Groupes

Table des matières

1.Notations 1

2.Autour des groupes usuels 1

2.1.Groupes usuels isomorphes ou pas entre eux 1

2.2.Sous-groupes des groupes usuels 2

2.3.Groupes usuels mais avec d'autres lois 2

2.4.Groupes classés par ordre 2

2.5.Groupes cycliques 2

3.Groupes, exercices divers 2

3.1.Ordre d'un élément 3

3.2.Sous-groupes 3

3.3.Lois variées sur un même ensemble. 4

3.4.Divers 5

À faire : regrouper dans un même paragraphe tous les exercices traitant de φ:xx2 ou de A={gG/g2=e} ou de groupes G tels que gG,g2=g.

1.Notations

  1. On pose usuellement 𝕌={z/|z|=1} et 𝕌n={z/zn=1}

    Muni de la multiplication, 𝕌n est le groupe des racines n-ièmes de l'unité.

  2. On note souvent g le sous-groupe de G engendré par un certain gG, c'est-à-dire l'ensemble {gk,k}. Il peut être fini si g est d'ordre fini.

    Autre façon de voir ça : soit φ:{ G kgk . alors g=Imφ. (faire un exo à partir de ça).

2.Autour des groupes usuels

2.1.Groupes usuels isomorphes ou pas entre eux

  1. Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

    1. (,+) et (3,+) ;

    2. (,+) et (,+).

    Réponse : on regarde les générateurs.

    1. Soit φ:3 alors φ(1)=(a,b,c) qui ne peut en aucun cas engendrer 3.

    2. Soit φ: alors φ(1)=ab qui ne peut en aucun cas engendrer : de toutes manières, n'a pas de générateur.

  2. Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

    1. (,+) et (2,+) ;

    Réponse :

    1. Soit φ:2 un isomorphisme alors φ(1,0) et φ(0,1) sont non nuls donc il existe a,b tels que φ(a,0)=φ(0,b).

  3. Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

    1. (,+) et (,+).

    Réponse : les ensembles ne sont équipotents.

  4. Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

    1. (𝕌,×) et (,+) ;

    2. (,×) et (,+).

    Réponse : on regarde les diviseurs du neutre.

  5. Montrer que les groupes suivants sont isomorphes :

    1. (+,×) et (,+) ;

    2. (𝕌,×) et (/2π,+).

    Réponse : l'exponentielle donne l'isomorphisme.

2.2.Sous-groupes des groupes usuels

  1. Déterminer les sous-groupes de (,+).

  2. Montrer que les sous-groupes de (,+) sont soit denses soit des échelles (isomorphes à ).

    Réponse : pour G sous-groupe de (,+), on considère δ=infG+, et on distingue les cas δ>0 et δ=0.

  3. Sous-groupes de (]0;+[,×) :

    1. Montrer que H={x+y3/x,y,x2-3y2=1} en est un.

  4. Sous-groupes de 2 (c'est-à-dire de (,+)×(,+))

    1. Ces sous-groupes sont-ils de la forme (a,+)×(b,+) ?

      Non pas forcément : prendre H={(x,y)2/y-x0(mod2)}, autrement dit le sous-groupe de 2 engendré par (2,0) et (1,1). Faire un dessin.

  5. Déterminer tous les sous-groupes finis de (,×).

2.3.Groupes classés par ordre

2.3.1.ordre 4

  1. Soit (G,+) abélien d'ordre 4, prouver que G est isomorphe à /4 ou à /2×/2.

    Réponse : .

  2. Applications :

    1. Quelle est la structure de groupe de (𝔽5,×) (c'est-à-dire du groupe multiplicatif du corps 𝔽5=/5) ?

    2. Quelle est la structure du groupe des éléments inversibles de l'anneau (/12,+,×) ?

2.3.2.ordre 12

  1. Soit G=/12, montrer que G possède un sous-groupe T d'ordre 3 et un sous-groupe Q d'ordre 4, et que G=TQ (tout intervalle est somme de tierces mineures et de tierces majeures).

