un=(2n+13n+4)n =23
un=(3n+13n+4)n =1
wn=1nlnβn (Bertrand) =1 =1 =1
un=1nβ (Riemann) =1 =1 =β
un=2(-1)n2n

un+1un alterne

entre 1/4 et 1

=12 X

3.Petits exercices théoriques

  1. Trouver une suite (un) telle que (nun) ne tende pas vers 0 mais pourtant n0un converge.

  2. Avec la moyenne géométrique

    1. Comparer moyenne arithmétique et moyenne géométrique de deux réels a,b positifs.

      Réponse : aba+b2 en élevant au carré.

    2. Si la série de terme général (un) converge, que dire de la série de terme général unn ?

      Réponse : on prend a=un et b=1n2.

    3. Soit (un) à termes strictement positifs. Montrer que parmi les deux séries un et 1un, l'une au moins diverge.

      Réponse : on prend a=un et b=1un d'où un+1un2 et donc (un+1un) diverge. Il n'est donc pas possible que un et 1un convergent toutes les deux.

4.Calculs effectifs

  1. Des sommes alternées

    1. Prouver que k1(-1)k-1k=ln2. (Écrire 1k sous forme d'une intégrale 01g(t)dt).

      Réponse :

      k=1n(-1)k-1k = k=1n01(-1)k-1tk-1dt = 01(1-t+t2++(-1)n-1tn-1)dt n+ 0dt1+t=ln2.

    2. Prouver que k0(-1)k2k+1=π4.

5.Produits de Cauchy de séries

Donner la valeur exacte de la somme puis effectuer le produit de séries :

  1. A=(2-n)2. Réponse : A=4=(n+1)2-n (on peut retrouver ça avec un DSE).

  2. B=(1n2)(1n!). Réponse : B=eπ26=p11p2(n-p)!.

6.Séries de Riemann

6.1.La série harmonique

Pour totu n , on pose

Hn=1+12++1n
.

6.1.1.Divergence de la série harmonique, plusieurs méthodes

  1. Il est facile de montrer que H2n-Hn>12 d'où H2n>1+n2.

  2. On peut aussi voir que 1nln(n+1)-ln(n) d'où, par télescopage, Hn de même nature que lnn.

  3. Voir aussi Mengoli : 1n-1+1n+1n+1>3n d'oùH3n+1>1+3Hn : très joli.

  4. Évidemment, on peut comparer la série à une intégrale.

6.1.2.Équivalent

  1. Montrer que un=Hn-lnn a une limite finie γ.

    Réponse : un+1-un-12n2 puis par télescopage on a (un) de même nature que 12n2 donc CV.

6.2.La somme des inverses des carrés

  1. Calcul effectif de la somme n11n2

    1. Trouver a,b tels que n, 1n2=0π(at2+bt)cos(nt)dt.

    2. Montrer que pour tout t]o;π], on a :

      k=1ncos(kt)=sin((2n+1)t2)2sin(t2)-12.
    3. Montrer que si g est une fonction C1 sur [a,b], alors :

      limn+abg(t)sin(nt)dt=0

      (lemme de Lebesgue).

    4. En déduire la valeur de n11n2.

  2. Équivalent d'un reste

    Pour n>0 on pose :

    Rn=k=n+1+1n2.

    Étudier la convergence de (Rn) et en donner un équivalent (exercice 15).

7.Séries de Bertrand

α,β étant donnés, on pose pour tout n2 :

un=1nαlnβn.

On s'intéresse à la série Vn=k=2nuk.

  1. Pour α=2 et β=-1 montrer que V converge.

  2. Pour α=12 et β=2 montrer que V diverge.

  3. Si α<1 montrer que V diverge.

  4. Si α>1 montrer que V converge.

  5. On suppose α=1 :

    1. Si β0 montrer que V diverge.

    2. En comparant avec une intégrale, montrer que si β>1, alors V converge.

    3. Si β=1 montrer que V diverge.

    4. Que conclure si 0<β<1 ?

  6. Faire un schéma récapitulatif des différents cas.

8.Séries alternées

8.1.Critères

8.1.1.Égalité d'Abel

On pose SN=n=0Nanbn et BN=n=0Nbn. Alors :

SN=aNBN-n=0N-1Bn(an+1-an).

8.1.2.Application : critères d'Abel

8.1.3.Critères de Leibniz

Si |un|0 (et (un) alternée) alors un converge (les suites (u2n) et (u2n+1) sont adjacentes).

8.1.4.Abel généralisé

Pour x>0, on pose N=x et S(x)=n=1Nanφ(n) et A(x)=n=1Nan. Alors :

S(x) = ANφ(N)-1NA(t)φ'(t)dt = A(x)φ(x)-1xA(t)φ'(t)dt