Complexes

Table des matières

1.Équations 2

1.1.Équations avec un module |u(z)| 2

1.2.Divers 2

2.Quelques lignes trigo 4

2.1.Lignes de π/12 4

2.2.Lignes de π/5 5

2.2.1.Méthode 1 5

2.2.2.Méthode 2 5

2.3.Lignes de π/8 5

2.4.Lignes de π/24 6

3.Autour de j 6

4.Racines carrées & Second degré dans 6

4.1.Calcul de racines carrées 6

4.2.Second degré dans . 7

5.Racines n-ièmes dans 7

5.0.1.Divers 7

5.0.2.Calculs préliminaires intéressants 7

5.0.3.Racines n-ièmes 7

5.0.4.Racines de l'unité 7

6.formules trigonométriques 8

6.1.Cos et sin d'une somme 8

6.1.1.Duplication de cos et de sin 8

6.1.2.Écriture réduite de acosθ+bsinθ 9

6.2.(Anti)linéarisations 9

6.2.1.Linéarisations 9

6.2.2.Antilinéarisations 9

6.2.3.Divers - calculs d'intégrale 9

6.3.Divers 10

7.Géométrie du plan 10

7.1.Triangles 10

7.1.1.Exercices avec des coordonnées 10

7.1.2.Exercices plus généraux 10

7.2.Longue-vues 11

7.2.1.Un exemple 11

7.3.Lieux 12

8.Inversion 12

8.1.Inversion canonique f(z)=1z 12

8.1.1.Calculs simples 13

8.1.2.Image de la droite d'équation x=a (a réel quelconque) 13

8.1.3.Image de la droite D:ax+by+c=0 13

8.2.Homographies 13

9.Sommes trigo 13

10.Hyperboles 14

Dans toute la feuille, on appelle par une lettre minuscule l'affixe d'un point nommé par une lettre majuscule, exemple, p désignera implicitement l'affixe du point P. On assimilera aussi le point et l'affixe, et par exemple si f:, on s'autorisera à parler de l'image par f du point M pour dire : « l'image par f de l'affixe m de M ».

1.Équations

1.1.Équations avec un module |u(z)|

  1. Résoudre |z+z2|=1 dans le cas où |z|=1.

    Réponse : |z|×|z+1|=1|z+1|=1 donc intersection de deux cercles.

  2. |z2-2z|=1.

    Réponse : on trouve z=1±eθ/42cosθ2 avec θ[-π;π]

  3. Résoudre |z+1z|=2.

    Réponse :

1.2.Divers

  1. Résoudre (z-1z)2.

    Réponse : cela revient à résoudre (1+k)z2-2z+1=0 avec k d'où :

    { z=1±k1+k pour k0 z=1±k1+k pour k<0 .

  2. Résoudre z2+|z|+1=0

    Réponse : z2 doit être réel <0 donc z doit être imaginaire pur :

    z=k avec k réel alors -k2+k+1=0, d'où k=1-52.

  3. On donne a>0. Résoudre :

    1. |z+1|2+|z-1|2=a.

    2. |z+1|2-|z-1|2=a.

  4. Calculer cn=k=0ncos(kπ4).

  5. Résoudre (1+z1-z)3=1+tanα1-tanαα]-π2;π2[.

    Réponse :

    Autre méthode :

    1+tanα1-tanα=eαe-α=e2α d'où 1+z1-z=e(2α3+2kπ3)=jke2α3, soit z=1-jke2α/31+jke2α/3, on doit pouvoir se ramener au résultat précédent.

  6. On pose u=e2π7 et { a=u+u2+u4 b=u3+u5+u6. .Calculer a+b, puis a2, puis a et b.

    Réponse : a+b=-1 puis a2=-2-a d'où a=-1±72.

    On regarde (a)=sin2π7>0+sin4π7+sin8π7=2sin6π7cos2π7>0>0 d'où a=-1+72 et b=-1-72

  7. Résoudre k=0n(-1)kzk=0.

  8. Pour a donné, résoudre de deux manières différentes :

    3x-x31-3x2=3a-a31-3a2(E).