2.4.Groupes cycliques

  1. Montrer que deux groupes cycliques de même ordre n sont isomorphes.

    Conséquences :

    1. Si nm=1, alors /nm/n×/m (chinois, montrer que φ est injective).

    2. (/p,×)(/(p-1),+) pour p premier.

    3. Pour tout n, (/n,+)(𝕌n,×).

  2. Sous-groupes :

    1. Montrer qu'un sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

    2. Montrer que si d|n, alors il existe un unique sous-groupe de /n de cardinal d.

    3. Déterminer tous les sous-groupes de 𝕌6.

  3. Soit G un groupe abélien de cardinal pq, où p et q sont deux nombres premiers distincts. Montrer que G est un groupe cyclique.

    Réponse : Il suffit de prouver qu'il y a un élément d'ordre pq dans G. Supposons que ce ne soit pas le cas, alors tout élement de G autre que e est soit d'ordre p soit d'ordre q.

    Soit a d'ordre p, et soit ba.

    * Supposons b d'ordre p aussi ; alors :

    . Conclusion : p2 diviserait pq ce qui est impossible.

    * Supposons b d'ordre q ; alors :

  4. Soit p premier et G=(/p,×). Montrer que tout élément est d'ordre(p-1) en déduire le petit théorème de Fermat.

3.Groupes, exercices divers

3.1.Ordre d'un élément

G un groupe de neutre e. On appelle ordre de gG le plus petit n, s'il en existe, tel que gn=e.

  1. Soit g d'ordre n et soit m>n tel que gm=e, montrer que n|m.

    Réponse : si m=kn+r avec r<n on a rapidement gr=e

  2. Soient g,hG deux éléments du groupe. Les questions suivantes sont indépendantes :

    1. on suppose que g,h,gh sont d'ordre 2, montrer que gh=hg ;

      g-1=g et h-1=h et (gh)-1=gh par hypothèse ;

      par ailleurs (gh)-1=h-1g-1.

    2. on suppose maintenant simplement que gh est d'ordre fini, montrer qu'alors gh et hg sont de même ordre.

      (hg)n+1=h(gh)ng=hg donc (hg)n=e.

  3. Soit gG d'ordre fini n :

    1. montrer que g-1 a aussi un ordre fini et que g et g-1 ont le même ordre ;

    2. montrer que pour tout hG, g et h-1gh sont de même ordre fini n ;

      (h-1gh)k=h-1gkh donc (h-1gh)k=eh-1gkh=e.

  4. Pouvez-vous imaginer un groupe G dans lequel il existe au moins un élément d'ordre fini et au moins un élément d'ordre infini ?

    Réponse : par produit cartésien : (/2×,+).

  5. Soit G commutatif d'ordre n et gG, alors l'ordre de g divise n.

    Réponse : on regarde πg=hG(gh) et l'on a πg=gnhG(h) or, vu que hgh est une bijection, les deux produits sont les mêmes d'où gn=e d'où l'ordre de g divise n d'après un exercice ci-dessus.

3.2.Sous-groupes

  1. Si H,K sont deux sous-groupes d'un groupe (G,×), montrer que HK est un sous-groupe de G ssi l'un des deux est inclus dans l'autre.

    Réponse : si { h0H\K k0K\H . alors h0k0HK d'où la contradiction.

  2. Si H est un sous-groupe de G alors les {gH} forment une partition de G.

  3. Montrer que tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.

  4. Un groupe peut-il être isomorphe à l'un de ses sous-groupes stricts ?

    Réponse : oui, prendre (,+) et (2,+).

  5. H une partie finie d'un groupe (G,×), stable par la loi ×, montrer que H est un sous-groupe.

    soit hH, regarder l'ordre de h.

