Probabilités

Table des matières

1.Probas conditionnelles & Bayes 1

1.1.Buts 1

1.2.Tiroirs 2

2.Avec des suites récurrentes 2

3.Avec des cartes 3

4.Petits exercices 3

5.Pile ou face 4

5.1.Autour de pair/impair 4

6.Exercices variés avec des boules 4

6.1.Petits exercices 4

6.2.Avec n urnes 5

.

1.Probas conditionnelles & Bayes

1.1.Buts

Exercice 1. Deux joueurs 1 et 2 font un « duel » consistant en ce que chacun tire une fois au but successivement et de manière indépendante. Une partie représente n duels joués successivement et indépendamment les uns des autres. La probabilité que 1 (respectivement) marque son but est toujours p (respectivement q).

Soient les événements respectifs suivants :

  1. Bk : « exactement k buts ont été marqués en tout dans la partie » ;

  2. Am : « le joueur m a marqué exactement un but ».

Soit la variable Nm qui compte le nombre de buts marqués en tout par le joueur m.

On appelle

{ p=p(A1) q=p(A2) .

  1. On se place dans le cas n=1. Calculer p(B2),p(B1), p(B0), puis p(A1|B1.).

  2. Cas général. a) Calculer p(Bk).

Autre habillage de l'exercice :

Exercice 2. Deux variables N1,N2 suivent respectivement les lois binomiales B(n,p),B(n,q) avec p,q]0;1[. Soit B=N1+N2. On pourra noter Bk l'événement B=k.

  1. On se place dans le cas n=1. Loi de B ?

  2. Cas général.

Solution.

a) Nous avons :

  • p(B2)=pq
    ;

  • p(B1) =p(BA1)+p(BA2)=p(1-q)+q(1-p)= p+q-2pq ;

  • p(B0)=(1-p)(1-q)

. Enfin :

p(A1|B1.) = p(BA1)p(B) = p(A1)×p(A2)p(BA1)+p(BA2) = p(1-q)p+q-2pq.

Ceci donne, sachant qu'un seul but a été marqué, la probabilité que ce soit A1 :

  • si p est grand, celle-ci tend vers 1, logique ;

  • si p est petit, celle-ci se rapproche de 0, logique ;

  • si p=q, celle si fait 12, logique aussi.

b) N1 suit la loi binomiale B(n,p) et N2 la loi binomiale B(n,q) donc :

p(Bk) = u+v=kp(N1=u)p(N2=v) = u+v=k( n u )( n v )pu(1-p)n-uqv(1-q)n-v

1.2.Tiroirs

Exercice 3. 1) Un objet a une chance p de se trouver dans ce meuble à 7 tiroirs. Sachant qu'on a fouillé sans succès les 6 premiers tiroirs, quelle est la probabilité qu'il soit dans le 7ème ? (les tiroirs sont équiprobables).

2) Idem avec n tiroirs et on a fouillé les n-1 premiers.

Solution.

Soit S l'événement « l'objet est dans le 7ème tiroir » : p(S)=p7.

Soit N l'événement « l'objet n'est pas dans les tiroirs 1-6 » : p(N)=1-6p7, qu'on peut aussi atrapper par p(N)=(1-p)+p7.

Alors on demande p(S|N)=p(SN)p(N) mais SN c'est S d'où :

  • Avec les formules usuelles :

    p(S|N.) = p/71-6p/7 = p7-6p

On vérifie pour p=0 et pour p=1 (cela donne p(S|N)=1, logique).

2.Avec des suites récurrentes

Exercice 4. On dispose de deux urnes :

On effectue des tirages successifs avec remise :

On note Bn l'événement : « la boule tirée au n-ème tirage est blanche ».

On note pn=P(Bn).

  1. Déterminer p1 puis p2.

  2. Déterminer pn+1 en fonction de pn.

  3. En déduire pn en fonction de n ainsi que limn+pn.

  4. On généralise en remplaçant les urnes U1 et U2 par deux urnes U1' et U2' contenant respectivement une proportion μ1 et μ2 de boules blanches.

Solution.

  1. p1=17/35=13/15 et p2=118/225.

  2. pn+1=-6/35×pn+4/7

  3. On trouve :

    pn=2041-31435×(-635)n-1,

    de limite 2041 (presque égale à 12) lorsque n+.

  4. On trouve p1=μ1+μ22 puis pn+1=pn×μ1+(1-pn)×μ2=(μ1-μ2)pn+μ2 d'où, simplement en recherchant le point fixe :

    limpn=μ21-μ1+μ2 .

    Interprétation :

    • si μ2=0, lim(pn)=0 car alors dès que le tirage tombe dans l'urne 2, il y reste définitivement puisque dans l'urne 2 il n'y a que des noires ;

    • si μ1=1, lim(pn)=1 car alors dès que le tirage tombe dans l'urne 1, il y reste définitivement puisque dans l'urne 1 il n'y a que des blanches ;

    • si μ1=μ2=μ=Cste, alors pn=Cste=μ ;

    • si μ1=0 ou μ2=1, un petit arbre explique la limite.