    Réponse :

  9. Montrer que pour tous u,v :

    |u+v|+|u-v||u|+|v|.

    Réponse : on utilisera |a+b|2=|a|2+|b|2+ab+ab.

    c'est équivalent à :

    (|u+v|+|u-v|)2(|u|+|v|)2 |u+v|2+|u-v|2+2|u+v|×|u-v||u|2+|v|2+2|u|×|v| |u|2+|v|2+2|u2-v2|2|u|×|v| (|u|-|v|)2+2|u2-v2|0, ce qui est vrai.

  10. z=1+ea, donner module et argument de z en fonction de a.

    Réponse : |z|=2(1+cosa) et arg(z) a pour tangente tana2.

    Cet exercice utilise l'angle moitié.

  11. Résoudre z2+z+1=0.

    Réponse : cela donne :

    { x2-y2+x+1=0 2xy-y=0. .

    La seconde équation nous amène à y=0 ou x=1/2.

    On remplace alors dans la première :

    Conclusion :

    S={1-72;1+72}.

2.Quelques lignes trigo

2.1.Lignes de π/12

  1. En remarquant que 112=13-14, déterminer cos(π12) et sin(π12). En déduire tan(π12).

    Réponse :

    { cos(π12) = 6+24 sin(π12) = 6-24. .

    Et, par expression conjuguée, on a tan(π12)=2-3.

  2. Détermination directe de tan(π12) :

    1. Par la formule tan(2a)=2tan(a)1-tan2(a) en prenant a=π12.

      Réponse : si x=tan(π12), on a alors x2+23x-1=0 on trouve x{2-3;-2-3}, l'autre racine est tan(π12+π2).

    2. Par la formule tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b), en prenant { a=π3 b=π4. .

      Réponse : on trouve directement tan(π12)=2-3.

  3. Dans un carré ABCD, placer M sur [AB] et N sur [AD] tels que CMN équilatéral, calculer AM et en déduire cos π12.

    Figure 1.

  4. Dans un carré ABCD, placer E tel que ABE équilatéral et regarder le triangle ECD.

    Figure 2. Les angles C^ et D^ de CED mesurent π12.

  5. On pose a=2+3- et b=32e-π/6 :

    1. donner la forme cartésienne de a, puis celle de ab ;

    2. donner la forme exponentielle de a, puis celle de ab ;

    3. en déduire eπ/12.

2.2.Lignes de π/5

2.2.1.Méthode 1

  1. Développer (x-2)(x+1)(x2+x-1).

  2. Résoudre le système { x2=y+2 y2=x+2 ..

  3. On pose a=eπ5+e-π5 et a=e2π5+e-2π5. Déterminer a et b en utilisant les questions précédentes.

  4. En déduire les lignes trigonométriques de π5 et de 2π5.

2.2.2.Méthode 2

Résoudre 1+z+z2+z3+z4=0 de deux manières différentes.

  1. En pensant aux suites géométriques, on a S={k,k2,k3,k4}k=e2π5.

  2. En posant Z=z+1z après avoir divisé par z2, on trouve :

    S={1-54±5+522;-1-54±5-522}

2.2.3.Méthode 3

Voir fichier trigo1eS dans le dossier trigo du site Maths-Lycée.

Soit θ l'angle de [0;π] dont le cosinus est a=5-14.

  1. Calculer cos(2θ), puis cos(4θ).

  2. En déduire une équation vérifiée par θ, puis la valeur de θ.

On trouve cos(4θ)=2cos2(2θ)-1=5-14=cos(θ) d'où rapidement 5θ=0 d'où θ=2π5 .

2.3.Lignes de π/8

On passe par (eπ/8)2=eπ/4 puis second degré d'où :

{ cos(π8)=2+22 sin(π8)=2-22. .

2.4.Lignes de π/24

3.Autour de j

On donne j=-12+32.

