Intégration dans

Table des matières

1.Recherche de primitives 2

1.1.Primitives de fonctions de la forme u'u ou u'un 2

1.2.Primitives de fonctions de la forme axα 2

1.3.Primitives diverses 2

2.Intégration par parties 2

2.1.Une intégration par parties 2

2.2.Deux intégrations par partie successives 2

3.Changement de variables 3

3.1.Changements de variable très simples 3

3.2.Changement de variables t=f(u) 3

3.3.Changement de variable w=g(t) avec g'(t) apparent dans l'intégrande 3

3.4.Changement de variable w=g(t) avec g-1 exprimable 3

3.5.Changement de variables w=g(t) sans nécessité d'exprimer g-1 4

3.6.Divers 4

4.Fractions rationnelles 6

4.1.Éléments simples 6

4.2.Arctangentes 6

4.3.Calculs plus longs 6

4.3.1.Primitives de m(x)=1x3-1 6

4.3.2.Calcul de K=02/2dx(1-x)3(1+x)3 7

4.3.3.Calcul de Ia=23dx9x2-6x+a 7

5.Intégrales avec trigo 8

5.1.Règle de Bioche 8

5.1.1.Rappels de la méthode 8

5.1.2.Exercices de base 8

5.1.3.Exercices divers 9

6.Fonctions avec du aX2+bX+c 10

7.Intégrales à bornes variables 10

8.Intégrales dépendant d'un paramètre 11

9.Divers 12

10.Intégrales généralisées 13

11.Intégrales à paramètre - convergence dominée 14

11.1.Continuités 14

11.1.1.Continuité de 0+xe-xtdx et de 0+xe-xtdt 14

11.1.2.F(x)=0+ln(1+xt)1+t2dt 15

11.2.Interversion et lim 15

1.Recherche de primitives

1.1.Primitives de fonctions de la forme u'u ou u'un

a(t)=t3t2-2 b(t)=-t+1/63t2-t c(t)=2t/32(-4t2-3) d(t)=t(a2+t2)3

1.2.Primitives de fonctions de la forme axα

a(x)=x3/2 d(x)=4(2x)3
e1(x)=x2(1-x3) e2(x)=x-1x e3(x)=(1-x)2x3
e(x)=3x3×3x3 f(x)=85x17 m(x)=-211(2x3)5

1.3.Primitives diverses

Donner les primitives de toutes les fonctions suivantes :

b(x)=(x3+15)3/2 c(x)=(2x+1)(2x+1)7
n(x)=-211(2+x3)5 o(x)=xx+1 g(x)=2x-15 h(x)=-23(1-5x)9
i(x)=11+2x2 j(x)=12+x2 k(x)=11-2x2 l(x)=12-x2
m(x)=tln2(1+t2)1+t2

Réponses :

2.Intégration par parties

2.1.Une intégration par parties

  1. -π0ch(3x)sin(2x)dx=2ch(3π)-113≈953.

Primitives des fonctions suivantes :

  1. f(x)=xe-2xf(x)=-xe3x/2f(x)=xe3xf(x)=3x2e-2x/5

2.2.Deux intégrations par partie successives

  1. -20x2e-2xdx=1-e24-1,6.

  2. -π/2π/2e2xsin(x)dx=1+2eπ59,46.

  3. -20e-t(t2+t)dt=e2-34,39.

  4. -π-π/2t2cos(2t)dt=3π/4

  5. 0π/2cos(t2)(t2-2)dt=-40+8π+π222=-102+2π2+π224-1,77.

  6. trois IPP : -ln20e-t(t3+1)dt=7-2ln32+6ln22-12ln2 à vérifier.

3.Changement de variables

3.1.Changements de variable très simples

  1. I=01x21-xdx

    On pose le simplissime changement de variables y=1-x qui permet de gérer la racine carrée :

    I = 01(1-y)2ydy = 01(y12-2y32+y52)dy = 23-45+27= 16105 .

3.2.Changement de variables t=f(u)

Dans ces cas-là, dt=f'(u)du, il n'y a qu'à dérouler.

