Inégalités, Min et Max, Inéquations

1.En étudiant des variations

  1. Monter que pour tout x0 on a :

    x-x36sinxx.

    Réponse : en étudiant xsinx-(x-x36) puis xcosx-(1-x22) puis xx-sinx

    Figure 1.

  2. On définit f par f(x)=2x+14x+3.

    1. Sur [1;2], encadrer 2x+1 et 4x+3, en déduire que 311f(x)57.

    2. Résoudre f(x)=311.

      Réponse : x=-15.

    3. Encadrer plus finement f sur [1;2].

      Réponse : f croissante donc f(1)=37f(x)f(2)=511.

      Curieux c'est ce qu'on obtenait en divisant abusivement les deux inégalités…

  3. Déterminer Max{nn,n}.

    Réponse : si f(x)=x1/x alors f'(x) est du même signe que (1-lnx) donc Supf est atteint en x=e, reste à comparer 2 et 33 ce qui se fait en mettant puissance 6 et le max est :

    331,44.

2.Autour des inégalités classiques 1xk et x2k

  1. Carrés imbriqués :

    1. Résoudre (1x-2)2<4 ;

      Réponse : On développe… ça donne 1-4x<0.

    2. Résoudre ((1x-2)2-12)2<4 ;

3.Divers

  1. Résoudre sur l'inéquation : x2-x+1+x0.

    Réponse : on vérifie d'abord que Δ<0 sous la racine, puis :

    Ainsi, S=.