  1. En utilisant cette forme cartésienne :

    1. simplifier 1j (penser à multiplier en haut et en bas par le conjugué)

    2. calculer j2, j3, et simplifier

  2. Montrer que j3=1 par (a+b)3 et le remontrer par la forme expo.

  3. Montrer que j2=j par la forme cartésienne puis par la forme expo

  4. Simplifier 1j de trois manières différentes :

    1. par la forme cartésienne avec expression conjuguée ;

    2. par la forme expo ;

    3. puis en se servant de j3=1.

  5. Calculer 1+j+j2 de deux manières différentes :

    1. par les cartésiennes.

    2. par la formule donnant k=0nβk.

4.Racines carrées & Second degré dans

4.1.Calcul de racines carrées

Trouver les racines carrées des complexers suivants :

  1. Δ=3-4. Réponse : on résoud { x2-y2=3 2xy=-4 x2+y2=5 ., on trouve δ=±(2-).

  2. Δ=1+.

  3. Δ=2+3.

  4. Δ=2-3.

  5. Δ=1-3-. Réponse : δ=±12e-π/24.

4.2.Second degré dans .

  1. Résoudre z2-(6+)z+(11+13)=0

    Réponse : on trouve δ2=-9-40 donc δ=±(4-5) d'où S={1+3,5-2}.

  2. Résoudre z24+2z-5-i=0

5.Racines n-ièmes dans

5.0.1.Divers

  1. Résoudre (z-1)n=(z+1)n.

    On trouve z-1z+1=ωnz=-1-ωnωn+1 avec ωn une racine n-ième de l'unité.

    En factorisant comme il faut on trouve z=cotankπn.

  2. Résoudre k=0n-1(-1)kzk=0(E)

    Réponse :

5.0.2.Racines de l'unité

  1. Prouver que :

    k=1n-1(X-wk)=Xn-1X-1,

    où les wk désignent les racines n-ièmes de l'unité : wk=e2kπn.

    Réponse : il suffit de remarquer qu'à droite c'est un polynôme aussi, et d'en considérer les racines.

  2. Application :

    Si P0P1Pn-1 est un polygone régulier sur le cercle unité, calculer k=1n-1P0Pk, où PiPj représente la longueur de la diagonale [PiPj].

    Réponse :

6.formules trigonométriques

6.1.Avec cos(a+b)

6.1.1.Divers

  1. Résoudre, pour a :

    { cos(a)+cos(a+x)+cos(a+y)=0 sin(a)+sin(a+x)+sin(a+y)=0. .

    Réponse : On utilise cosa+cosb et sina+sinb :

    { cos(a)+2cos(a+x+y2)cos(y-x2)=0 sin(a)+2sin(a+x+y2)cos(y-x2)=0. .

    On aboutit rapidement à :

    cos(y-x2)=0 pas valable ou tan(a)=tan(a+x+y2),

    donc à : x+y20[π]x+y0[2π].

    L'équation est alors :

    { cosa+2cosacosx=0 sina+2sinacosx=0. .

    On peut toujours simplifier soit par cosa soit par sina d'où cosx=-12.

    Ainsi :

    S={(2π3;-2π3);(-2π3;2π3)}.

  2. Résoudre les équations suivantes :

    1. eθ+eθ'=3.

      Réponse : eθ+eθ' réel donc θ=-θ' ou θ=π+θ'.

      • si θ=-θ' alors 2cosθ=3θ=±π3 ;

      • si θ=π+θ' alors eθ+eθ'=0

    2. eθ+eθ'=3e-π12.

      Réponse : 2eθ+θ'2×sin(θ-θ')=3e-π/12 donc :

      { sin(θ-θ')=32 θ+θ'=π6 . { θ-θ'=π3 ou 2π3 θ+θ'=π6 . (θ,θ')=(π4,-π12) ou (5π12,-π4)

6.1.2.Écriture réduite de acosθ+bsinθ

  1. Classique : résoudre 2cos2x-6sin2x=2(E).

    Réponse : 2-6=22e-π3 donc :

    E 22(eπ/3e2x)=2 cos(π3+2x)=22 2x-π12[2π] ou 2x=-(7π)/12[2π] x{-7π24;π24;5π24;11π24}.

