Décomposition en éléments simples dans

Le but est de primitiver.

On s'intéresse aux fractions rationnelles du type P(X)Q(X), avec °(P)<°(Q).

Se rappeler que a2-b2=(a-b)(a+b) et { a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2). .

  1. 12X2+X-1=12(X+1)(X-12)=βX+1+γX-12.

    On a fait Δ en bas, puis fois (X+1) et X=-1, et de même pour l'autre : β=-γ=-13.

  2. X2X2+X-1 : idem, on trouve β=13 et γ=16.

  3. 19X2-6X+1=1(3X-1)2 rien à faire…

  4. f(X)=X29X2-6X+1 on écrème : f(X)=

  5. 1X2+X+1 : rien à faire, Δ>0 donc c'est de l'arctan.

  6. f(X)=3X-X3=3X(1-X)(1+X)=αX+β1-X+γ1+X on multiplie par les pôles :

    { α=3 β=3/2 γ=-3/2 .. Le fait que β=-γ est prévisible par parité : f est impaire.

  7. f(X)=X2+1X3+2X2-5X-6=X2+1(X+1)(X-2)(X+3)=αX+1+βX-2+γX+3

    On a remarqué que X=-1 est racine évidente en bas puis factorisation et Δ.

    Méthode des pôles : { α=-1/3 β=1/3 γ=1 ..

  8. f(X)=X31-X4=X3(1+X2)(1-X)(1+X)=αX+β1+X2+γ1-X+γ'1+X.

    Parité : f impaire donc β=0 et γ=-γ'.

    Méthode des pôles : γ=1/4.

    Puis on fait produit par X et limite X+ : -1=α-γ+γ' d'où α=-1/2.

  9. f(X)=X21-X4=X2(1+X2)(1-X)(1+X)=αX+β1+X2+γ1-X+γ'1+X

    Parité : f paire donc α=0 et γ=γ'.

    Méthode des pôles : γ=1/4.

    Puis X=0 : 0=β+γ+γ' d'où β=-1/2.

  10. f(X)=X2+2X31-X4=X2+2X3(1+X2)(1-X)(1+X)=αX+β1+X2+γ1-X+γ'1+X

    Pas de parité…

    Méthode des pôles : γ=3/4 et γ'=-1/2

    Puis X=0 : 0=β+γ+γ' d'où β=-1/4.

    Puis fois X et X+ : -2=α-γ+γ' d'où α=-3/4.

    [trouver exemples où il faut prendre X=2]

  11. Une astucieuse à retenir : 1+X4=1+2X2+X4identité remarquable-2X2=(1+X2)2-(X2)2autre identité remarquable.

    f(X)=11+X4=1(1+X2-X2)(1+X2+X2)=αX+β1+X2-X2+α'X+β'1+X2+X2.

    Parité : β=β' et α=-α'.

    Fois X et X+ : α+α'=0, on le savait déjà.

    X=0 : 1=β+β' d'où β=β'=1/2.

    Dérivée en 0 : f'(0)=0=α×1-β×(-2)12+α'×1-β'×(2)12 … rien.

    X=1 :

    12=α+β2-2+α'+β'2+2 (2-2)(2+2)2=(α+β)(2+2)+(α'+β')(2-2) 1=(α+β)(2+2)+(-α+β)(2-2) 1=2α2+4β -122=α
  12. f(X)=X1+X4=X(1+X2-X2)(1+X2+X2)=αX+β1+X2-X2+α'X+β'1+X2+X2

    Parité : β=-β' et α=α'.

    Fois X et X+ : α+α'=0 donc α=α'=0.

    X=0 : 0=β+β' on le savait déjà.

    Dérivée en 0 : f'(0)=1-01=α×1-β×(-2)12+α'×1-β'×(2)12,

    d'où 2α+2β2=1 d'où β=122.

  13. f(X)=1+X1+X4=1+X(1+X2-X2)(1+X2+X2)=αX+β1+X2-X2+α'X+β'1+X2+X2

    Parité : rien

    Fois X et X+ : α+α'=0.

    X=0 : 1=β+β'.

    Dérivée en 0 : f'(0)=1=α×1-β×(-2)12+α'×1-β'×(2)12 on substitue :

    1=β2-(1-β)2 1+2=2β2 β=2+24.