  1. Deux calculs au choix :

    1. calculer les primitives de f(t)=1-t2t4 ;

    2. calculer 01/21-t2t4dt. Réponse : -3.

    Réponse : on pose t=cosu, on a alors :[vérifier les signes]

    xf(t)dt = -arccosxsin2ucos4udu = -arccosxtan2ucos2udu = -13[tan3u]arccosx = -13[(tan2u)3/2]arccosx = -13[(1cos2u-1)3/2]arccosx = -13(1x2-1)3/2(+Cste)

  2. Calculer f(a,b)=abdttcos2t

    On pose x=t et du coup f(a,b)=abducos2u=tanb-tana.

3.3.Changement de variable w=g(t) avec g'(t) apparent dans l'intégrande

3.4.Changement de variable w=g(t) avec g-1 exprimable

  1. Calculer :

    I=01/2dx(1-x)1-x2 en posant u=1x-1.

    Réponse :

  2. Exprimer en fonction de x]-1;1[ :

    F(x)=0xdx(1-t)1-t2 en posant u=1t-1.

    Réponse : pareil que précédemment sauf que

    t 0 x
    u -1 1x-1
    d'où u]-;-12[ .

    F(x)=[-1-2u]-11x-1=-1+-1-2x-1= 1+x1-x-1 .

    Figure 2. Dans ]-1;1[ on a 1+x1-x>0.

3.5.Changement de variables w=g(t) sans nécessité d'exprimer g-1

  1. I=π/3πcos2(t2)t+sintdt en posant w=t+sint.

    Ici on n'a pas besoin (et on ne peut pas…) d'exprimer x en fonction de u car, par la vertu de la formule cos2A=1+cos(2A)2, les x disparaissent tout seuls :

    Réponse : dw=(1+cost)dt donc :

    I=π/3+3/2πcos2(t2)udu1+cosx=12π/3+3/2πduu=12(lnπ-ln(π3+32)).

3.6.Divers

  1. Calculer I(x)=1kargch(x2+12x)dx en posant u=x+1x.

    On supposera k>1.

    Réponse : on a x=12(u+u2-4) donc dx=du2+udu2u2-4.

    Figure 3. Courbe de u=x+1x.

    Ainsi :

    I(x) = 2k+1/kargch(u2)(du2+udu2u2-4) = 2k+1/kargch(u2)(du2)+2k+1/kargch(u2)(udu2u2-4) on va poser v=u/2 et on note g(k)=k/2+12k pour alléger : I(x) = 1g(k)argch(v)dv+1g(k)argch(v)vv2-1dv = 12[vargch(v)]1g(k)-121g(k)vv2-1dv+[argch(v)v2-1]-1g(k)1dv

  2. Calculer :

    K=dx(1+x2)1+x2,

    puis :

    I=01arctan1+x2(1+x2)1+x2dx.

    Réponse :

  3. Calculer thlna puis :

    I=ln3ln2ch2t+sh2tch3tshtf(t)dt,

    en posant u=tht.

    Réponse :

  4. Calculer Ia=0adxx+a2-x2, où a>0.

    Réponse : astucieux !

4.Fractions rationnelles

Voir document fractions_rationnelles dans le dossier polynomes_f_rationnelles

4.1.

Éléments simples

  1. Primitives de f(x)=-49x2-1 :

    Réponse : on écrit f(x)=-49×1x2-19=-49×(αx-1/3+βx+1/3)

4.2.Arctangentes

  1. Primitive de u(x)=1a+x2.

    Réponse : U(x)=1aarctan(xa).

  2. Primitive de f(t)=1at2+b avec a,b>0.

    Réponse :

    dtat2+b=1abarctan(tab)
    .

  3. Primitives de :

    a(x)=-43x2+2. b(x)=x2-12x2+3 c(x)=x2-12x2-3 d(x)=x2-12x2+8x+8

    Réponses :

4.3.Calculs plus longs

4.3.1.Primitives de m(x)=1x3-1

Réponse :

m(x) = 1(x-1)(x2+x+1) = 13(x-1)+-2-x3(x2+x+1) = 13(x-1)+-x-1/23(x2+x+1)-3/23(x2+x+1).