  2. Plus original : résoudre 33cosx-9sinx=33 :

    1. avec la méthode classique (en utilisant la forme expo de a=33-9) ;

    2. en divisant par cosx et en utilisant 1+T2=1C2.

    Réponse : on trouve x{0;-2π3} mais avec la méthode b. il y a un passage au carré et l'on trouve à la fin x=0,π,

6.2.(Anti)linéarisations

6.2.1.Linéarisations

  1. cos2x=

  2. sin2x=

  3. cosxsinx=

  4. cos2xsinx= 14(sin(3x)+sin(x))

  5. cosxsin2x=18(1-cos(4x))

  6. sin3x=

  7. cos3x=14(cos(3x)+3cosx)

  8. sin4x=

  9. cos4x=18(3+cos(4x)+4cos(2x))

  10. sin5x=116(sin(5x)-5sin(3x)+10sinx)

  11. cos5x=116(cos(5x)+5cos(3x)+10cosx)

6.2.2.Antilinéarisations

  1. cos(2x)=

  2. sin(2x)=

  3. cos(3x)=3cosx-2cos3x

  4. sin(3x)=

  5. cos(4x)=cos4x-6cos2xsin2x+sin4x=8cos4x-8cos2x+1.

  6. sin(4x)=4cos3xsinx-4cosxsin3x.

6.2.3.Divers - calculs d'intégrale

  1. Calculer I=0π/2cos4xsin3xdx.

6.3.Divers

  1. Résoudre tanxtan2x=1.

    Réponse : on se ramène à résoudre 2T2=1-T2T=±13 d'où x{±π6;±5π6}.

7.Géométrie du plan

7.1.Triangles

7.1.1.Exercices avec des coordonnées

  1. A(2;5) et B(-1;3), trouver les M(x,y) tels que ABM équilatéral.

    Réponse : z=a+e±π3(b-a) d'où z=(12±3)+(4±32).

  2. Idem avec A(0;2) et B(-1;-3).

    Réponse avec ABM direct : z=(1-3)+(1+3).

7.1.2.Exercices plus généraux

  1. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :

    Réponse :

  2. a,b,c de module 1 et a+b+c=0. Que dire du triangle a,b,c ?

    Réponse :

    On suppose a=1, et l'on pose { b=eθ c=eθ' .et l'on arrive à du eθ+eθ'=-1, donc avec les formules d'addition de cos et de sin :

    { cos(θ-θ'2)cos(θ+θ'2)=-12 sin(θ+θ'2)cos(θ-θ'2)=0, .

    d'où { θ=θ'+π+2kπ ou θ=-θ'+2kπ . on distingue les deux cas et l'on aboutit à a,b,c équilatéral.

    On pouvait aussi remarquer que b et 1-b sont de module 1, or il n'y a que deux éléments de U dont la translation par zz-1 est aussi sur U ce sont les e±π3.

    Figure 3. Éléments z du cercle-unité U tels que z-1U.

7.2.Longue-vues

Ces exercices me font penser à des longue-vues car on y parle de l'angle que fait une ouverture [AB] vue depuis un point M.

7.2.1.Un exemple

On pose f(z)=z+z-

  1. Lieu des z lorsque :

    1. f(z) réel ;

    2. f(z) imaginaire pur ;

    3. |f(z)|=1.

    Réponse : Vu que f(z)=--z-z, on a le mathoscope de f :

    Figure 4.

    arg(f(z)) peut être vu comme l'angle sous lequel on voit [-;] depuis z ;

    tandis que |f(z)| est le rapport MNMS.

    donc :

    1. f(z) réel arg(f(z))=±π2 z sur le cercle unité (privé de ) ;

    2. f(z) imaginaire pur arg(f(z))=kπ z sur l'axe vertical (privé de ) ;

    3. |f(z)|=1 MN=MS z sur l'axe horizontal.

  2. Montrer que f réalise une bijection de D={z,|z|<1} sur P={z,(z)<0}.

    Éléments de réponse :

7.3.Lieux

  1. Lieu L des z tels que :

    1. 1,z,z2 alignés.

      Réponse : z2-1z-1z+1z.

    2. 1,z,z2 rectangle.