  6. Exercices où il faut raisonner sur le cardinal d'un (sous)-groupe

    1. Soit (G,) un groupe fini et AG une partie de G telle que |A|>|G|/2. Montrer que tout gG est le produit de deux éléments de A.

      Réponse : on considère l'ensemble A(g)={ga-1,aA}. Alors |A(g)|=|A|>|G|/2 donc A(g)A et c'est gagné.

    2. Soit G un groupe fini d'ordre pair. Montrer qu'un existe un gG vérifiant g2=e.

      Réponse : étudier le cardinal de {gG/g2e} et montrer que c'est un nombre pair.

  7. On appelle centre d'un groupe G l'ensemble Z(G)={zG/gG,zg=gz}. Montrer que Z(G) est toujours un sous-groupe de G.

3.3.Lois variées sur un même ensemble.

  1. Loi construite à partir d'une autre loi

    1. Soit (G,) un groupe et soit φ:GG une bijection sur G (pas forcément un isomorphisme).

      On définit la loi par : gg'=φ-1(φ(g)φ(g')).

      Montrer que (G,) est un groupe aussi.

    2. Applications : expliciter les lois obtenues avec (,+) et les φ suivants, puis donner le sous-groupe engendré par 1.

      1. φ:{ pp+1 .

      2. φ:{ 2p 2p+1 2p+1 2p .

      3. φ:{ 0 0 x0 1x .

        On a xy=xyx+y si x,y0 et 0y=y et 00=0.

        En écrivant bien les choses, on a x(-x)=0.

        Alors, 1={1n,n}{0}.

      4. φ:{ x x3 .

        On a xy=x3+y33 et 1={z3,z}.

      5. φ:{ x shx .

  2. On considère un ensemble E et l'ensemble P(E) de ses parties. A et B étant deux éléments de P(E), on considère les lois suivantes :

    Figure 1. de gauche à droite :

    AB
    AB
    AΔBABA%B

    Pour laquelle(s) de ces lois P(E) est-il un groupe ?

    Réponse :

3.4.Divers

  1. Soit φ:{ GG gg2 .. Montrer que :

    1. φ morphisme G abélien ;

    2. si |G| premier 2 alors φ bijective ;

    3. si |G| pair alors φ non injective.

  2. Propriété d'un groupe entraînant une propriété sur son ordre

    1. Soit G un groupe tel que gG,g2=e.

      1. Montrer que G est commutatif.

        Réponse : pour tous a,bG, on a : abab=e mais aussi abba=e.

        autre réponse : tout aG est son propre inverse, regarder alors (ab)-1.

      2. Soit H un sous-groupe de G et soit xH et soit K le sous-groupe de G engendré par H{x}. Montrer que |K|=2×|H|.

      3. Montrer que |G| est de la forme 2n avec n.

      4. Exemple : (/12,×).

    2. Soit G un groupe n'ayant pas de sous-groupe en dehors de {e} et de lui-même.

      1. Montrer que chaque gG différent de e engendre G.

        (On dit que G est monogène).

      2. Montrer que G est fini.

      3. Montrer que |G| est un nombre premier.

  3. Montrer que, si a,b sont deux éléments d'un groupe G :

    1. si a2=b2=(ab)2=e alors ab=ba.

    2. si a est d'ordre fini n, alors a-1 aussi.

    3. si a est d'ordre fini n, alors bab-1 aussi.

    4. si ab est d'ordre n alors ba aussi.

    Groupes abéliens : quelques caractérisations

    Soit(G,) un groupe.

    1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

      1. G commutatif ;

      2. φ:gg2 est un endomorphisme de G ;

      3. ψ:gg-1 est un endomorphisme de G ;

    2. Montrer que les propriétés suivantes sont suffisantes pour affirmer que G abélien. Sont-elles nécessaires ?

      1. gG,g2=e.

4.Groupes d'isométries

  1. Le groupe des isométries du triangle équilatéral est-il isomorphe à (/2×/3) ?

    non car par les chinois il serait isomorphe à /6 et serait commutatif