Variables aléatoires discrètes

Table des matières

1.théorie 1

1.1.Moment d'ordre n 1

2.Lois discrètes usuelles 1

2.1.Loi binomiale 2

2.2.Loi de Poisson 2

3.Exercices divers 2

3.1.La n-ième occurrence (loi de Pascal, ou binomiale négative) 3

3.1.1.La n-ième occurrence 3

3.2.Divers 3

3.3.Pile et face 3

3.3.1.le nombre impair 3

3.3.2.de plus en plus de tirages 4

3.4.Tirer une boule déjà tirée 4

3.5.Max des boules tirées 5

3.6.Nombre d'urnes vides (ou nombre d'urnes pleines) 5

3.6.1.r boules dans n urnes 5

3.6.2.L'ascenseur 6

3.6.3.Urnes de plus en plus grandes 6

3.7.Nombre de numéros distincts 6

4.Tribus 6

5.Utilisation de Markov & Tchebychev-BienAymé 7

1.théorie

1.1.Moment d'ordre n

On pose mn=k0knpk=E(Xn).

Le moment centré d'ordre 2 est la variance car :

E((X-μ)2) = (k-μ)2pk = k2pk-2μkpk+μ2pk = E(X2)-2μE(X)-2μ2+μ2 = E(X2)-E2(X).

1.2.Fonctions génératrices

Pour X une variable aléatoire discrète à valeurs dans (c'est-à-dire Ω), on pose :

gX(z)=k0p(X=k)zk=E(zX).

Si l'on évalue en 0 et en 1, on a toujours :

On a aussi facilement :

Par produit de Cauchy de deux séries, on a, lorsque X et Y sont indépendantes :

gX+Y(s)=gX(s)×gY(s).

1.2.1.Les dés truqués

On tire deux dés truqués X et Y (p1,,p6 pour le premier et q1,,q6 pour le second). On se demande si la loi de X+Y peut être uniforme. Montrer que c'est impossible en utilisant les fonctions génératrices.

Réponse : gX(z)=p1z++p6z6 et gY(z)=q1z++q6z6 donc :

gXgY(z)=z2(p1++p6z5)(q1++q6z5),

or la fonction génératrice d'une loi uniforme sur [|2;12|] est gU(z)=111z2(1+z++z10) (car les probabilités d'avoir 2,3,,12 sont toutes égales à 111).

On aurait donc p6q6=111 donc tous deux non nuls donc les deux polynômes de degré 5 ci-dessus admettent au moins une racine réelle chacun.

De même, p1q1=111 donc tous deux non nuls donc ces deux racines réelles sont non nulles.

Or, 1+z++z10=1-z111-z ne s'annulle jamais sur donc gU(z) ne peut s'annuler qu'en 0…

1.2.2.Tirage dans une urne

On tire n fois avec remise une boule dans une urne qui en contient 4 : les quatre boules rapportent respectivement 0,1,1,2 points. Soit S la somme des points obtenus. Par la fonction génératrice, déterminer la loi de S.

Réponse : si X est un seul tirage, alors gX(z)=14(1+2z+z2) donc gS(z)=14n(1+z)2n, fonction de répartition d'une loi binomiale B(n,12).

1.2.3.n-ième occurence

On tire à pile ou face (p la probabilité d'avoir pile) jusqu'à obtenir m fois « pile » et l'on note Tm le numéro du dernier tirage (qui a donc donné un « pile »).

On rappelle que la loi de Tm est :

p(Tm=k)=( k-1 m-1 )pm(1-p)k-m.

Déterminer la fonction gTm(z) et en déduire E(Tm). On pensera à développer 1(1-t)m.

On pourra utiliser le résultat suivant :

Pour tous entiers n,m on a ( -m n )=( n+m-1 n )×(-1)n.

Pour le résultat intermédiaire on a :

-m(-m-1)(-m-n+1)n!=(-1)n×m(m+1)(m+n-1)n!.

Ensuite,

gTm(z)=n0( n-1 m-1 )pm(1-p)n-mtn,

que l'on identifie à

1(1-t)m = n0( -m n )tn = n0( n+m-1 n )(-t)n n0( n+m-1 m-1 )(-t)n,

d'où gTm(z)=(pt)m(1-(1-p)t)m d'où E(Tm)=mp.

2.Lois discrètes usuelles

2.1.Loi binomiale

On suppose que XB(n,p).

  1. Démontrer E(X)=np :

    1. dans le cas n=2 ;

    2. dans le cas général (transformer k( n k ) en quelque chose de la forme n( )).

  2. Calculer p(X pair) et p(X impair).

2.2.Loi de Poisson

On suppose que XP(λ).

  1. Déterminer E(X1+X).

    Réponse : X1+X=1-11+X donc :

    E(X1+X) = 1-e-λk0λkk!×11+k = 1-1λk0e-λλk+1(k+1)! = 1-1λ(1-e-λ)

3.Exercices divers

3.1.La n-ième occurrence (loi de Pascal, ou binomiale négative)

3.1.1.La n-ième occurrence

Soit x]0,1[.

