Algèbre linéaire, exercices

EC0201SB03

Table des matières

1.Rappels de Cours 1

1.1.Résultats à connaître 1

1.2.Remarques 1

1.3.Résumé 1

1.4.Dimension 2 2

1.5.Dimension 3 2

2.Exercices matrices 2×2 2

3.Exercices matrices 3×3 3

4.Exercices matrices 4×4 7

5.Applications 7

5.1.Systèmes de suites récurrentes 7

5.2.Systèmes différentiels 8

6.Matrices orthogonales ?

1.Rappels de Cours

1.1.Résultats à connaître

Soient A une matrice de Mn() et fL(n) l'endomorphisme associé. Soit Φ le polynôme caractéristique.

  1. Si f possède n vecteurs propres, alors A est diagonalisable.

  2. Si Φ possède n valeurs propres (éventuellement confondues) mais ne possède pas n vecteurs propres, alors A est semblable à une matrice de Jordan (on met autant de 1 qu'il manque de vecteurs propres)

  3. Si Φ ne possède pas n valeurs propres, A n'est ni diagonalisable ni semblable à une Jordan.

    Exemple : A=( 0 -1 1 0 ), matrice de rotation, Φ(X)=X2+1, pas de racine réelle.

1.2.Remarques

  1. Lorsque Φ possède n valeurs propres, on dit que Φ est scindé.

  2. Φ non scindé, cela signifie que Φ présente, quand on le factorise, des polynômes du second degré avec des discriminants négatifs. Exemples : Φ(X)=(X-2)3(X-1) est scindé mais Φ(X)=X(X-1)(X2+X+1) est non scindé.

  3. [hors programme] si l'on se place sur au lieu de , tout polynôme est scindé.

  4. Si u1,,un sont n vecteurs propres pour n valeurs propres λ1,,λn distinctes,

    alors (u1,,un) est une base.

1.3.Résumé

Si Φ est scindé (i.e. s'il y a n valeurs propres, éventuellement confondues) alors :

  • soit A est diagonalisable (s'il y a une base de n vecteurs propres) ;

  • soit A semblable à une Jordan (s'il manque des vecteurs propres).

Si Φ n'est pas scindé (exemple Φ(X)=X2+1) alors on ne peut rien faire.

1.4.Dimension 2

  1. On pose A=( a b c d ). Le polynôme caractéristique Φ est du second degré :

1.5.Dimension 3

2.Exercices matrices 2×2

Calculer A3 de trois manières différentes, avec :

A=( 1 0 -3 2 ).

Réponse :

Le polynome caractéristique est ΦA(X)=X2-3X+2, de racines 1 et 2.

La trace est trA=3.

  1. Par Cayley-Hamilton :

    on fait le quotient X3=ΦA(X)Q(X)+R(X) avec R(X)=aX+b.

    • En remplaçant X par 1 puis par 2, on trouve R(X)=7X-6.

    • En remplaçant X par A, on trouve A3=R(A)=7A-6I.

  2. Par diagonalisation : A=PΔP-1 avec P=( 1 0 3 1 ) et Δ=( 1 0 0 2 ) (on vérifie trΔ=3).

    On calcule P-1=( 1 0 -3 1 ).

    On a alors Δ3=( 1 0 0 8 ) et A3=PΔ3P-1.

  3. Directement : on trouve A2=( 1 0 -9 4 ) puis A3.

  4. Les trois méthodes donnent :

    A3=( 1 0 -21 8 ).

Calculer A2 de trois manières différentes, avec :

A=( 3,4 -2,7 1,8 -2,9 ).

Réponse :

Le polynome caractéristique est ΦA(X)=X2-12X-5, de racines 52 et -2.

La trace est trA=0,5.

  1. Par Cayley-Hamilton : On n'a pas besoin de faire le quotient ici : ΦA(A)=0 donc on a directement A2=12A+5.

  2. Diagonalisation : A=PΔP-1 avec P=( 3 1 1 2 ) et Δ=( 2,5 0 0 -2 ) (on vérifie trΔ=0,5).

    On calcule P-1=15( 2 -1 -1 3 ).

    On a alors Δ2=( 6,25 0 0 4 ) et A2=PΔ2P-1.

  3. Directement, on calcule A2=A×A.

  4. Les trois méthodes donnent :

    A2=( 6,7 -1,35 0,9 3,55 ).

Remarque : pour calculer An, la diagonalisation est incontournable.

Calculer A-1 de trois manières différentes en reprenant les deux exemples ci-dessus.