Remarque : si on avait tiré sans remise, on n'aurait pas pu établir de récurrence ; par contre on aurait pu construire un algorithme.

3.avec des dés

  1. On jette indépendamment deux dés, un blanc, un noir (non truqués). On note :

    Montrer que les événements A,B,C sont indépendants deux à deux mais pas trois à trois.

    Réponse : p(A)=p(B)=1/2 et p(C)=1/4+1/4=1/2 et AB=AC=BC d'où l'indépendance deux à deux. Ensuite, ABC=AB d'où la non-indépendance trois à trois.

  2. On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.

    Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut 1/2.

    a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et l'on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?

    b) Soit n un entier non nul. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé n fois et l'on obtient n fois le chiffre 6. Quelle est la probabilité pn que ce dé soit pipé ?

    c) Déterminer lim(pn). Interpréter ce résultat.

    Réponses : 1/2 puis pn=11+13n-1 de limite 1.

4.Avec des cartes

  1. Dans un jeu de n cartes, il y a exactement 1 joker, on tire une main de n cartes, quelle est la probabilité d'avoir le joker dans la main ?

  2. Cinq cartes d'un jeu de cinquante deux cartes sont servies à un joueur de Poker.

    a) Quelle est la probabilité que celle-ci comporte exactement une paire d'As ?

    b) Même question sachant que le jeu distribué comporte au moins un As ?

  3. Un jeu truqué de 32 cartes : l'une des 31 cartes est remplacée par un second as de cœur. On tire n cartes simultanément. On note An= « le tirage permet de se rendre compte de la supercherie ».

    1. Calculer p(An).

    2. Calculer le n minimal tel que p(An)12.

    Réponse : a) p(An)=( 30 n-2 )( 32 n )=n(n-1)32×31

    b) p(An)12n2-n-4960.

    On résoud : n=1+19852, arrondi au supérieur à n=23.

5.Petits exercices

  1. Bleus et Rouges

    Sur Alphaïde une proportion p des individus est bleue le reste sont rouges. De plus une proportion q est riche le reste sont pauvres.

    De plus on sait que 70% des bleus sont riches et 80% des riches sont bleus.

    Exprimer q en fonction de p.

    Réponse : on trouve q=p×8070.

  2. 30 billets de loterie dont n gagnants, j'en choisis deux, j'appelle G= « je gagne » (j'ai au moins un ticket gagnant). Résoudre en n :

    p(G)90%.

    Réponse : p(G)=1-( 30-n 2 )( 30 2 )=

    58n-n2-7830 et Δ=582-4×783=232 d'où n[22;35] soit n22.

  3. Arbres

    1. On donne p(A)=0,4 p(B)=0,6 pA(B)=0,4 , déterminer pA(B), p(AB) et pB(A).

      Réponses : pA(B)=0,9 ; p(AB)=0,36 ; p(AB)=0,64 ; pB(A)=0,1.

    2. Soient A et B deux évènements avec p(A)>0. Comparer les probabilités

      conditionnelles p(AB|AB.) et p(AB|A.)

      Réponse : trivial car p(AB)p(A)

  4. On a (2n) cartons numérotés de 1 à 2n. On les mélange. Quelle est la probabilité qu'on obtienne à la fin les pairs d'abord et les impairs ensuite.

    Réponse : p=(n!)2×(n!)2(2n)!=1( 2n n ).

6.Pile ou face

6.1.Autour de pair/impair

  1. Deux joueurs lancent chacun n fois une pièce non truquée. Celui qui a tiré davantage de « pile » que l'autre a gagné. Calculer la probabilité p0 du match nul.

    p0 = k=0n(( n k )(12)k(12)n-k)2 = (12)nk=0n(( n k ))2 = (12)n( 2n n )2.

    (Pour la dernière ligne on peut voir le fichier dénombrement).

7.Exercices variés avec des boules

7.1.Petits exercices

  1. Une urne contient 4 boules blanches et 3 noires :

  2. Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.

    1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage ? Réponse 8/15.

    2. Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ? Réponse 3/8.

7.2.Avec n urnes

  1. On se donne des urnes numérotées :

    urne n°0

    N boules noires

    urne n°1

    (N-1) boules noires+1 boule blanche

    urne n°k

    (N-k) boules noires+k boules blanches

    urne n°N

    N boules blanches

    On choisit une urne au hasard de manière équiprobable. Dans l'urne choisie, on tire successivement des boules avec remise.

    1. Quelle est la probabilité πn que les n-ième premières boules tirées soient blanches ?

    2. Que devient cette probabilité lorsque N+ ?

    Dans la k-ième urne, p(n blanches successives)=(kN)n. Donc en tenant compte du choix de l'urne :

    p(n blanches successives)=πn=1N+1k=0N(kN)n.

    Or, πnN01tndt=1n+1 par somme de Riemann.

  2. On dispose r boules à l'intérieur de n urnes (avec rn), chaque urne pouvant contenir plusieurs boules. Les répartitions possibles sont équiprobables.

    a) Déterminer la probabilité de l'événement :

    A : « chaque urne contient au plus une boule »

    b) Déterminer la probabilité de l'évènement :

    B : « il existe une urne contenant au moins deux boules ».