Fonctions à deux variables

Table des matières

1.Recherche de fonctions discontinues 1

1.lim(0,0) peut valoir tantôt 0, tantôt + 1

2.lim(0,0) peut prendre touter valeur d'un intevalle donné 3

2.Prolongements en (0,0) 3

2.1.Exos courts 3

2.2.Exos longs 4

2.2.1.f(x,y)=ln|x-y|+1(y-α)-μ(x-α) 4

2.2.2.f(x,y)=ln(x+ey)x2+y2 5

2.2.3.f(x,y)=xnyp(x2+y2)k 6

2.2.4.f(x,y)=xnypx+y 6

2.2.5.f(x,y)=x2y2x2y2+(x-y)2 7

3.Dérivation et Différenciation 8

3.1.Différentiabilité en (0,0) 8

3.2.Étude d'extrema 8

3.3.Divers 8

On s'intéresse ici a priori aux fonctions f:2.

1.Recherche de fonctions discontinues

1.lim(0,0) peut valoir tantôt 0, tantôt +

1) Trouver une fonction f discontinue en (0,0) vérifiant :

lim(0,0)f=0 pour certains chemins et lim(0,0)f=+ pour d'autres.

Posons f(r,θ)={ 1r sia<θ<b 0 sinon. .

Voici le graphe de f0(r,θ)=1r :

Figure 1. Graphe de f0(r,θ)=1r

On tronque maintenant. La partie sombre correspond à a<θ<b :

Figure 2. Graphe de f(r,θ)={ 1r sia<θ<b 0 sinon. .

On a donc limr0f(r,θ)=0 pour tout chemin dans la partie claire, et limr0f(r,θ)=+ pour tout chemin dans la partie sombre.

2) Trouver une fonction discontinue en (0,0) vérifiant :

lim(0,0)f=0 le long de toute demi-droite θ=Cste et lim(0,0)f=+ pour d'autres chemins.

Solution 1 :

Reprenons la courbe précédente f(r,θ)={ 0 pour y=0 1r sur la partie sombré 0 ailleurs, .en prenant ici une partie sombre délimitée par { y=±x2 x>0 . :

Figure 3.

Ici, le long de tout chemin linéaire y=ax on a f(r,θ)0, mais le long de y=x22 par exemple on a f(r,θ)+.

Solution 2 :

Prenons la courbe f(r,θ)=rθ pour θ[0;2π[. Alors :

2.lim(0,0) peut prendre touter valeur d'un intevalle donné

Trouver une fonction discontinue en (0,0), avec plus précisément :

μI, il existe un chemin C menant vers (0,0) tel que limCf=μI est :

  1. I=[a,b] ;

  2. I=[0;+].

Réponse :

2.Prolongements en (0,0)

2.1.Exos courts

  1. f(x,y)=xyx2+y2. En étudiant la limite en (0,0) le long des droites θ=Cste, montrer que f admet toutes les limites possibles dans un certain intervalle [a,b]a et b sont à déterminer.

    Réponse : f est nulle sur les axes et constante égale à 12sin(2θ) sur les droites θ=Cste, on a donc toutes les limites possibles sur [0,1/2] :

    Figure 4. Limites possibles de f en (0,0) par chemins centripètes.

  2. f(x,y)=1(x-y)2 : prouver que f possède une limite + en tout point (a,a).

    Réponse : Prenons par exemple a=0, on a alors :

    f(x,y) 1(x-y)2+(x+y)2 = 12(||x,y||2)2.

    En d'autres valeurs de a on peut écrire adapter ça ou bien dire pour a0, on a : (x,y)(a,a)(r,θ)(a2,±π4) et utiliser la forme polaire de f :

    f(r,θ)=1r2cos(2θ)

  3. f(x,y)=(x+y)sin(1x)sin(1y) : f est-elle continue en (0,0) ; quelles sont les ou la limite(s) en ce point ?

    Réponse : limite nulle en (0,0) car |f(x,y)|||x,y||1||x,y||2.

  4. f(x,y)=|x|+|y|x2+y2 . Déterminer lim(0,0)f.

    Réponse :

    D'après les inégalités, f(x,y)x2+y2x2+y2=1||x,y||2 donc : lim(0,0)f=+.

  5. f(x,y)=1-cos(xy)y2 : limite en (0,0) ?

  6. f(x,y)=x2yx4+y2 : est-elle continue en (0,0) ?

    On a 0 suivant toute droite, mais toutes les limites possibles dans [-12;12] pour y=ax2.

2.2.Exos longs

2.2.1.f(x,y)=ln|x-y|+1(y-α)-μ(x-α)

Soit la fonction : f(x,y)=ln|x-y|+1(y-α)-μ(x-α) avec μ et α.

Étudier les points de discontinuité de f.

On suppose μ<1. Les raisonnements sont symétriques pour μ>1.

Étudions ce conflit :

Prenons alors un chemin du style (y-α)=k(x-α), on a alors :

f(x,y)=ln|x-α|+ln|1-k|+1(k-μ)(x-α)

La limite est donnée par le schéma suivant :

Figure 5.

Remarque : un chemin du style y=x-(x-α)n ne changerait rien aux résultats de ce schéma.

2.2.2.f(x,y)=ln(x+ey)x2+y2

On pose :

f(x,y)=ln(x+ey)x2+y2.

Étudier les limites possibles en (0,0) suivant la direction (chemin linéaire vers 0) choisie.

