Matrices orthogonales

Table des matières

1.Rappels de cours 2

2.Étude de matrices orthogonales 3×3 2

2.1.Protocole d'étude 2

2.1.1.Détecter si A est orthogonale et si φ est rotation ou anti-rotation 2

2.1.2.Trouver l'axe (orienté) et l'angle 2

2.1.3.Cas des matrices symétriques (remplace le 2.1.2) 3

2.2.Exercices 3

2.3.Exercices avec des lettres 4

3.Détermination de matrices orthogonales 3×3 5

3.1.Protocole 5

3.1.1.Méthode 1 par changement de base 5

3.1.2.Méthode 2 de Rodriguez 5

3.1.3.Anti-rotations 5

3.2.Exercices 5

4.Matrices orthogonales et isométries, n=2 7

4.1.Rotations 7

4.2.Symétries axiales 7

4.3.Cas particuliers 7

4.3.1.Rotations 7

4.3.2.Symétries axiales 8

1.Rappels de cours

Une matrice orthogonale est une matrice dont les vecteurs-colonne forment une base orthonormée (attention au faux-ami, on devrait appeler cela matrice orthonormale).

A orthogonale tA=A-1.

A orthogonale detA=±1.

Dans 3, les matrices orthogonales sont les matrices des applications linéaires qui conservent les distances, appelées isométries. Il s'agit des rotations (autour d'un axe orienté), et des des anti-rotations (composées d'une rotation, et d'une réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe.)

Dans n, les matrices orthogonales de déterminant 1 sont appelées déplacements, tandis que pour det=-1 on les appelle antidéplacements.

Les éléments caractéristiques d'une isométrie sont l'axe u et l'angle θ.

Cas particuliers : une matrice orthogonale peut être symétrique, alors il faut l'étdier par un protocole à part.

2.Étude de matrices orthogonales 3×3

2.1.Protocole d'étude

Soit A une matrice correspondant, dans la base canonique, à un endomorphisme φL(3).

2.1.1.Détecter si A est orthogonale et si φ est rotation ou anti-rotation

Détecter si les matrices suivantes sont orthogonales ou pas, et, si oui, dire si elles correspondent à des déplacements ou à des déplacements :

a) On vérifie si ||C1||2=||C2||2=1 et si C1C2=0.

b) On vérifie si C1C2=±C3.

c) Si a) et b) sont vérifiés, la matrice est orthogonale. Le signe de b) indique si c'est un déplacement (+) ou un antidéplacement (-).

  1. A=16( 2 3 1 2 -3 1 2 0 -2 )

  2. A=12( a a 0 b -b 0 0 0 2 )

Réponses :

  1. On trouve φ rotation.

  2. On trouve a=b=2 et φ est une antirotation.

2.1.2.Trouver l'axe (orienté) et l'angle

Pour les matrices suivantes, vérifier qu'elles sont orthogonales, et trouver u et θ :

a) On applique le 2.1.1.

b) On calcule u(f-h;g-c;b-d) en suivant les notations suivantes :

Figure 1.

c) A est semblable à R=( ±1 0 0 0 cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ ) avec le ± correspondant au b) du 2.1.1, et ainsi avec la trace on trouve cosθ. On choisira θ>0.

  1. A=12( 1 1 2 1 1 -2 -2 2 0 ).

  2. A=13( a 1 0 0 0 1 1 b 0 ) avec a>0.

Réponses :

  1. φ est une rotation d'axe u(22,22,0)=(1,1,0) et d'angle 2cosθ+1=1θ=0, on choisit θ>0 donc θ=π2.

  2. On trouve a=22 et b=-22 et φ est une antirotation d'axe u(-22-1,-1,-1) et d'angle 2cosθ-1=223cosθ=12+23θ13,73°.

2.1.3.Cas des matrices symétriques (remplace le 2.1.2)

Trouver les caractéristiques des matrices suivantes :

a) On applique le 2.1.1.

b) Si c'est une rotation, alors on calcule par système (ou en le devinant si, par cas, ça saute aux yeux), le vecteur u1 (associé à la valeur propre λ=1) : φ sera alors un retournement (=rotation d'angle 180°) d'axe u1.

c) Si c'est une anti-rotation, alors on calcule par système (ou en le devinant si, par cas, ça saute aux yeux), le vecteur u-1 (associé à la valeur propre λ=-1) : φ sera alors une réflexion (=symétrie (orthogonale) par rapport à un plan) par rapport au plan orthogonal à u-1.

  1. A=( 0 0 1 0 -1 0 1 0 0 )

  2. A=12( a a 0 b -b 0 0 0 2 )

Réponses :

  1. A rotation et symétrique donc retournement, on trouve de tête u1=(1,0,1).

  2. On a vu que a=b=2 et A antirotation, on trouve par système u-1=(-1,1+2) : c'est une réflexion de plan orthogonal à u-1.

2.2.Exercices

Étudier A=13( 2 2 1 1 -2 2 2 -1 -2 )

Matrice de rotation.

Pour l'axe, on trouve u=(-3;-1;-1).

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ+1=trA=-2/3 donc cosθ=-5/6 donc θ=arccos(-5/6)146° (presque -5π/6).