Méthodes :

Reste à établir la primitive de q(x)=1x2+x+1=1(x+12)2+34, on trouve :

Q(x)=13/4arctan(x+1/23/4).

Conclusion :

M(x)=13ln|x-1|-16ln|x2+x+1|+13arctan(2x+13) .

4.3.2.Calcul de K=02/2dx(1-x)3(1+x)3

Assez long

4.3.3.Calcul de Ia=23dx9x2-6x+a

Calculer I1, I-3 et I3 avec :

Ia=23dx9x2-6x+a.

D'une manière générale, pour quelles valeurs de a l'intégrale est-elle définie (sans pole) ?

Réponses :

Ensemble de définition

On a x1,2=13±1-a3 d'où :

Figure 4.

en bleu la racine double 1/3 pour a=1.

en vert les racines 13+1-a3 et en rouge les 13-1-a3.

a est en abscisses.

On a donc a[-63;-24].

Calculs :

5.Intégrales avec trigo

5.1.Règle de Bioche

5.1.1.Rappels de la méthode

Pour I=abf(x)dx on regarde si u(x)=f(x)dx vérifie :

5.1.2.Exercices de base

Calculer :

I=-π/4π/3dxsinxcosx J=-π-3π/4dx1+sin2x K=0-π/2dxsin5x
L=0π/2cosx2-cos2xdx M=π/4π/3dxcos(x)2sin(2x) N=0π/2cosx1+cos2xdx

Réponse :

5.1.3.Exercices divers

  1. Calculer (1+2)(1+3) puis :

    I=0π/4dxcos2x+sin(2x)+5sin2x.

    On écrit :

    I = 0π/4dx/cos2x1+2tanx+5tan2x on va poser t=tan x = 01dt1+5t2+2t = 01dt1+5t2+2t = 12(arctan3-arctan12) = 12(arctan3-π2+arctan2).

    Vu que (1+2)(1+3)=5-5, on a arctan3+arctan2=3π4 d'où I=π8 .

  2. Calculer I=011+x+x21-x2dx.

    Méthode 1 : on pose x=sint on se ramène à 0π/2(sin2t+sint+1)dt.

    Méthode 2 :

    I=01x2-1+x+21-x2dx=01-(1-x2)dx+01x1-x2dx+0121-x2dx

    soit I=-01(1-x2)dx-[1-x2]01+2[arcsinx]01, et on pose x=sin(u) dans la première.

    Réponse :

    I=1+3π4 .

6.Fonctions avec du aX2+bX+c

  1. I=01dxx+4-x2.

    Réponse : on pose 2y=x d'où I=01/2dyy+1-y2.

    On pose y=sint d'où : I=0π/6costdtsint+cost=0π/6dt1+tant.

    On pose x=tant soit dt=dx1+x2 d'où : I=01/3dx(x+1)(1+x2) et

7.Intégrales à bornes variables

  1. f(x)=xx2lntdt, variations, limites.

    Réponse : f'(x)=(4x-1)lnx donc :

    Figure 5.

    Courbe de f(x)=xx2lntdt.

    Pour la limite en +, on peut raisonner en terme de rectangles.

    Pour la limite en 0 il faut l'expression explicite de f(x)=(2x2-x)lnx-x2+x.

    Tangente verticale en 0 et horizontale en 1.

  2. On définit φ dans ]0;+[\{1} par :

    φ(x)=xx2dtlnt.

    Variations, limites aux bornes ?

    En regardant les bornes et l'intégrande on a : dans ]0;1[, φ>0 et dans ]1;+[, φ>0.

    Ensuite, φ'(x)=x-1lnx, donc :

    x 01+
    φ' +(1)+
    φ

    φ' bornée au voisinage de 1 implique φ de classe C1 dans ]0;+[ donc en particulier prolongeable en 1.

    L'astuce φ(x)=xx2t×dttlnt permet l'encadrement xln2φ(x)x2ln2 dans [1;+[ (qui donne lim+φ=+) et x2ln2φ(x)xln2 dans [0;1[ et toutes deux donnent lim1φ=ln2.