Calculer An de deux manières différentes, avec :

A=( -2 1 -4 -6 ).

On a ΦA(X)=X2+8X+16=(X+4)2 de racine double -4.

La trace est trA=-8.

  1. Par Cayley-Hamilton : Xn=(X2+8X+16)Q(X)+R(X) avec R(X)=aX+b.

    En prenant X=-4 on a (-4)n=-4a+b.

    Mais ici cela ne suffit pas : il faudrait une seconde racine. L'idée est alors de dériver.

    3X2=(2X+8)Q(X)+(X2+8X+16)Q'(X)+R'(X) et on remplace X par -4 :

    n×(-4)n-1=a.

    Ainsi, b=(-4)n+4a=(-4)n-1×(4n-4).

    Alors, An=R(A)=n×(-4)n-1A+(-4)n-1×(4n-4)I.

  2. Diagonalisation : En résolvant f(x)=-4x, on trouve 2x+y=0 d'où un seul vecteur propre u=( 1 -2 ). On a alors A( -4 1 0 -4 ), reste à trouver le vecteur w( x y ) tel que f(w)=u-4w, ce qui donne le système { -2x+y = 1-4x -4x-6y = -2-4y . on trouve w( 0 1 ) d'où A=PΔP-1 avec P=( 1 0 -2 1 ) et Δ=( -4 1 0 -4 ) (on vérifie trΔ=-8).

    On calcule P-1=( 1 0 2 1 ).

    Reste alors à déterminer Δn. On écrit Δ=-4I+NN=( 0 1 0 0 ).

    Note : N est dite nilpotente.

    On applique le binome, valable car NΔ=ΔN : Δn=( n 0 )N0(-4I)n+( n 1 )N1(-4I)n-1, les autres termes sont nuls. On a ainsi Δn=(-4)n-1×( -4 n 0 -4 ).

  3. Directement : ce serait impossible à moins de le programmer par ordinateur.

  4. Les deux méthodes donnent :

    An=(-4)n-1( 2n-4 n -4n -2n-4 ).

3.Exercices matrices 3×3

Calculer An avec :

A=( -5 1 1 1 -3 -1 0 2 -4 ).

On a ΦA(X)=X3+12X2+48X+64=(X+4)3 de racine triple -4.

La trace est trA=-12.

  1. Par Cayley-Hamilton : Xn=(X3+12X2+48X+64)Q(X)+R(X)

    avec R(X)=aX2+bX+c.

    On prend X=-4 mais pareil : ça ne suffira pas, une seule équation, pour trouver trois coefficients. Donc on dérivera puis on prendra X=-4 et on redérivera et encore X=-4 :

    • (-4)n=16a-4b+c

    • n×(-4)n-1=-8a+b

    • n(n-1)(-4)n-2=2a.

    On a aussitôt R(X)=(-4)n-2×(n(n-1)2X2+(4n2-8n)X+(8n2-24n+16)).

    On prend X=A, alors An=(-4)n-2×(n(n-1)2A2+(4n2-8n)A+(8n2-24n+16)I).

  2. Par Jordan : E-4 est de dimension 1, on trouve le seul vecteur propre u( 1 0 1 ).

    On cherche alors B=(u,v,w) tels que dans B, A devienne Δ=( -4 1 0 0 -4 1 0 0 -4 ) (trΔ=-12).

    On résoud d'abord f(v)=u-4v, cela donne { x-z=-1/2 y=1/2 . d'où par exemple v( 0 1/2 1/2 ).

    Puis on résoud f(w)=v-4w, cela donne { x-z=1/4 y=1/4 . d'où par exemple w( 0 1/4 -1/4 ).

    Alors P=( 1 0 0 0 1/2 1/4 1 1/2 -1/4 ) et A=PΔP-1.

    Il resterait alors à calculer P-1, la méthode des cofacteurs serait la plus pertinente mais elle n'est pas au programme de ce chapitre, on trouve P-1=( 1 0 0 -1 1 1 2 2 -2 ).

    Puis Δn=(-4I+N)n avec N=( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) et N2=N=( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) et N3=0 donc :

    Δn=(-4)nI+(-4)n-1nN+(-4)n-2n(n-1)2N2,

    et enfin An=PΔnP-1.

Calculer A-1 de trois manières avec :

A=13( -1 -4 12 2 -7 12 1 -2 3 ).

On a ΦA(X)=X3+53X2+13X13=(X+1)2(X-13) de racines -1 (double) et 13 (simple).

