1.Uniforme continuité

  1. f:+ uniformément continue telle que x>0,limnf(nx)=0. Montrer que lim+f=0.

    (On peut aussi présenter l'énoncé avec juste limnf(n)=0.)

    Réponse : On prend ε>0 et le α correspondant. Soit n0 tel que nn0, |f(nα)|ε, alors pour tout xn0α, soit nx tel que nxαx<(nx+1)α alors :

    |f(x)||f(x)-f(nxα)|+|f(nxα)|2ε.

    Remarque 1. La propriété reste vraie quand f est simplement continue.

    Preuve par l'absurde : supposons un ε>0 et une (xn) croissante divergente telle que pour tout n, f(xn)>ε, alors par continuité on a des In=[an,bn] d'intérieur non vide sur lesquels f(x)>ε/2 avec an+ et bn+.

    Partons de [a1,b1], déployons-le en [ka1,kb1], les déploiements, pour k assez grand, finissent par se chevaucher donc vont englober un des In c'est-à-dire qu'on aura des k1,n1 tel que [k1a1,k1b1][an1,bn1] contient un intervalle non trivial [μ,λ]. Posons [a2,b2]=[μ/k1,λ/k1] alors pour tout x[a2,b2] on a f(k1x)>ε/2.

    Recommençons le processus par récurrence en imposant k2>k1.

    Par principe de compacité dans , on a i[ai,bi]0, donc soit c là-dedans, alors on a une suite strictement croissante d'entiers (ki), de limite donc +, et tels que pour tout i, on a f(kix)>ε/2, ce qui contredit l'hypothèse.

    Remarque 2. La propriété est fausse pour f non continue.

    Preuve : prenons f la fonction caractéristique de R={(1+p)n,n}p vaut 2 ou tout autre entier qui n'est pas un carré parfait.

    Soit x>0 alors un seul kx, pour k, est au plus dans R.

    En effet, si { kx=(1+p)n k'x=(1+p)n' . alors par quotient on a un (1+p)m or (1+p)m=a+bp

    Par conséquent, pour tout x>0 on a limn+f(nx)=0.

  2. f:A uniformément continue est aussi continue.

  3. Heine : f continue sur [a,b] est u.c.

    Preuve séquentielle : si xn-yn0, dans [a,b] on a un xφ(n) et yφ(n) contradictoire avec la continuité si f(yn)-f(xn) ne tend pas vers 0.

  4. f:+ uniformément continue, montrer que a,b0 tels que x0, |f(x)|ax+b.

    Soit ε=1 et le η correspondant, alors |f(η)-f(0)|<1 donc.. |f(nη)-f(0)|<n et tout x est dans un [nη,(n+1)η] donc |f(x)-f(0)|<n+1 donc η|f(x)-f(0)|<x+1.

  5. f: continue et ayant des limites finies en ±.

    1. Mq f bornée.

    2. Mq f u.c. sur .

      Soit ε>0, on prend [a,b] tel qu'en dehors f(x) confiné dans un intervalle de rayon ε/2, et sur [a-1;b+1], Heine nous donne un η et on prend ensuite Min(η,1).

    3. Mq si lim+f=lim-f alors f admet un max ou un min

      Soit =lim±f et soit x tel que f(x), supposons x> alors soit [a,b] tel qu'en dehors de cet intervalle f(x) confiné dans [-ε,+ε] avec +ε<x alors, [a,b] étant compact…

  6. Recollement de fonctions u.c. :

    1. Si f u.c. sur [0;5] et sur [2;10] montrer que f u.c. sur [0;10].

      On prend simplement Min{α[0;2];α[1;3];3}

    2. Si f u.c. sur ]0;1] et sur [1;2[ alors elle l'est sur ]0;2[

      On applique Heine sur [1-ε;1+ε] puis on recolle.

    3. Si f continue et périodique sur , Mq f est u.c. sur .

    4. S'il existe un compact [a,b] de en dehors duquelf est lipschitzienne, alors f est u.c. sur .

      (fréquemment utilisé dans les exemples « u.c. et dérivée ».)

      On fait Heine sur le compact [a-1;b+1] et Lipschitz en dehors, et on recolle.

  7. u.c. et dérivée : Si f est dérivable et f' non bornée, peut-on en déduire que f est non u.c. ?

    Non, pas automatiquement, ça dépend sur quelles plages f' est « grande ».

    Exemples :

    1. La fonction xx a une dérivée non bornée dans ]0;+[, pourtant elle y est u.c.. Preuve : elle est lipschitzienne sur [1;+[ et u.c. par Heine sur [0;2] ensuite on recolle.

      Pour le dire « avec les mains », sa dérivée est non bornée là où Heine s'applique.

    2. La fonction xsin(x2) est-elle u.c. sur ?

      Non car c'est au voisinage de ± que sa dérivée est non bornée. Prendre xn=nπ et yn=nπ+π/2.

    3. Anecdote : Mq la fonction xx2sin(1x) prolongée en 0 est u.c. sur .

      Ici on est dans le cas d'une dérivée non convergente en 0 (mais bornée).

      En ±, sa dérivée est bornée donc en dehors d'un certain compact la fonction est lipschitzienne puis on recolle.

  8. Exemples de fonctions u.c. ou pas :

    1. Mq ni f(x)=ex sur ni g(x)=lnx sur ]0;+[ ne sont u.c.

      ex+α-exα=(eα-1α)×ex et x+ à α constant, n'est pas borné quand x varie.

      de même pour ln(x+α)-ln(x)α=ln(1+αx)α et x0.

    2. Mq f(x)=x2 n'est pas u.c. sur .

      On prend xn=n et yn=n+12n.

  9. f: continue croissante bornée, montrer que f est u.c. sur .

    Par l'absurde, supposons que f n'est pas u.c. Soit le ε récalcitrant.

    Prenons x0=0 et y0=1.

    Par récurrence, pour tout n1 donné, on peut trouver, en dehors de i=0n-1[xi,yi] (puisque dedans elle est u.c. par Heine), un couple xnyn tels que 0yn-xn1n et |f(yn)-f(xn)|ε.

    Alors posons i=0n-1[xi,yi]=[an,bn], on a nε<i=0n(f(yn)-f(xn))f(bn)-f(an) par croissance, et si n, c'est contradictoire avec f bornée.

    Nécessité des 3 hypothèses :

  10. Composition de fonctions u.c. :

    1. Si f et g sont u.c., alors fg l'est aussi.

    2. Trouver fg u.c. avec g qui ne l'est pas x2 ou f qui ne l'est pas (x)2.

    3. Trouver fg u.c. avec ni f ni g u.c. f(x)=e-x et g(x)=x2.

    4. Si f:]0;+[]0;+[ est u.c., est-ce que ef non : prendre f(x)=x, lnf non : prendre f(x)=x, f à voir… le sont ?