    En 0 on a 1lnt0 donc on peut poser φ(0)=0.

    .

    Figure 6. schéma dans ]0;1[

  3. Variations de F(x)=x2xdtt4+t2+1.

    Réponse : le signe de F(x) est celui de 2-12x4=3(1-2x2)(1+2x2).

    De plus, F(0)=0 et F'(0)=1 et en + on a F(x)x2xdtx40.

    Finalement :

    Figure 7. courbe de F

  4. On pose Φ(x)=x2xdt4+t2.

    1. Variations de Φ sur .

    2. Encadrer Φ(x) et en déduire la limite de Φ en +.

    Solution.

    a) Si F désigne une primitive de f(t)=14+t2, alors Φ'(x)=2f(2x)-f(x) et donc Φ'(x)0x41. ainsi, x --10+1+ Φ 0

    On remarque aussi que Φ est impaire.

    b) On encadre f (qui est décroissante) sur [x,2x] et l'on obtient :

    x4+16x4Φ(x)x4+x4

    donc lim+Φ=0.

8.Intégrales dépendant d'un paramètre

Ce paragraphe utilise des raisonnements simples, par exemple des encadrements directs. Tout ce qui concerne la convergence dominée est traité dans le paragraphe idoine.

  1. On pose In=01xn1+xndx et Jn=01ln(1+xn)dx.

    1. Calculer I0,I1,I2 et montrer, par un encadrement simple, que In et Jn tendent vers 0.

      Réponse : I0=1,I1=1-ln2,I2=1-π4 ; ensuite, pour (Jn), utiliser ln(1+x)x.

    2. Trouver par IPP une relation entre In et Jn et en déduire un équivalent de In.

      Réponse : In=ln2n-Jnn donc In=ln2n.

9.Divers

  1. Voir dans le fichier « fonctions de [0,1] dans [0,1] ».

  2. Si g continue sur [a;b] et à valeurs >0, prouver que abg>0.

    Et si g n'est plus supposée continue ?

  3. Si f continue sur [0,a[, montrer que limx01x0xf(t)dt=limx0f(x).

  4. Exprimer au mieux abxdx en fonction de a et de b.

  5. 0π/3tanxdx directement puis par changement de variable u=cosx.

    Réponse : ln 2.

  6. Trouver un cas d'égalité dans Cauchy-Schwarz avec f et g non proportionnelles (et donc non continues).

    Prendre { a=0 b=1 . et { f(x)=αΧ[0,c] g(x)=βΧ[d,0] . avec 0<d<c, il suffit alors d'avoir cd=3+52=1+Φ et α,β quelconques :

    Figure 8.

    c'est-à-dire que O,A,B sont en proportion dorée !

10.Intégrales généralisées

  1. On demande la nature de :

    0+lnttα(1-t2)dt.

    Réponse : pour α>-1 en + ça converge, et pour α<1 en 0 ça converge.

  2. On demande la nature de :

    0111-1-tdt.
  3. Étudier la convergence de 0+11+tαsin2tfα(t)dt.

    Réponse :

  4. Étudier la convergence de 1+xαlnxdx.

    Réponse :

  5. Voir aussi le magnifique 01dxxx dans le chapitre fonctionsR_R/series_entieres.

  6. Convergence de In=011-tncos(π2t)dt.

    En haut on a 1-tn=(1-t)(1+t++tn-1)1n(1-t).

    En bas on a cos(π2t)=sin(π2(1-t))1π2(1-t) d'où f(x)12nπ.

    Prendre des renseignements au sujet de cet exercice dans le fichier :

    liste n°10 - intégrales généralisées - quelques corrigés

    sur mon disque dur

    .

11.Intégrales à paramètre - convergence dominée

11.1.Continuités

11.1.1.Continuité de t0+xe-xtdx et de x0+xe-xtdt

On pose :

{ F(t) = 0+xe-xtdx G(x) = 0+xe-xtdt. .

Étudier la continuité de F et de G sur [0;+[.

