Intégrales doubles et triples

Table des matières

1.Intégrales doubles 1

1.1.Divers 1

1.2.Sans polaires ni changements de variables ?

1.3.Passage en polaires ?

1.4.Changement de variable (jacobien) ?

2.Intégrales triples ?

2.1.Sans polaires ni changements de variables ?

1.Intégrales doubles

1.1.Divers

Un lien utile pour calculer numériquement en ligne des intégrales du type abφ(u)ψ(u)f(u,v)dvdu :

http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=f5f3cbf14f4f5d6d2085bf2d0fb76e8a.

1.2.Sans polaires ni changements de variables

Les réponses détaillées et manuscrites sont à télécharger dans le dossier scans en haut à gauche de l'écran.

0) iintD1+x+ydxdy dans la zone délimitée par O(0,0),A(1,2),B(2,1),C(4,0).

Réponse : si l'on divise en trois de gauche à droite on a :

I1=415(343-42), I2=163-415(93-42), I3=415(255+93)-25615.

1) iintD(x+2y2)dxdy dans la zone délimitée par O(0,0),A(1,1),B(2,-1).

Réponse ; si l'on divise en deux de la gauche vers la droite on a :

I1=1116, I2=2116 d'où I=2.

2) iintD|x-y|dxdy dans le rectangle O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2).

Réponse : si l'on divise en deux en traçant y=x on obtient une petite et une grande zone et :

I1=43, I2=283 d'où I=32310,67.

3)iintD1(x+y)2dxdy pour D:{ x+y3 x1 y1. .

Réponse : I=-13+ln320,072.

4)iintD(3x+2y)dxdy dans D:{ yx2 x0 yx. .

Réponse : I=34.

5)iintD2x(1+x2+y2)2dxdy dans D:{ yx22 x0 y0. .

Réponse : il est plus simple d'intégrer par yxdxdy que par xydxdy. On trouve :

I=-15arctan25-13+10,340.

6)iintDx2ydxdy avec D:{ y1/x y5-4x x0 y0. .

Réponse : on trouve les points d'intersection aux abscisses 1/4 et 1 puis :

I=0,83+10,3128-16×640,345.

7)iintDln(1+x+y)dxdy avec D:{ x+y4 x1 y1 .

rappel : ln(k+x)dx=(k+x)ln(k+x)-k-x. On trouve :

I=-2,5ln5+4,5ln3+21,920.

8)iintDex+ydxdy dans le losange |x|+|y|1.

Réponse : on divise en deux, on trouve I=e-1e.

1.3.Passage en polaires

Les réponses détaillées et manuscrites sont à télécharger dans le dossier scans en haut à gauche de l'écran.

1)iintD(x29+y216)dxdy avec D le cercle de centre O de rayon 3.

On trouve I=225π64≈11,045.

2)iintD1x2+xy+y2dxdy avec D{ 0yx 4x2+y216. .

On trouve I=πln233.

3)iintD1xdxdy avec D:{ x1 x2+y2-2x0. .

On trouve I=π-2.

4)iintD14-x2-y2dxdy avec D:{ x2+y21 x2+y2-2y0. .

Il faut travailler pour paramétrer les polaires, plusieurs méthodes ; finalement on trouve :

I=2(π3-1).

5)iintD(x2+y2)dxdy avec D:{ x2+y2-x0 x2+y2-y0. .

Réponse : on sépare en y0 et y0 et l'on trouve :

I1=18 et I2=14-π/40cos4θdθ=8+3π128.

6)iintD(x2+y2)dxdy avec D:{ x2+y21 y-12. .

On sépare en une grosse part de camembert et un triangle isocèle ; on trouve :

I1=π3 et I2=34. Attention, pour I2, afin d'éviter des bornes infinies, on doit passer non pas par tanθ comme Bioche le suggèrerait, mais par cotanθ.

o)iintDaadxdy

o)iintDaadxdy

o)iintDaadxdy

1.4.Changement de variable (jacobien)

  1. iintDxx2+xyydxdy avec D:{ 1xy2 1yx2. .

    Réponse : Le domaine D ne permet pas un saucissonnage en x et y :

    Figure 1. Le domaine D.

    On pose donc { u=xy v=yx . alors J=1v donc :

    I = 12udu×1214v21+1vdv = [23uu]12×[-14×23×(1+1v)1+1v]12.

2.Intégrales triples

2.1.Sans polaires ni changements de variables

Réponses détaillées dans le dossier scans (en haut à gauche de la page web).

Dans le paraboloïde V:0z1-x2-y2

  1. I1=iiintVz2dxdydz.

    Réponse : on procède par tranches : I=π12.

  2. I2=iiintV(x2+y2)dxdydz.

    Réponse : on procède par piles : I=π6.

  3. I3=iiintVx2yz2dxdydz.

    Réponse : nul par symétrie d'axe (Oxz) et f(x,-y,z)=-f(x,y,z).

  4. I4=iiintVx2y2zdxdydz. Faire par tranches et recommencer par piles.

    Réponse : les deux utilisent 02πcos2θsin2θdθ=π4 et les piles utilisent 0π/2cos5θsin5θdθ=160. On trouve à la fin I4=π480.

Dans l'hémisphère D:{ x2+y2+z21 z0. .

  1. I5=iiintVx2y2z2dxdydz. Un bon entraînement consiste à rédiger le calcul par tranches puis à le recommencer par piles.

    Réponses : I5=2π945. Utilise 02πcos2θsin2θdθ=π4.

Divers

  1. Gouttière V:{ -2x2 -1y1 0z1+y2. . Coordonnées du centre d'inertie G de V, et moment d'inertie suivant l'axe (Oz).

2.2.Avec coordonnées cylindriques ou sphériques

  1. Cornet V:{ z22x2+y24 z0. . On prend la densité f(x)=|xy|. Masse, centre d'inertie, moment d'inertie suivant l'axe (Oz).

  2. Tabouret V:{ y2+1x2+z2 -1y1. . Calculer Itabouret=iiintV(x-y)2dxdydz par tranches puis en cylindriques (selon (Oy)).