La trace est trA=-5/3.

  1. Par Cayley-Hamilton : A3+53A2+13A13I=0 donc A(A2+53A+13I)=13I,

    donc A-1=3A2+5A+I, avec A2=19( 5 8 -24 -4 17 -24 -2 4 -3 ).

  2. Par Diagonalisation :

    E1/3 est de dimension 1, bien sûr. On trouve u( 2 2 1 ).

    On trouve E-1 de dimension 2 car le système aboutit à x-2y+6z=0.

    On peut choisir par exemple v( 0 1 1/3 ) et w( 1 0 -1/6 )

    Finalement, A=PΔP-1 avec P=( 2 0 1 2 1 0 1 1/3 -1/6 ) et Δ=( 1/3 0 0 0 -1 0 0 0 -1 ).

    (on vérifie trΔ=-5/3)

    Évidemment, cette méthode est un peu bête ici car pour avoir A-1 il faut calculer P-1

    Cependant on peut remarquer que le calcul de P-1 avec les cofacteurs est assez simple car la matrice P comporte deux 0…

    Pour info, P-1=14( 1 -2 6 -2 8 -12 2 4 -12 ).

    Enfin… A-1=PΔ-1P-1=P( 3 0 0 0 -1 0 0 0 -1 )P-1.

  3. Par la matrice des cofacteurs.

  4. Par toutes les méthodes, on trouve :

    A-1=( 1 -4 12 2 -5 12 1 -2 5 ).

Déterminer la réduction de Jordan de A avec :

A=( -1 -8/3 -16/3 -1/4 -13/6 -7/3 1/8 5/4 3/2 ).

On a ΦA(X)=X3+53X2+13X13=(X+1)2(X-13) de racines -1 (double) et 13 (simple).

La trace est trA=-5/3.

C'est intéressant car la matrice a le même polynôme caractéristique que la précédente et pourtant la précédente était diagonalisable et celle-ci n'est réductible que par Jordan comme on va le voir. Au fait, celle matrice a la même trace que la précédente, mais ça c'est logique vu qu'elles ont le même polynôme caractéristique. Voyez-vous pourquoi ? Réponse : la trace c'est le coefficient de X2 (ou son opposé suivant comment on calcule ΦA(X)).

Le polynôme caractéristique a trois racines (en comptant les multiplicités) donc si ce n'est pas diago ce sera réductible en Jordan. On dit qu'il est scindé.

E1/3 est de dimension 1, bien sûr. On trouve u( 8 2 -3 ).

On trouve E-1 de dimension 1 car le système aboutit à { x=0 y=-2z . donc par exemple v( 0 -2 1 )

On cherche alors w tel que, dans B=(u,v,w), A devienne Δ=( 1/3 0 0 0 -1 1 0 0 -1 ) (trΔ=-5/3).

On résoud f(w)=v-w, cela donne { x=8 y=-2z . d'où par exemple w( 8 -2 1 ).

Alors P=( 8 0 8 2 -2 -2 -3 1 1 ) et A=PΔP-1.

Déterminer la réduction de Jordan de A avec :

A=( -8 2 -1 -2 -4 -1 0 0 -6 ).

On a ΦA(X)=(X+6)3 (scindé) de racine -6 (triple) :

A sera donc soit diagonalisable soit jordanisable.

Diagonalisable est impossible sinon on aurait A=P×(-6I)×P-1=-6PP-1=-6I, ce qui visiblement n'est pas le cas.

La trace est trA=-18.

Le système pour trouver les vecteurs propres associés à λ=-6 se ramène à -2x+2y=z, donc E-6 est de dimension 2 et ses vecteurs ont pour expression ( x y 2y-2x ) avec x,y.

On ne va pas, ici prendre au hasard (x,y) égal à (0,1) puis à (1,0) comme habituellement.

Reste à trouver une base (u,v) de E-6 et un w tel que f(w)=v-6w(1), ce qui veut dire une base (u,v,w) dans laquelle f ait pour matrice Δ=( -6 -6 1 -6 ).

Si w( x y z ) alors l'équation (1) aboutit à { -8x+2y-z = vx-6x -2x-4y-z = vy-6y -6z = vz-6z. .

On voit que la dernière ligne donne 0=vz et donc il convient de bien choisir v de manière à ce que sa dernière coordonnée vz soit nulle. Vu que u comme v ont pour coordonnées ( x y 2y-2x ) avec x,y à choisir librement, on peut par exemple prendre v=( 1 1 0 ) et pour u ce que l'on veut, style ( 1 0 -2 ).

