Équa Diff

Table des matières

1.Ordre 1, linéaires 2

1.1.Équations sur 2

1.1.1.-y'+4y=3xsin(2x) 2

1.1.2.Divers 2

1.2.Avec un point de raccordement à étudier en 0 3

1.2.1.xy'+y2=1x+1 3

1.2.2.Divers 3

1.3.Avec des point(s) de raccordements divers 4

1.3.1.t(t2+1)y'+2y=t2 avec y(1/e)=0 4

1.3.2.x(x+1)y'+y=1+x 5

1.3.3.Divers 5

2.Ordre 1, changement de variables 6

3.Ordre 2, linéaires, coefs constants 6

4.Ordre 2, linéaires, coefs variables 7

5.Ordre 2, changement de variables 7

6.Équas diff plus difficiles avec des valeurs absolues 7

6.1.y'=|x-y| 7

6.2.y''+|y|=1 7

6.2.1. cas

y0
7

6.2.2.cas y0 8

6.2.3.Conclusion 8

6.2.4.Conditions initiales 9

7.Résolution par SE 9

8.Wronskien 9

1.Ordre 1, linéaires

1.1.Équations sur

1.1.1.-y'+4y=3xsin(2x)

calculs fastidieux pour primitiver λ'.

Homogène y=λe4x

Particulière λ'=-e-4x3xsin(2x).

Méthode 1 : On cherche λ sous la forme :

λ=e-4x(x(acos(2x)+bsin(2x))+a'cos(2x)+b'sin(2x)).

On trouve :

λ' = e-4x(x()-4b'sin(2x)) +e-4x((+bsin(2x))+x(+)) +e-4x(-2a'sin(2x)+),

d'où en identifiant :

{ -4a+2b = 0 -4b-2a = -3 -4a'+a+2b' = 0 -4b'+b-2a' = 0 . { a = 3/10 b = 3/5 a' = b' = ..

Méthode 2 : λ'=(-e-4x3xe2x), on résoud donc Λ'=3xe(2-4)x.

1.1.2.Divers

  1. y'+4y=x2cosx

    Très long ; on peut passer par les complexes ou annoncer :

    y=(ax2+bx+c)sinx+(a'x2+b'x+c')cosx.

    Solution particulière :

    y=(117x2+16172x+94173)sinx+(417x2-30172x+104173)cosx

  2. -y'-4y=x2sin(3x)

    calculs fastidieux pour primitiver λ'.

    Réponse :

  3. xy'-5x5y=5x2ex5+x

    Réponse :

  4. y'=x2y+x5

    Réponse : y=(x3+3)+λex33.

  5. y'+ythx=xthx

    Réponse :

    1. homogène : y=λchx ;

    2. particulière : λ'=xshx

    3. y=x-thx+λchx.

1.2.Avec un point de raccordement à étudier en 0

1.2.1.xy'+y2=1x+1

dans ]-;0[

dans ]0;+[

homogène

y=λ|x|

y=λ|x|

variation

de la

constante

λ'=2×12|x|×11+x

particulière

λ(x) = x2×12-t×11+tdt = --x2d(-t)11-(-t)2 = ln|1--x1+-x|

λ(x) = x2×12t×11+tdt = x2×d(t)×11+(t)2 = 2arctan(x).

conclusion

y=λ|x|+1|x|ln|1--x1+-x|

y=λ+2arctan|x||x|

c'est prolongeable en 0 ssi λ=0 :

on trouve 2 à droite et 2 à gauche.

1.2.2.Divers

  1. x2y'+2xy=1

  2. αxy'=y, avec α0.

    Réponse dans ]-;0[ ou ]0;+[ :

    y=μ|x|1α ;

    α>0, raccord continu en 0 pour toutes valeurs de μ et de μ' ;

    α]0;1[, raccordement C1 en 0 pour toutes valeurs de μ et de μ'.

  3. x2y'+2xy=1

  4. x2y'+2xy=1

  5. 2xy'+y=x4

    Réponse dans ]-;0[ ou dans ]0;+[ :

    homogène : y=λ|x| ; particulière : λ'=x32|x|=12|x|3,5 ; générale :

    y=x49+k|x|
    .

    Raccord possible en 0 ssi k=k'=0 et alors on a

    f(x)=x49
    .

  6. x2y'+2xy=1

    Réponse dans ]-;0[ ou dans ]0;+[ :

    homogène : y=λx2 ; particulière : λ'=1 ; générale :

    y=1x+kx2
    .

    Aucun raccord possible en 0.

  7. 3x3y'+y=x

  8. x3y'-x2y=1

    Réponse dans ]-;0[ ou dans ]0;+[ :

    homogène : y=λx ; particulièreλ=-13x3+k ; générale : y=-13x2+kx.

    Aucun raccord possible en 0.