    X=1 :

    1=α+β2-2+α'+β'2+2 (2-2)(2+2)=(α+β)(2+2)+(α'+β')(2-2) 2=(α+β)(2+2)+(-α+1-β)(2-2) 1=2α2+2β2+2-2 on substitue β : 1=2α2+3 α=-12=-22. ouf…
  14. f(X)=X+X5X2-X10=X+X5X2(1-X)(1+X)(1+X2)(1+X2-X2)(1+X2+X2),

    f(X)=αX+βX2+γ1-X+γ'1+X+εX+φ1+X2+μX+λ1+X2-X2+μ'X+λ'1+X2+X2.

    Impaire : donc {

    β=0
    γ=-γ'
    φ=0
    μ=μ'
    λ=-λ'.
    .

    Pôle 1-X : on trouve γ=22(2-2)(2+2)=12.

    Fois X et X+ : on trouve 0=α-γ+γ'+ε+μ+μ'1=α+ε+2μ.

    X=0 : pas possible c'est un pôle.

    Pôle X2 (on multiplie par X2 puis X=0) : 0=β on le savait déjà.

    Dérivée en 0 : pas possible c'est un pôle.

    X=2 : 34-1020=2α4-γ+γ'3+2ε+φ5+2μ+λ5-22+2μ'+λ'5+22, on remplace :

    17-510=α2-43γ+2ε+φ5+2μ+λ5-22+2μ-λ5+22, ça devient très long…

    Il faut passer par les complexes : on multiplie par le pôle 1+X2 et on fait X= :

    +5-1(1-)(1+)(-2)(2)

    +5-1(1-)(1+)(-2)(2) = ε+φ 1-2 = ε.

    Essayons de dériver :

    f'(X)=(1+5X4)(X2-X10)-(X+X5)(2X-10X9)(X2-X10)2

    -1-2X4+5X6+9X8+5X12X2(1-X8)2 = -αX2+γ(1-X)2+γ(1+X)2+ε-εX2(1+X2)2 +μ+λ2-μX2-2λX(1+X2-X2)2 +μ+λ2-μX2+2λX(1+X2+X2)2.

    On peut maintenant faire fois X2 et X=0 : -1=-α.

    On a à présent : α=1 et donc en reprenant les équations précédentes : μ=14.

    Remarque on pouvait dès le départ remarquer que X+X5X2-X10=1+X4X-X9?

.

1Parité

On regarde tout de suite la parité.

Dans l'exemple ci-dessus, f est paire donc A=A' et C=0.

Exercices : que dire grâce à la parité dans les exemples suivants ?

  1. X1-X4=A1-X+A'1+X+CX+D1+X2

  2. 11-X3=A1-X+BX+C1+X+X2

  3. X2X-X3=AX+B1+X+B'1-X

2Gérer les pôles de degré 1

On utilise la forme factorisée et la forme décomposée :

1(1-X)(1+X)(1+X2)=A1-X+A'1+X+CX+D1+X2.

On multiplie par (1-X) à gauche et à droite, on obtient :

1(1+X)(1+X2)=A+A'(1-X)1+X+(CX+D)(1-X)1+X2 et on remplace X par 1 :

14=A.

Exercices :

  1. Dans 1(1-X)(1+X)(1+X2)=A1-X+A'1+X+CX+D1+X2, trouver A' directement.

  2. Dans X2X-X3=AX+B1+X+B'1-X, bien écrire la forme factorisée, puis trouver A,B,B' directement.

  3. Dans X1-X4=A1-X+A'1+X+CX+D1+X2, trouver A et A' directement

3Limite en + après produit par X

On utilise la forme initiale et la forme décomposée.

Exemple, X1-X4=A1-X+A'1+X+CX+D1+X2, je multiplie par X :

X21-X4=AX1-X+A'X1+X+CX2+DX1+X2, je prends X+ :

0=-A+A'+C.