On tire à pile ou face avec une pièce truquée (p(pile)=1-x).

Les tirages sont en nombre illimité et indépendants les uns des autres.

On note Tn le rang du n-ième pile.

Habillage formel de l'exercice :

Les Pn pour n sont mutuellement indépendants et suivent B(1-x).

On pose Tn=inf{k/Sk=n}.

  1. On demande la loi et l'espérance de Tn.

  2. On demande l'espérance de (Tn)(1+Tn), puis la variance V(Tn).

Réponse

SnB(n,1-x)

Tn(Ω)=[|n;+|[ et, pour tout k0, p(Tn=n+k)=( k+n-1 n-1 )choix des n-1 piles(1-x)nn pilesxkk faces.

On peut aussi écrire :

p(Tn=k)=( k-1 n-1 )(1-x)nxk-n

Loi de Pascal

Calcul de l'espérance :

E(Tn) = k0(n+k)( n+k-1 n-1 )(1-x)nxk = 1(n-1)!(1-x)nk0(n+k)(n+k-1)(k+2)(k+1)xk = 1(n-1)!(1-x)n(k0xk+n)(n) = 1(n-1)!(1-x)n(k0xk)(n) car les 1,x,…,x^(n-1) ont une dérivée nième nulle = 1(n-1)!(1-x)n×2×3××n(1-x)n+1 = n1-x .

Si x0, alors, à n fixé, E(Tn)n, logique car si l'on ne tire que des pile, le n-ième pile sera le n-ème tirage. Si x1, alors, à n fixé, E(Tn), logique car si l'on ne tire quasiment que des face, il faudra attendre longtemps pour le n-ième pile.

Voir aussi dans le paragraphe 1.2 « fonctions génératrices ».

3.2.Divers

  1. On choisit λ, puis, pour tout n, on pose :

    p(X=n)=λn(n+1)(n+2).
    1. Cela définit-il vraiment une variable aléatoire ? Si oui, pour quelle valeur de λ ?

    2. Dans ce cas, X admet-elle une espérance ? une variance ?

    Réponse :

  2. Une cible et n fléchettes qui arrivent sur la cible.

    Figure 1. La cible.

    1. On suppose AE=1 et on pose AF=x et AG=y. Calculer x et y pour que les trois zones (le disque central et chacune des deux bandes) soient de même aire.

    2. On suppose que chaque fléchette a la même probabilité de tomber sur chacune des trois zones, et l'on note X la variable aléatoire qui donne le nombre de zones vides. Donner la loi de X.

    Réponse :

3.3.Pile et face

3.3.1.le nombre impair

On lance (2n+1) pièces de monnaie non truquées, soient A,B le nombre respectif de piles et de faces, et X celui parmi A et B qui est impair. Loi de X, puis E(X).

On peut aussi parler de jetons blancs d'un côté, noirs de l'autre.

Réponse

On a :

p(X=2k+1) = p(A=2k+1)+p(B=2k+1) = ( 2n+1 2k+1 )×122n (lois binomiales)

(A et B suivent la loi binomiale) mais on ne peut pas appliquer la formule de l'espérance car X ne prend pas toutes les valeurs dans {0,,2n+1}.

Ainsi :

E(X) = k=0n(2k+1)( 2n+1 2k+1 )×122n = 2n+122nk=0n( 2n 2k ) (formule du pion) = 2n+122

(pour la dernière ligne, voir le fichier dénombrement).

3.3.2.de plus en plus de tirages

Première partie : un joueur tire une pièce à pile ou face, s'il obtient pile il s'arrête.

Puis, seconde partie : il tire deux pièces à pile ou face, s'il obtient un pile il s'arrête.

Puis, troisième partie : il tire trois pièces, et ainsi de suite.

On note X le nombre de parties. Loi de X ?

Réponse

Pour k0, on a :

p(X>k)=120×121×122××12k.

On vérifie que p(X>1)=1-p(X=1)=12 et que p(X>0)=120=1.

Donc :

E(X)=k0p(X>k)=k012k(k+1)/2.

3.4.Tirer une boule déjà tirée

Une urne contient n2 boules. On tire une boule avec remise jusqu'au N-ième tirage lors duquel on tombe sur une boule déjà tirée précédemment. Déterminer N(Ω),p(N>k), puis la loi de N.

Réponse

On peut remarquer que E(N)=k1p(N>k)=k1Anknk.

3.5.Max des boules tirées

Une urne contient des boules numérotées de 1 à m. On tire n fois avec remise et on note Sn le numéro maximal tiré. Loi et espérance de Sn ?

Réponse

p(Sni)=(im)n donc p(Sn=i)=(im)n-(i-1m)n puis :

E(Sn) = i=1mp(Sni) = i=1m(1-p(Sni-1)) = i=1m(1-(iN)n) = m-i=1N(im)n.

