1.Un exercice magnifique algèbre/équa diff

On considère dans 2[X] l'application :

φ:P(X)(2X+1)P(X)-(X2-1)P'(X).

1) Écrire φ sous forme matricielle.

2) Trouver valeurs et vecteurs propres de φ.

3) Retrouver ces résultats analytiquement en résolvant :

(2x+1)y-(x2-1)y'=λy

dans les trois cas λ=-1 ; λ=1 ; λ=3.

Réponses :

1) Si P(X)=aX2+bX+c, alors φ(P)(X)=(a+b)X2+(2a+b+2c)X+(b+c) donc :

Aφ=( 1 1 0 2 1 2 0 1 1 ).

2) Φφ(X)=(X-1)(X-3)(X+1) donc Spφ={-1;1;3} :

E1=( 1 0 -1 ) E3=( 1 2 1 ) E-1=( 1 -2 1 )

3) On trouve f(x)=k(x2-1)(x-1x+1)1-λ2 d'où :