En fait c'est trivial car :

Étude de F

Posons ft(x)=xe-xt :

Figure 10. La fonction ft:xxe-xt.

Il est clair que ft est continue et intégrable sur +.

Domination : pour t]α;+[, |ft(x)|xe-αx qui est intégrable sur [0;+[.

On a prouvé que F continue dans ]0;+[.

Le fait que F(t)=1t2 (intégration par parties) montre que lim0F=+.

Étude de G.

Posons fx(t)=xe-xt :

Figure 11. La fonction fx:txe-xt.

Il est clair que fx est continue et intégrable sur +.

Domination : pour x[a,b], |fx(t)|be-at qui est intégrable sur [0;+[.

On a prouvé que F continue dans ]0;+[.

Le fait que F(t)=1 (intégration directe) et que F(0)=0 (calcul direct) montre que F n'est pas continue en 0.

11.1.2.F(x)=0+ln(1+xt)1+t2dt

On pose :

F(x)=0+ln(1+xt)1+t2dt.
  1. Montrer que F est définie et continue sur [0;+[, puis qu'elle est C1 dans ]0;+[.

    On pourra utiliser l'inégalité (à démontrer) : ln(1+A)A.

  2. En utilisant une décomposition en éléments simples, déterminer F'(x).

    F' a-t-elle une limite lorsque x0 ?

  3. Montrer que pour x>0 on a : F(x)-F(0)xF'(x).

    On pourra utiliser l'inégalité (à démontrer) : ln(1+u)u1+u.

Réponses :

Posons fx(t)=ln(1+xt)1+t2. On a xfx(t)=t(1+t2)(1+xt).

1) Il est clair que fx est continue sur +.

Pour l'intégrabilité, |fx(t)|xt1+t2 suffit.

Pour la continuité, plaçons-nous dans : x[0,a].On a alors :

|fx(t)|at1+t2.

Pour la dérivabilité, plaçons-nous dans : x]α>0,+[. On a alors :

|xfx(t)|t(1+t2)(1+αt)t+(1αt2).

2) On trouve t(1+t2)(1+xt)=at+b1+t2+c1+xt :

d'où t(1+t2)(1+xt)=t(1+t2)(1+x2)+x(1+t2)(1+x2)-x(1+x2)(1+xt), soit :

0kxfx(t)dt = [12(1+x2)ln(1+t2)+x1+x2arctan(t)-11+x2ln(1+xt)]0k = 11+x2ln(1+k21+xk)+x1+x2arctan(k),

donc en faisant k+ :

F'(x) = 11+x2ln(1x)+x1+x2×π2 = 11+x2(π2x-lnx)

On a limx0F'(x)=+.

3) Direct avec l'inégalité. Ça prouve que F'(0) n'existe pas (serait infini).

Remarque : on fait L'Hospital sans le dire.

11.2.Interversion et lim

  1. limn+In avec In=1+xn(1+xn)dx.

    Réponse : on a une domination (pour n3) par x3(1+x3) d'intégrale convergente par Riemman. Ainsi, limIn=0.

  2. f:[0,1] continue, déterminer limn+In avec In=n01f(x)e-nxdx.

    Réponse : on pose nx=y d'où In=0nf(yn)e-ydy domination par e-y d'où

    limn+In=f(0)0+e-ydy=f(0).

  3. On pose fn(x)=ln(1+xn)1+x2. On pose un=n0+fn(x)dx. Après avoir vérifié que l'intégrale existe, déterminer limun.

    Réponse :

  4. Limite de In=01tn1-t3dt.

    Réponse :

    On domine par 11-t3 en remarquant que 1-t313×1-t, d'où limIn=0.

11.3.Contrexemples

On note Χ[a,b] la fonction indicatrice de [a,b].

On pose fn(x)=Χ[n;n+1](x) et gn(x)={ nΧ[0;1/n](x) pour x>0 0 pour x=0 ..

Montrer que fn et gn convergent simplement vers la fonction nulle sur [0;1], mais que leur intégrale sur [0;1] ne converge pas vers 0.