      Réponse :

      • en 1 : z2-1z-1z+1z=-1+k,k.

      • en z : z2-z1-zzz=k,k.

      • en z2 : 1-z2z-z21z+1z=1-1+k,k cercle.

    3. z,z2,z4 alignés.

      Réponse : ils sont alignés ssi k/z2+z-k=0 d'où :

      L={-12+μ;-12+μ,μ}.

      Figure 5. Exemples de z,z2,z4.

      .

    4. z,1z,- alignés.

    5. z,-1z,- alignés.

      Réponse : on trouve z2+(1-k)z+k=0 d'où z=(k-1)2±|k-1| d'où y=2|x+1|.

8.Inversion

8.1.Inversion canonique f(z)=1z

Dans cette section, on appelle f la fonction f: définie par f(z)=1z.

8.1.1.Calculs simples

  1. Simplifier f(x+iy), f(reiθ).

  2. Calculer et simplifier f(1+i), f(i), f(i2), f(-3+3i).

8.1.2.Image de la droite d'équation x=a (a réel quelconque)

Montrer que c'est le cercle C(centre(12a,0),rayon12a).

Indication : simplifier |1a+ik-12a| par mise au même dénominateur.

8.1.3.Image de la droite D:ax+by+c=0

On détermine le point de D le plus proche de O et on le nomme K.

  1. Montrer que :

    k=-c(a+b)a2+b2=-ca-b.
  2. Montrer que la distance entre O et D est :

    OK=|c|2a2+b2
  3. Montrer que l'image par f de k est :

    k'=-(a-ib)c.

On pourrait montrer que l'image par f de D est le cercle de diamètre [OK'].

Figure 6. Droites qui s'échangent en cercles par f.

8.2.Homographies

Les homographies complexes f(z)=az+bcz+d peuvent se ramener à des écritures f(z)=A+Bz-C et donc, il y aura intuitivement des cercles qui s'échangeront en des droites, ou des disques en des demi-plans.

9.Sommes trigo

  1. On pose θ0[2π], prouver que :

    k=0nekθ=enθ/2sin(n+1)θ2sinθ2.

    En déduire k=0ncos(kθ) et k=0nsin(kθ).

    On peut aussi demander k=0ncos(kθ+θ0) et k=0nsin(kθ+θ0).

  2. Calculer, pour a,b :

    k=0n( n k )cos(ak+b).

    Réponse : (eb(1+ea)n). On peut poser cet exo pour 1+ea ayant une forme expo simple.

  3. Simplifier S(θ)=cos4(θ)+cos4(θ+π4)+cos4(θ+2π4)+cos4(θ+3π4).

    Réponse : cos4x=18cos(4x)+12cos(2x)+38doncS(θ)=Cste=32.

  4. Simplifier fn(θ)=k=0nsin3(kθ) pour θ=π3.

    Réponse : sin3x=34sinx-13sin(3x) donc :

    fn(θ) = 34sin(kθ)-14sin(3kθ) = 34sin(nθ2)sin((n+1)θ2)sin(θ2)-14sin(3nθ2)sin((n+1)3θ2)sin(3θ2). fn(π3) = 32sin(nπ6)sin((n+1)π6)

  5. Simplifier fn(a)=k=1ncos(a2k) pour a.

    Réponse : on peut donner comme indication cosacosa2cosa4.

    Il faut multiplier en commençant par la fin :

    fn(a)×2sin(a2n)=fn-1(a)×12sin(a2n-1)=

10.Hyperboles

Notations :

k désigne un réel positif qu'il faudra déterminer.

φ désigne la rotation de centre O et d'angle π4. Autrement dit, pour tout z :

φ(z)=eiπ4z

On considère les quatre ensembles suivants :

  1. Déterminer la valeur de k pour que la distance entre O et chacun de ces ensembles soit la même.

  2. Montrer que l'image de A1 par φ est A2.

    Indication : Calculer Y2-X2, où X+Y est l'image de x+yA1.

  3. Montrer de même que, pour tout i{1,2,3}, on a φ(Ai)=Ai+1.