Exercices, appliquer pour :

  1. X2X-X3=AX+B1+X+B'1-X

  2. 11-X3=A1-X+BX+C1+X+X2

  3. 11-X6=1(1-X2)(1-X+X2)(1+X+X2)=a1-X+b1+X+cX+d1+X+X2+eX+f1-X+X2

4Prendre d'autres valeurs pour X

Dans 11-X3=A1-X+BX+C1+X+X2 si je prend X=-1 j'obtiens : 12=A2+C-B.

Exercices : remplacer X par une valeur simple et écrire l'équation résultante :

  1. 11-X6=1(1-X2)(1-X+X2)(1+X+X2)=a1-X+b1+X+cX+d1+X+X2+eX+f1-X+X2

  2. X2X-X3=AX+B1+X+B'1-X

5En cas vraiment de besoin : f'(0)

On peut parfois dériver si c'est simple. On utilise dans ce cas les formes initiale et décomposée.

Exemple : 11-X3=A1-X+BX+C1+X+X2, je dérive :

3X2(1-X3)2=A(1-X)2+(B)(1+X+X2)-(BX+C)(1+2X)(1+X+X2)2.

Je prend X=0 : 0=A+B-C. C'est plus rapide qu'il n'y paraît et ça donne une équation de plus. C'est parfois moins fastidieux que par exemple de remplacer X par 2.

Exercices, prendre la dérivée en X=0 à gauche et à droite :

  1. 11-X6=a1-X+b1+X+cX+d1+X+X2+eX+f1-X+X2

  2. X2X-X3=AX+B1+X+B'1-X

6Utilisation des complexes.

On reprend ce qu'on a dit sur les pôles, mais avec X remplacé par un complexe.

Exemple :

(X1-X4=)X(1-X)(1+X)(1+X2)=A1-X+A'1+X+CX+D1+X2,

je multiplie par 1+X2 à gauche et à droite :

X(1-X)(1+X)=A(1+X2)1-X+A'(1+X2)1+X+CX+D, et je prend X= :

(1-)(1+)=0+0+C+D ce n'est pas un calcul très difficile.

À n'utiliser que s'il y a des facteurs dont les racines sont simples style 1+X2.

Je te déconseille d'appliquer pour des facteurs du style 1+X+X2 où la racine complexe est plus compliquée : gros risques d'erreurs de calcul.

Application :

  1. X+1X+X3=X+1X(1+X2)=AX+BX+C1+X2.

7Une solution alternative : l'identification.

Cette solution conduit à un système et permet de trouver tous les coefficients ensemble.

Exemple : X2+1X+X3=AX+BX+C1+X2, je mets au même dénominateur à droite :

X2+1X+X3=A(1+X2)+(BX+C)XX(1+X2), je développe et j'ordonne :

X2+1X+X3=A+CX+(A+B)X2X(1+X2) j'identifie les hauts, degré par degré :

{ A=1 C=0 A+B=1. .

8Exercices

Utiliser toutes les techniques vues ci-dessus de 1 à 8 pour trouver les coefficients des fractions rationnelles apparues dans ce document depuis le début. Quand c'est fini, recommencer avec l'identification (juste poser les système).

Voici la liste des fractions rationnelles apparues dans ce document depuis le début :

  1. 12X2+X-11X-X31X3+12X2+8X-311-X3

  2. 11-X611-X41X2-X10X1-X4

  3. X2X-X3X21-X4X+1X+X3X2+1X+X311+X4.

9Division euclidienne d'un polynôme par un autre

Ce document n'a pas traité les cas où °(numérateur) °(numérateur).

Lorsque °(numérateur) °(numérateur), on fait la division euclidienne du haut par le bas.

Exemple 1 : pour 4X3+22X+1, on fait : 4X3+2 divisé par 2X+1.

On trouve : 4X3+2=(2X2-X+12Q(X))(2X+1)+32R(X).

Le reste R(X) doit être de degré strictement inférieur à 2X+1 (ici donc de degré 0).

On remplace : 4X3+22X+1=(2X2-X+12)(2X+1)2X+1+3/22X+1=2X2-X+12+3/22X+1.

Exemple 2 : pour X51-X4 on divise : X5=(-X)(1-X4)+X d'où X51-X4=-X+X1-X4, reste à faire les éléments simples de X1-X4, car le -X tout seul on le laisse comme ça.

Exercices :X6+X21-X6 et X8+X21-X6