  9. x2y'-yx=x

1.3.Avec des point(s) de raccordements divers

1.3.1.t(t2+1)y'+2y=t2 avec y(1/e)=0

  1. D'abord décomposer en éléments simples :

    1t(t2+1)=1t-tt2+1

    (on utilise la parité, le pole t0, et la mise au même dénominateur).

  2. Ensuite l'homogène donne :

    y'=(-2t+2tt2+1)y,

    soit

    y=λt2+1t2=λ(1+1t2).
  3. On varie la constante :

    (t2+1)2tλ'=t2 λ'=t3(t2+1)2.
  4. On primitive avec une intégration par parties :

    λ(x) = axt3(t2+1)2dt() = axt22×2t(t2+1)2dt = [t22×(-1)t2+1]ax-axt×(-1)t2+1dt = -x22(x2+1)+Cste+12ax2tt2+1dt = -x22(x2+1)+12ln(x2+1)+Cste.

    Remarque : poser u=t2 dans () marchait aussi.

  5. Conclusion :

    y(x) = λx2+1x2 y(x) = (-x22(x2+1)+12ln(x2+1)+Cste)x2+1x2 y(x) = -12+(k+12ln(x2+1))(1+1x2) .

    Il faut distinguer ]-;0[ et ]0;+[.

  6. Condition initiale :

    y(1/e)=0 -12+(k+12ln(1e2+1))(1+e2)=0 (k+12ln(1+e2e2))(1+e2)=12 k=12(1+e2)-12ln(1+e2)+1 .

1.3.2.x(x+1)y'+y=1+x

Réponse dans ]0;+[ :

1.3.3.Divers

  1. (1-x2)y'=(2-x)y

    Réponse dans ]-;-1[ ou dans ]-1;1[ ou dans ]1;+[ :

    on trouve y=λe11-x1-x.

    Raccordement en 1 possible seulement pour λ=0 à gauche (et λ quelconque à droite).

    Le point x=-1 est un faux pole.

  2. (2+x)y'=2-y

  3. (ax+b)y'=1-y

  4. x(x+1)y'+y=1+x2

  5. x(x-2)y'=2y+2x(x-2)2

    Réponse dans ]-;-1[ ou dans ]-1;1[ ou dans ]1;+[ :

    homogène : y=λx(x-2) ; particulière y=(x-2)(x+kx) ; générale : y=

    raccordement C en 0 pour k=k'=0

    pas de problème en 2.

  6. (xlnx)y'+y=x

    Réponse :

  7. (2+x)y'=2-y

    Réponse dans ]-;-2[ ou ]-2;+[ :

    On écrit (2+x)y'+y=2 et on reconnaît ((2+x)y)'=2 d'où

    y=2x+k2+x
    .

    Raccordement C en -2 possible pour k=4 (y=Cste=2)

  8. (ax+b)y'=A-y

    Réponse dans ]-;-ba[ ou dans ]ba,+[ :

    homogène y=λ|ax+b|1a ; particulière : λ'=A|ax+b|1a-1 ; générale :

    y=A+λ|ax+b|12
    .

    Raccordement possible en -ba possible seulement pour λ=0 (alors y=Cste=A).

2.Ordre 1, changement de variables

Résoudre en utilisant le changement de variables indiqué :

  1. -x2z'+xz=z2 (poser y=1z).

    Réponse dans ]-;0[ ou ]0;+[ :

    on arrive à x2y'+xy=1 d'où y=k+ln|x|x d'où

    z=xln(|ax|)
    pour a0 .

    C'est prolongeable en 0 quelles que soient les valeurs de a à gauche et à droite.

3.Ordre 2, linéaires, coefs constants

Résoudre sur :

  1. y''+2y'+y=e-xcos(2x)

  2. y''-2y'+y=x2e-2x

  3. y''-2y'+y=cosx+chx

    Réponse : y=(ax+b)ex+e-x+2x2ex-4sinx8.

  4. y''+3y'+3y=x3e-x

    Réponse : y=e-3x/2(αcos(x32)+βsin(x32))+(x3-3x2+6)e-x.

  5. y''-2y'+y=x2e-2x

  6. y''-2ky'+(1+k2)y=exsinx avec k1.

    Réponse :

  7. y''-2y'+y=x2e-2x

  8. y''+2y'+y=e-xcos(2x)

  9. y''-y'+y=x2e-2x

  10. y''-y'-2y=x2e-2x

  11. y''-6y'+9y=2cosx(E)

    Réponse : y=45cosx-35sinx+(ax+b)e3x.

    Pour la particulière les complexes sont bien :

    on résoud E:y''-6y'+9y=2ex

    y=Cex avec C d'où -C-6C+9C=2C=14-3=4+325

  12. Résoudre ay''+by'+cy=e2x pour :

    1. a=b=c=1a=c=2 et b=5

    2. a=c=2 et b=-5a=c=1 et b=-2

4.Ordre 2, linéaires, coefs variables

  1. αx2y''=y

    Réponse : y=λxβ, avec β=12±14+1α, valable pour α]-4;0].