3.6.Nombre d'urnes vides (ou nombre d'urnes pleines)

Les deux exercices « r boules dans n urnes » et « l'ascenseur » sont les mêmes sous des habillages différents.

3.6.1.r boules dans n urnes

n urnes opaques numérotées de 1 à n, on y répartit r boules aléatoirement (la probabilité pour chaque boule d'être mise dans telle ou telle urne est 1/n).

R1 le nombre de boules dans la première urne et X le nombre d'urnes vides.

Calculer la loi de R1, son espérance, et l'espérance de X.

Réponse

Remarque : cet exercice est le même, sous une présentation différente, que celui de l'ascenseur

3.6.2.L'ascenseur

Un ascenseur prend r personnes au rez-de-chaussée et commence à monter. Chaque personne j va à un étage Ej de loi uniforme dans {1,,n}, et les Ej sont mutuellement indépendants. L'ascenseur ne s'arrête qu'aux étages où quelqu'un sort. On note :

  • R1 la variable donnant le nombre de personnes sortant à l'étage 1 ;

  • Yi,j la variable de Bernoulli qui vaut 1 si la personne j sort à l'étage i ;

  • Xi la variable de Bernoulli qui vaut 1 si l'ascenseur snobe l'étage i ;

  • Xi la variable de Bernoulli qui vaut 1 si l'ascenseur s'arrête à l'étage i ;

  • Xi=1-Xi ;

  • X le nombre d'étages snobés par l'ascenseur et X le nombre d'étages

Donner E(X), puis la loi de X.

On appellera Sp,k le nombre de surjections de {1,,p} sur {1,,k}.

Réponse

3.6.3.Urnes de plus en plus grandes

n urnes Ui contenant chacune i boules numérotées de 1 à i. On choisit au hasard uniforme une urne Ui puis au hasard uniforme une boule dans cette urne. X est le numéro de la boule choisie, calculer E(X).

Réponse

p(X=k)=1nik1i.

Remarque : voir dans le fichier v_a_plusieurs_va une présentation plus théorique : il s'agit simplement d'une loi uniforme sur {1,,N}N suit aussi une loi uniforme.

3.7.Nombre de numéros distincts

Une urne avec N boules numérotées 1,,N. On tire n fois avec remise.

Tn=le nombre de numéros distincts obtenus au cours des n tirages.

  1. Calculer p(T1) et p(Tn).

    Réponse :

  2. Calculer p(T2).

    Réponse : il faut sommer p(Tn=2)=( N 2 )k=1n-1( n k )×1Nn.

    On trouve p(Tn=2)=(2n-1-1)(N-1)Nn-1.

    On vérifie pour N=2 on trouve 1-12n-1, cohérent avec 12n la probabilité de tirer n fois le même numéro.

3.8.Marche aléatoire et urne d'Ehrenfest

à mettre en forme

  1. Un pion en n=0 fait à chaque étape t un saut de +1 ou -1, soit N son abscisse à l'étape t, loi de N.

  2. n boules noires ou blanches, j'en choisis une les yeux fermés, je la peinds dans l'autre couleur (on suppose que la peinture sèche vite…). Soit N la proportion de blanches à l'étape t, loi de N = urne d'Ehrenfest.

  3. n boules réparties dans deux urnes, je choisis une urne (1 chance sur 2) et j'y prend une boule pour la mettre dans l'autre (sil y en a une), N le nombre de boules dans l'urne de gauche à l'étape t, loi de N

4.Tribus

  1. Soit Ω={1,2,3,4,5}.

    1. Déterminer la tribu engendrée par {{0,1},{3,4}}

    2. Déterminer la tribu engendrée par {{0},{1},{2},{3},{4},{5}}.

  2. Soit A l'ensemble des parties P de telles que :

    2nP2n+1P.

    Est-ce que A est une tribu de ?

    Réponse : non, car {3}A mais son complémentaire non.

5.Utilisation de Markov & Tchebychev-BienAymé

  1. XB(n,p). Pour λ,ε>0, montrer que :

    (X-np>nε)𝔼(eλ(X-np-nε)).

    Réponse : C'est juste une habillage : X-np>nεeX-np-nε>1eλ(X-np-nε)>1. Ainsi donc, ce n'est rien d'autre que Markov pour a=1.

  2. XnB(n,p). On pose k. Le réel p]0,1[ est fixe tout au long de l'énoncé. Montrer que :

    (Xnk)n+0.

    Par Bienaymé-Tchebychev :

    (|Xn-np|ε)np(1-p)ε2.

    Il suffit alors de prendre ε tel que :

    Figure 2. Xnk|Xn-np|ε.

    La valeur ε=np-k convient. On a du coup :

    (Xnk)(|Xn-np|np-k)np(1-p)(np-k)2n+0.