Le système (1) donne alors { -8x+2y-z = 1-6x -2x-4y-z = 1-6y -6z = -6z. .-2x+2y-z=1 et l'on a l'embarras du choix, par exemple w=( 0 0 -1 ).

Conclusion, : A=PΔP-1 avec P=( 1 1 0 0 1 0 -2 0 -1 ) et Δ=( -6 -6 1 -6 ).

On vérifie que trΔ=-6-6-6=-18.

Déterminer la réduction de Jordan de A avec :

A=( 0 1 0 -4 4 0 -2 1 2 ).

On a Φ(X)=(X-2)3 et E2=vect{u=( 1 2 0 ),v=( 0 0 1 )}. Il manque un vecteur. Avec un peu de chance on va trouver w directement. Posons w( x y z ).

On voudrait f(w)=v+2w, ce qui donne le système suivant : { y = 2x -4x+4y = 2y -2x+y+2z = 1+2z .{ y-2x=0 y-2x=1 . ça ne marche pas…

Essayons d'intervertir u et v, on a alors la base (v,u,w) et l'on veut f(w)=u+2w ce qui donne le système { y = 1+2x -4x+4y = 2+2y -2x+y+2z = 2z .{ y-2x=1 y-2x=0 ., qui ne marche toujours pas.

Alors on prend u=( 1 2 0 ) et v=( a 2a b ) la combinaison linéaire a×( 1 2 0 )+b×( 0 0 1 ).

On veut f(w)=v+2w ce qui donne cette fois-ci :

{ y = a+2x -4x+4y = 2a+2y -2x+y+2z = b+2z .{ y-2x = a y-2x = a y-2x = b .

Il suffisait donc de prendre a=b soit par exemple v=( 1 2 0 )+( 0 0 1 )=( 1 2 1 ), correspondant à a=b=1. On a alors le choix pour w, par exemple w=( 0 1 0 ).

Conclusion, : A=PΔP-1 avec P=( 1 1 0 2 2 1 0 1 0 ) et Δ=( 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ).

Réduire si possible la matrice A avec :

A=( 1 2 0 1 1 0 4 6 2 ).

On a Φ(X)=X3+2X2+X+2=(X+2)(X2+1), non scindé donc pas de réduction : ni diagonalisation, ni Jordan.

Remarque : si l'on se plaçait dans , on pourrait diagonaliser la matrice en ( -2 - ) mais ceci est en dehors du programme de cet UE.

4.Exercices matrices 4×4

On pose A=( 1 0 μ 0 0 1 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 1 ) et B=( 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 2 ).

  1. Calculer A-1 directement, en posant un système à seize inconnues.

  2. Trouver valeurs propres et vecteurs propres de A et de B.

  3. Existe-t-il des valeurs de λ et μ telles que AB=BA ?

1. On pose A-1=( a b c d e f g h i j k l m n o p ) et on écrit que A-1×A=I on a immédiatement, via le peigne :

A-1=( 1 b -μλ 0 0 1 0 0 0 0 1λ 0 0 0 o 1 ).

2. On trouve :

3. BA=( 1 4 λ+μ 0 2 3 λ+2μ 0 3 2 λ+3μ 0 4 1 λ+4μ 2 ) et AB=( 3μ+1 2μ+4 μ+1 0 2 3 1 0 3λ 2λ λ 0 4 1 1 2 ) donc AB=BA(μ=0;λ=1).

Réduire si possible la matrice A avec :

A=( -8 3 -3 -1 6 3 2 -1 26 7 10 -2 0 0 0 2 ).

On a Φ(X)=(X-1)(X-2)3, on trouve u1=(2,-1,-5,0) et u2=(3,-2,-8,0), ce sera un Jordan. On cherche Δ=( 1 2 1 2 1 2 ) donc w tel que f(w)=u2+2w on trouve un système qui nous demande de choisir, on peut par exemple prendre w=(3,-2,-7,0) puis on cherche w' tel que f(w')=w+2w', et alors on arrive à un système qui aboutit bien.

5.Applications

5.1.Systèmes de suites récurrentes

Déterminer le terme général de (xn,yn,zn) sachant que :

{ xn+1 = 5xn-17yn+25zn yn+1 = 2xn-9yn+16zn zn+1 = xn-5yn+9zn ..

Posons A=( 5 -17 25 2 -9 16 1 -5 9 ) et Xn=( xn yn zn ) alors le système s'écrit Xn+1=AXn soit Xn=AnX0.

