Continuité

Table des matières

1.Continuité simple 1

1.1.Divers 1

1.2.Fonctions « à échelles » 2

2.Prolongements par continuité 2

3.Points fixes 3

4.Théorie 3

On trouvera aussi des exercices sur ce thème dans le fichier fonctions_sur_0_1 du dossier fonctionsR_R.

1.Continuité simple

1.1.Divers

  1. Montrer que toute f continue et périodique sur est bornée et atteint ses bornes.

  2. Soit f: une fonction continue telle que lim+f=lim-f=+.

    Montrer que f possède un minimum sur .

  3. Soient f et g deux fonctions.

    1. Simplifier l'écriture de la fonction u(x)=f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|2.

    2. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues, les fonctions min(f,g) et max(f,g) le sont aussi.

  4. Soient f,g:[a,b] continues. On suppose que : [a,b],f(x)>g(x)>0. Montrer qu'il existe k>1 tel que f>kg.

    Sur[a,b] compact, fg a un minimum k>1

  5. Soit f:I. Si fet si f surjective, alors f est continue.

    Si f alors f possède en tout a une limite à droite d(a) et une limite à gauche g(a). Soit un éventuel a tel que d(a)g(a) alors :

    Remarque : cet exercice utilise la propriété que f croissante f réglée, qui se démontre facilement à l'aide de la notion de borne sup/borne inf.

  6. Fonction de limite finie aux bornes

    1. Montrer que f continue sur [a,b] est bornée et atteint ses bornes.

    2. Si f continue sur admettant une limite finie en + et en -, montrer que f est bornée ; atteint-elle ses bornes ?

      Il y a un ]-;A] dans lequel f(x) est dans un [-1;+1] et un [B;+[ dans lequel f(x) est dans un ['-1;'+1] et en considérant les deux ensembles :

      {+1;'+1;Max[A,B]f(x)} et {-1;'-1;Min[A,B]f(x)},

      on a respectivement un majorant et un minorant de f.

      Elle n'atteint pas nécessairement ses deux bornes (exemple f(x)=arctanx)

    3. Et si f est à valeurs sur + au lieu de ?

      Sur [0;+] plus difficile à trouver : f(x)=(1-e-x)sinx, ses bornes sont -1 et +1 et elle n'atteint aucune des deux.

    4. Montrer que si lim+f=lim-f, alors f admet un max ou un min.

      Soit =lim±f et soit x tel que f(x), supposons x> alors soit [a,b] tel qu'en dehors de cet intervalle f(x) confiné dans [-ε,+ε] avec +ε<x alors, [a,b] étant compact…

1.2.Fonctions « à échelles »

  1. f continue dans [0;+[ et sans valeur interdite. On suppose que pour tout x0 , on a

    f(x)=f(x2)
    . Montrer que f est constante. Ce résultat est-il toujours valable si f n'est plus supposée continue ?

    Pour tout x>0 et tout n1, f(x)=f(x1/2n) or x1/2nn1 d'où, par continuité en 1 : f(x)=f(1) et par continuité en 0 on conclut x0,f(x)=f(1)..

    Maintenant, pour f non continue on peut avoir f(x)=a dans ]0;1[ et f(x)=b dans ]1;+], et f(0) et f(1) quelconques, c'est-à-dire que n'importe quelle fonction f réglée en 1 convient.

    Mais on peut avoir pire, par exemple f(n)=n pour tout entier n et du coup il y a des sortes de « faisceaux » qui sont les Fn={n2p,p} et tels que uFn,f(u)=n et tous ces faisceaux ont 1 comme valeur d'adhérence.

  2. a) f continue en 0 telle que pour tout x on a

    f(x)=f(2x)
    . Montrer que f est constante.

    b) le résultat reste-t-il valable si f est seulement supposée prolongeable par continuité en 0 ?

    a)Pour chaque x, la suite (f(x2n)) est constante or si f continue cette suite a une limite en 0 (qui est f(0)) et qui est donc la même pour tous les x.

    b) Dans ce cas, on a f(x)=Cste sur seulement et f se prolonge à une fonction consante.

2.Prolongements par continuité

  1. On pose :

    f(x)={ a(ex-1-1)x-1 si x<1 6x-5-bx-1 si x>1 ..

    f est-elle prolongeable par continuité en 1 ? Discuter selon a et b.

    Réponse : b=1 sinon lim1+f est infinie, et a=1 pour recoller.

  2. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur ?

    a(x)=sinx×sin1x b(x)=11-x-21-x2 c(x)=x21x
    d(x)=x2cos(1x) g(x)=x(1-ln2x) h(x)=sinx-cosxx-π4
    j(x)=(ex+2x)1/x k(x)=(1+53x2)x2 (x)=x+x-x

    Réponses partielles :

  3. La fonction est-elle continue sur ?

  4. La fonction l(x)=(1-x2)ln(1+x1-x) est-elle prolongeable en 1 et -1 ?

3.Points fixes

On trouvera aussi des exercices sur ce thème dans le fichier fonctions_sur_0_1 du dossier fonctionsR_R.

  1. Soit f:++ continue et telle que limx+f(x)x=<1.

    1. Montrer que l'équation f(x)=x a au moins une solution.

      Si f(0)>0, vu qu'il existe x tel que f(x)x<(+ε)<1, on applique les valeurs intermédiaires à f(x)-x. Si f(0)=0 c'est plié.

    2. Et si l'on suppose seulement =1 ?

      Alors prendre f(x)=x-1x

  2. Soit f:++ continue décroissante, montrer que f a un unique point fixe.

    Si f n'a pas de point fixe alors f(x)-x garde un signe constant, contradictoire avec la décroissance (si pour tout x, f(x)-x>0, alors soit f(x) donné, on a f(x)>x mais donc par décroissance : f(f(x))f(x) puis les valeurs intermédiaires).

    Remarque : Il suffit d'avoir une suite vérifiant f(xn)xn pour que l'énoncé marche.

  3. f: continue telle que ff admet un point fixe, montrer que f admet un point fixe.

    Cela veut dire que il existe (a,b) tels que Cf passe par (a,b) et par (b,a) aussi donc f(x)-x change de signe entre a et b et on applique les valeurs intermédiaires.

4.Divers

4.1.Utilisation de la borne sup

  1. Montrer que f monotone f réglée (f a partout une limite à gauche et une limite à droite).

  2. f continue sur vérifie pour tout x : f(x)2=1. Montrer que f(x)=Cste.

    si a<b et f(a)=-1 et f(b)=+1 alors soit c=Sup[a,b]{x/f(x)=-1}, on montre facilement que f est discontinue en c.

4.2.Théorie de la continuité

  1. Soit f: vérifiant :

    Montrer que f est continue.

    Réponse : par l'absurde… suppposons f non continue en a, alors

  2. Soit f:, montrer l'équivalence entre :

    1. f continue sur au sens séquentiel (si xna, alors f(xn)f(a)) ;

    2. f continue au sens des ε (pour tout réel a, ε>0, il existe un intervalle ]a-μ,a+μ[ dans lequel |f(x)-a|<ε) ;

    3. pour tout fermé F, f-1(F) est fermé ;

    4. pour tout ouvert F, f-1(F) est ouvert.

    Réponse :