Anneaux

Table des matières

1.Anneaux classiques 1

2.Anneau des suites réelles 2

3.Anneaux de Boole 2

3.1.Généralités 2

3.2.Exemple canonique 3

1.Anneaux classiques

  1. Montrer que dans un anneau :

    1. x nilpotent 1-x inversible.

      Réponse : si xn=0 alors (1-x)(1+x++xn-1)=1.

    2. xy nilpotent yx nilpotent.

      Réponse : si (xy)n=0 alors y(xy)nx=0 or ceci est égal à (yx)n+1.

    3. x,y nilpotents et xy=yx (x+y) nilpotent.

      Réponse : par Newton, si xn=yn=0 alors (x+y)2n=0 car dans le binôme il y a toujours un coefficient n puisque la somme des deux fait 2n.

    Anneaux ([a],×,+)

    1. Dans [2] :

      1. On pose N(a+b2)=a2-2b2, montrer que N(xy)=N(x)N(y).

      2. Montrer que x inversible ssi N(x)=±1.

      3. Montrer que les inversibles sont les ±(1+2)n,n.

      Réponse : (i) il suffit d'écrire N(x)=xxa+b2=a-b2 et (ii) il suffit de regarder les inversibles dans (,×,+) et (iii) déjà il est clair que les ±(1+2)n,n ont une norme égale à ±1.

      Figure 1. Visualisation des (1+2)n

      en rouge, n=-1,-2,-3

      en vert n=0

      en noir n=1,2,

      Il s'agit de montrer qu'il n'y a pas d'autres inversibles dans ]1;1+2[.

      Supposons qu'il y en a un, appelons-le x=a+b2.

      On a donc (a+b2)(a-b2)=±1.

      Vu que a+b2]1;1+2[, par passage à l'inverse on a :

      a-b2{ ]2-1;1[ si +1 ]-1;1-2[ si -1. .

      En prenant la moyenne de ces deux nombres on a donc :

      a{ ]22;1+22[ si +1 ]0;1[ si -1. .

      donc a=1, b=0 et c'est +1 et x=1 et la démonstration est finie.

  2. Montrer que (/n,+,×) est un corps ssi n premier.

  3. Éléments inversibles

    On voit le même exercice résolu de deux manières différentes.

    L'énoncé est le suivant :

    si 1-ab inversible, montrer que 1-ba inversible aussi.

    1. Résolution 1

      Indication : factoriser a-aba à gauche ou à droite.

      Réponse : Posons K=(1-ab)-1, et remarquons que a-aba=a(1-ba)=(1-ab)a, on peut alors écrire que :

      Ka×(1-ba)=a donc bKa×(1-ba)=ba d'autre part 1×(1-ba)=1-ba,

      et en ajoutant les deux dernières lignes on a l'inverse de 1+ba qui apparaît.

    2. Résolution 2 (avoir vu auparavant l'exercice 1).

      Réponse :

      • Si ab nilpotent d'ordre p, alors :

        (1+ab+(ab)2++(ab)p-1)(1-ab)=1(1).

        Or d'après l'exercice 1, ba aussi est nilpotent, d'ordre p+1 donc :

        (1+ba+(ba)2++(ba)p)(1-ba)=1(2).

        (2) prouve que 1-ba est inversible, et si l'on multiplie (1) par b à gauche et par a à droite on obtient :

        (1-ba)-1=b(1-ab)-1a+1
      • Cas général : il suffit de vérifier que b(1-ab)-1a+1 convient.

2.Anneau des suites réelles

  1. L'ensemble F={u/n/pn,up=0}, autrement dit l'ensemble des suites à support fini, est-il un idéal ? principal ? de (on pourrait dire aussi [X] plongé dans )

    Réponse : idéal oui, évident, principal non car si (u0,u1,,un0,0,) engendrait F, alors F ne contiendrait pas (u0,u1,,un0,un0+1,0,) n'y serait pas.

3.Anneaux de Boole

3.1.Généralités

Soit (A,×,+) un anneau tel que aA,a2=a. Montrer que :

  1. a,bA,ab+ba=0.

  2. aA,a+a=0.

  3. A commutatif.

  4. La relation xyyx=x définit un ordre.

  5. a,bA,ab(a+b)=0

  6. A est non-intègre sauf cas trivial A=/2.

  7. Si I est un idéal de A, alors :

    1. I stable par Δ et donc par .

    2. Soit XI, alors tout YX est aussi dans I puisque Y=YX.

    3. Si E est fini :

      1. si B=uIu alors I=P(B).

      2. Réciproquement, les P(B) avec BE sont idéaux.

    4. Si E est infini :

      1. I={parties finies de E} est un idéal qui n'est pas de la forme P(B).

Réponses :

  1. (a+b)2=a+bab+ba=0

  2. On écrit (a+a)2 ou bien on prend b=1 dans le précédent.

  3. { ab+ab=0 ab+ba=0 .ab=ba.

  4. Propriétés d'un ordre :

    1. ab puisque a2=a ;

    2. si ab et ba alors ba=a et ab=b d'où a=b ;

    3. si ab et bc, alors cela signifie que : ba=a(1) et cb=b(2) ; alors 1cba=ca et on remplace cb par b d'où ba=ca d'où a=ca d'où ac.

  5. ab(a+b)=aba+abb=baa+ab=ba+ab=0.

  6. Pour tout aA on a a2-a=0a(a-1)=0 donc A intègre tout aA est égal à 0 ou 1 donc A=(/2,+,×). Si A possède davantage que 2 éléments, A n'est pas intègre.

3.2.Exemple canonique

E un ensemble de cardinal n, et A l'anneau A=(P(E),Δ,)UΔV=(UV)\(UV).

Le Δ est la loi additive, et le la loi multiplicative.

Pour montrer que (A,Δ) est un groupe, voir fichier « groupes ».

  1. Montrer que A est un anneau non intègre et identifier son 0 et son 1.

  2. Montrer que aA,2a=0 et vérifier toutes les autres propriétés.