Réponse : On a f(x,0)=lnx|x| de limite - lorsque x0.

D'autre part, f(0,y)=y|y|, constant égal à ±1 suivant le signe de y.

Déjà, on voit que f est discontinue en (0,0).

Regardons le long d'une droite :

  1. Pour t-1, on a f(x,tx)=ln(x+etx)|x|1+t2x0ln(1+(t+1)x)|x|1+t2x0x|x|×t+1t2+1.

  2. Pour t=-1 cela donne f(x,-x)x0|x|22.

Étudions la quantité u(t)=t+1t2+1. On trouve u'(t) du signe de (1-t) d'où :

courbe de u(t)=t+1t2+1 limites en (0,0) de f suivant la direction

Figure 6.

2.2.3.f(x,y)=xnyp(x2+y2)k

(généralisation d'un exo court ci-dessus).

Discuter suivant les valeurs de k, de la continuité de f en (0,0).

Exercice 1. .

Solution.

f(x,y)=xnyp(x2+y2)k avec k.

Déjà f est nulle sur les axes.

De plus, on a |xnyp|(||x,y||)n+p(||x,y||2)n+p donc :

  • si k<n+p2, alors lim(0,0)f=0 ;

  • si k=n+p2, alors f(x,tx)=u(t)=tp(1+t2)n+p2 ne dépend que de la direction choisie (c'est-à-dire de t). La valeur de f en un (x,tx) donné est donc égale à la limite de f en (0,0) le long de la droite (y=tx). (Si l'on a l'obscession de la symétrie et le goût du calcul on peut aussi vérifier que f(ty,y)=f(x,xt).) Les valeurs de u forment alors un tableau de variations pair ou impair qui prend les valeurs suivantes :

    t=0 u(t)=0 t=pn u(t)=nppnn+pn+pmaximumdeu(waoh) t+ u(t)1tndonclim+u=0
  • si k>n+p2, alors f(x,tx)=tp(1+t2)n+p2×1x2k-(n+p) de limite + si x0 (mais la fonction reste nulle sur les axes). La limite en (0,0) est donc + suivant toute droite sauf les deux axes où elle vaut 0.

2.2.4.f(x,y)=xnypx+y

On pose, pour tous n,p1 :

f(x,y)=xnypx+y.

On voit que, pour t-1, f(x,tx)=xn+ptpx(1+t)=xn+p-1tp1+t de limite nulle lorsque x0. Par contre la limite infinie lorsque { x00 y-x0 . laisse penser qu'on doit pouvoir trouver un chemin 𝒞 tel que lim(x,y)𝒞(0,0)f(x,y)=+.

Pour trouver ce chemin, posons y=-x+f(x)f(x)=o(x), par exemple y=-x+xk et alors on a : f(x,y(x))=xn(-x+xk)pxk donc |f(x,y(x))|0xn+p-k et alors :

De manière symétrique, on aurait pu prendre un chemin x=-y+yk et alors on aurait eu les mêmes deux chemins.

Pour comprendre cette histoire de signes, voici un schéma des signes de f :

signes de f(x,y) chemin y=-x+x2 chemin y=-x+x3

Figure 7.

Prouver, en utilisant soit des chemins linéaires vers 0, soit des chemins de la forme y=-x+xk, que f n'est pas continue en (0,0). Préciser les limites obtenues par ces chemins, sans se tromper dans les signes.

2.2.5.f(x,y)=x2y2x2y2+(x-y)2

On pose :

f(x,y)=x2y2x2y2+(x-y)2.

f est-elle continue en (0,0) ? Si non, quelles sont les limites possibles atteintes ?

Dessiner les isoclines (courbes f(x,y)=Cste).

Indication : Regarder sur les courbes θ=Cste, et sur les courbes 1y-1x=Cste.

Réponse :

Les courbes correspondant à ces isoclines sont les y=11x+m=x1+mx.

isoclines de f

Figure 8.

3.Dérivation et Différenciation

3.1.Différentiabilité en (0,0)

  1. f(x,y)=|x|+|y| est-elle différentiable en (0,0) ?

    non… pas de dérivées partielles en (0,0).

  2. f(x,y)=exy est-elle différentiable en (0,0) ? Idem avec f(x,y)=yexy

    oui..

  3. Étudier le prolongement de f(x,y)=x3-y3x2+y2 en (0,0).

    Réponse :

  4. Étudier le prolongement en (0,0) en fonction de p de :

    f(x,y)=(x+y)psin(1x2+y2).

    Est-il différentiable ?

    continue pour p1 et les dérivées partielles sont continues pour p2.

3.2.Étude d'extrema

  1. Extrema globaux, locaux de f(x,y)=x4y3+ln(1+y4) sur [-1,1]2.

    les (x,0) sont tous extrema locaux et f(x,0)=0, extrema globaux en (±1;±1) de valeur 1+ln(2).

  2. Extrema de f(x,y)=x2+y3-2xy-y.

    Points critiques : (0,0) et (23;23), un « dl » ordre 1 montre qu'ils ne sont même pas des extrema locaux.

3.3.Divers

  1. f(x,y)=sin|xy||x|+|y|, prolongement en (0,0), dérivées partielles…

    Réponse : prolongeable par f(0,0)=0 ; dérivées partielles non continues.

  2. f(x,y)=1-r2 si r=x2+y2>1 et f(x,y)=0 si r1.

    Réponse : les dérivées partielles ne sont pas continues sur le cercle trigo.