On a Φ(X)=X35X2+8X4=(X-1)(X-2)2, on divise Xn par Φ(X) on obtient :

Xn=Φ(X)+aX2+bX+c,

le principeé tant que le reste est toujours de degré (ici 2) strictement inférieur au polynôme par lequel on divise (ici Φ(X), de degré 3).

On remplace X par les racines de Φ(X) soit 1 et 2 mais cela ne suffira pas, on n'a pas de troisième racine puisque 2 est racine double.

Alors on utilise le principe : « x0 racine double de P P(x0)=P'(x0)=0 ».

Donc on dérivera et on remplacera X par 2. Voici le système :

{ 1 = a+b+c 2n = 4a+2b+c n×2n-1 = 4a+b .{ a = 2n-1(n-2)+1 b = 2n-1(8-3n)-4 c = 2n-1(2n-6)+4 ..

On vérifie pour n=3.

À partir de là, vu que Φ(A)=0 on a alors An=aA2+bA+cI .

Vu que A2=( 16 -57 78 8 -33 50 4 -17 26 ), on a An=( 16a+5b+c -57a-17b 78a+25b 8a+2b -33a-9b+c 50a+16b 4a+b -17a-5b 26a+9b+c ) soit :

An=( (2+3n)2n-1 -2n2n-1 -n2n-1 )

etc.. finir de simplifier…

Ainsi :

Xn=( (2+3n)2n-1x0-(57a+17b)y0+(78a+25b)z0 -2n2n-1x0-(33a+9b-c)y0+(50a+16b)z0 -n2n-1x0-(17a+5b)y0+(26a+9b+c)z0 ),

ce qui est un peu long à écrire si l'on doit remplacer a,b,c par leur expression en fonction de n

On pouvait aussi utiliser Jordan : on a A=PΔP-1 avec P=( 11 3 1 7 2 0 3 1 0 ), et Δ=( 1 2 1 2 ).

On calcule P-1 par Cayey Hamilton : ΦP(X)=X313X22X1 donc P-1=(P2-13P-2I) et l'on trouve P-1=( 0 1 -2 0 -3 7 1 -2 1 ).

Ensuite il faut calculer Δn=(( 1 2 2 )+( 0 0 1 0 ))n, on applique le binôme :

Δn = ( 1 2 2 )n+n( 1 2 2 )n-1×( 0 0 1 0 ) = ( 1 2n 2n )+( n×2n-1 ) = ( 1 2n-1(2+n) 2n )

Puis on a An=P×Δn×P-1, exercice intéressant pour s'entraîner en calculs, on doit retrouver la même chose que par Cayley Hamilton…

5.2.Systèmes différentiels

Résoudre :

{ x' = 10x+8y-3z y' = 4x+14y-3z z' = 12z ..

On étudie A=( 10 8 -3 4 14 -3 0 0 12 ), on a ΦA(X)=(X-6)(X-12)(X-18) puis P=( 2 1 1 -1 1 1 0 2 0 ) et Δ=( 6 12 18 ) et A=PΔP-1.

Posons X=( x y z ) et Y=P-1X, le système s'écrit alors X'=AXX'=PΔP-1X ce qui équivaut, en multipliant par P-1 par la gauche de chaque côté :

Y'=ΔY.

Si Y=( x1 y1 z1 ) on a alors { x1'=6x1 y1'=12y1 z1'=18z1 . soit { x1=λe6t y1=μe12t z1=γe18t . puis on remarque que X=PY d'où :

{ x=2λe6t+μe12t+γe18t y=-λe6t+μe12t+γe18t z=2μe12t ..

Il peut arriver que A soit réductible en Jordan, auquel cas le calcul part sur le même principe, un peu plus long à partir de Y'=ΔY.

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1+2

3

>>>

a=2;a**2

>>>

print(a**2)

4

>>>

print(a**a**a)

16

>>>

3.4*2.9

9.86

>>>

-9.86-2.7*(-1.8)

-5.0

>>>

2.7*1.8

4.86

>>>

4.86/9.86

0.492900608519

>>>

sqrt(4.86/9.86)

0.702068806115

>>>

from math import *

>>>

6.3**2

39.69

>>>

4*9.86

39.44

>>>

39.69+39.44

79.13

>>>

sqrt(79.13)

8.8955044826

>>>

sqrt(6.3**2+20)

7.72593036469

>>>

sqrt(39.69+20)

7.72593036469

>>>

sqrt(20.25)

4.5

>>>