    Distinguer ]-;0[ et ]0;+[.

    Exemple de valeurs de α pour simplifier l'exercice :

    α=43β{-12;32}.

5.Ordre 2, changement de variables

  1. t2y''+4ty'+2y=1, poser t=ex.

    Réponse dans ]-;0[ ou ]0;+[ :

    Méthode 1 : On pose y(t)=z(x) et on remarque que x=lny, et alors :

    y(t) = z(x) y'(t) = 1tz'(x) y''(t) = -1t2z'(x)+1tz''(t).

    On trouve z''+3z'+2z=1, puis y=αt+γt2+12 .

    Méthode 2 : on peut aussi partir directement d'une forme y=αt+γt2+β et identifier.

6.Équas diff plus difficiles avec des valeurs absolues

6.1.y'=|x-y|

Cas 1 : xy

On résoud y'=x-y on trouve y=x-1+λe-x.

On résoud xy dans ce cas, cela donne : λe-x1 et c'est vrai :

Cas 2 : xy

On résoud y'=y-x on trouve y=x+1+λex.

On résoud yx dans ce cas, cela donne λex+10 et c'est vrai :

Conclusion : solutions sur

y=x-1+λe-x pour λ0

y=x+1+λe-x pour λ0

Solutions tronquées

cas λ<0 λ>0
solution y=x+1+λex y=x-1+λex
intervalle de définition ]-;-ln(-λ)] [lnλ;+[

6.2.y''+|y|=1

6.2.1.cas
y0

Cela donne y''+y=1y=1+λcos+μsinx, qu'on peut écrire aussi plutôt :

y=1+ρcos(x-θ) .

Ces fonctions sont a priori définies sur , mais on est dans le cas y0 et l'on cherche donc les ρ,θ tels que :

x,1+ρcos(x-θ)0.

C'est indubitalement vrai ssi

ρ1
.

Note : si l'on voulait des solutions tronquées (pas définies sur tout entier), on pourrait remarquer que pour ρ1 c'est toujours possible et que, par exemple, quand ρ+, l'ensemble de définition de ces solutions se rapproche de [θ-π2;θ+π2][θ+3π2;θ+5π2]

6.2.2.cas y0

Cela donne y''-y=1y=-1+λex+μe-x soit :

y=λex+μe-x-1 .

Ces fonctions sont a priori aussi définies sur , mais on est dans le cas y0 et l'on cherche donc les λ,μ tels que :

x,λex+μe-x-1.

Conclusion :

λ,μ0
.

Note : si l'on voulait des solutions tronquées, trouvons l'ensemble des solutions de λex+μe-x-10 c'est-à-dire l'ensemble des solutions dans + de λX2-X+μ0 :

On trouve Δ=1-4λμ et X=1±Δ2λ si cela existe, donc :

6.2.3.Conclusion

Si on veut des solutions définies sur , on a donc :

pour -1ρ1

et θ quelconque

pour λ,μ négatifs
y=1+ρcos(x-θ) y=-1+λex+μe-x

6.2.4.Conditions initiales

On peut aussi exprimer f(0) et f'(0) en fonction de λ,μ et regarder la zone valide du plan en mettant f(0) en abscisses et f'(0) en ordonnée. Cela permet de construire des énoncés avec valeur initiale, dont les solutions seront plus lisibles…

Cas particulier : { y''+|y|=1 y(0)=0 y'(0)=1. .

7.Résolution par SE

  1. Résoudre par SE : 4(1-t2)y''-4ty'+y=0.

    On trouve :

    an+2=(n-12)(n+12)(n+1)(n+2)an=(12-n)(12-n-1)(n+1)(n+2)an,

    d'où a2p=( 1/2 2p )a0 et a2p=( 1/2 2p+1 )a1.

    On peut prendre a0=a1=1 et a0=-a1=1 pour avoir deux solutions indépendantes qui forment un système fondamental, soit y(t)=1±t.

  2. Résoudre par SE : (1+t2)y''+4ty'+2y=0.

    On trouve an+2=-an d'où en séparant termes pairs et termes impairs et en reconnaissant le DL de x11+x2, la solution y=α+βt1+t2, a priori dans ]-1;1[ puisque c'est là que la SE fonctionne, mais a posteriori valable sur tout entier.

  3. Résoudre par SE : (1+t2)y''+4ty'+2y=0.

8.Wronskien

  1. Deux fonctions a,b:I continues et (f,g) un système fondamental de solutions de :

    (E):y''+ay'+by=0.

    Trouver une équa diff vérifiée par :

    w=| f g f' g' |.

    Réponse : w'+aw=0.