Bien entendu, on pourrait aussi dire : rotation d'axe (3;1;1) et d'angle -146°.

Pour info, on a R=( 1 0 0 0 -5/6 11/6 0 -11/6 -5/6 ).

Étudier B=14( 3 1 6 1 3 -6 -6 6 2 ).

Matrice de rotation.

Pour l'axe, on trouve u=(1;1;0) (en simplifiant par 26).

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ+1=trA=2 d'où cosθ=12 donc θ=π/3.

Pour info, R=( 1 0 0 0 1/2 3/2 0 -3/2 1/2 ).

Étudier C=14( 3 1 6 1 3 -6 6 -6 -2 ).

Matrice symétrique d'anti-rotation.

Pour l'axe on doit chercher à la main le veteur propre associé à λ=-1 :

on trouve u-1=(1;-1;-6).

C'est donc une réflexion dont le plan a pour vecteur normal (1;-1;-6).

Pour info, R=( -1 0 0 0 1 0 0 0 1 ).

Étudier A=19( 7 4 4 -4 8 -1 4 1 -8 )

Matrice d'anti-rotation.

Pour l'axe, on trouve u=(1;0;-4) (en simplifiant par 2, en effet on peut simplifier par un positif).

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ-1=trB=7/9 d'où cosθ=89 donc θ152°.

Pour info, R=( -1 0 0 0 8/9 17/9 0 -17/9 8/9 ).

Étudier A=19( -8 4 1 4 7 4 1 4 -8 ).

Matrice symétrique de rotation.

Ce sera un retournement.

Pour l'axe on cherche à la main u1, on trouve u1=(1;4;1).

Pour info, R=( 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 ).

Étudier A=12( 1 -2 1 2 0 -2 1 2 1 )

Matrice de rotation.

Pour l'axe, on trouve u=(1;0;1) (en simplifiant par 22).

Pour l'angle de la rotation, on a 2cosθ+1=1 donc cosθ=0 donc θ=π2.

Pour info, R=( 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 ).

2.3.Exercices avec des lettres

  1. On pose A=( a b b b a b b b a ), où a,b sont deux réels.

    À quelle condition sur a,b a-t-on A orthogonale ?

    Donner alors les éléments caractéristiques de A.

    On trouve { a2+2b2=1 2ab+b2=0 . d'où (a,b){(±1;0),±(13;-23)}

3.Détermination de matrices orthogonales 3×3

3.1.Protocole

Donner la matrice de la rotation d'axe u=(a,b,c) et d'angle θ donnés.

On suppose

||u||2=a2+b2+c2=1
.

3.1.1.Méthode 1 par changement de base

3.1.2.Méthode 2 de Rodriguez

On pose la matrice K=( 0 -c b c 0 -a -b a 0 ). On calcule K2=( a2-1 ab ac ab b2-1 bc ac bc c2-1 ), alors la formule de Rodriguez donne directement la matrice de la rotation :

A=I+sinθK+(1-cosθ)K2. (1)

On peut l'écrire aussi :

Ax=(1-cosθ)x,uu+cosθx+sinθ(ux). (2)

Démonstration. Pour () :

Basons-nous dans (u,e2,e3) avec e2 colinéaire à x-x,uu et e3 colinéaire à ux, on a alors x=x,uu+(x-x,uu) et l'image par la rotation est r(x)=x,uu+cosθ(x-x,uu)+sinθ(ux).

Pour () :

On a, par un calcul immédiat :

(I+(1-cosθ)K2)x = x+(1-cosθ)((ux)u-x).

3.1.3.Anti-rotations

Méthode 1 : on remplace R par R=( -1 0 0 0 cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ ).

Méthode 2 : on change un signe : Ax=(-1-cosθ)x,uu+cosθx+sinθ(ux), facile à comprendre avec la démonstration.

3.2.Exercices

Matrice de la rotation d'axe ( 3 0 4 ) et d'angle θ=π/2.

* Méthode 1 :

On prend u= (

3
0
4
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( -4 0 3 ) par exemple puis w=uv=( 0 25 0 ). On normalise en prenant (15u,15v,125w).

On pose P=15( 3 -4 0 0 0 5 4 3 0 ) et R=( 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 ).

On a alors A=PRP-1.

* Méthode 2 :

K=15( 0 -4 0 4 0 -3 0 3 0 ), puis K2=125( -16 0 12 0 -25 0 12 0 -9 ).

Alors A=I+K+K2.

* Les deux méthodes donnent :

A=125( 9 -20 12 20 0 -15 12 15 16 ).

Matrice du retournement d'axe ( -1 1 0 ).

On rappelle que, dans 3, un retournement est une rotation d'angle π.

* Méthode 1 :

On prend u= (

-1
1
0
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( 0 0 1 ) par exemple puis w=uv=( 1 1 0 ). On normalise en prenant P=(12u,v,12w).

On pose R=( 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 ). On a alors A=PRP-1.

* Méthode 2 :

K=12( 0 0 1 0 0 1 -1 -1 0 ), puis K2=12( -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 -2 ).

Alors A=I+2K2.

* Les deux méthodes donnent :

A=( 0 -1 0 -1 0 0 0 0 -1 ).

Matrice de l'anti-rotation d'axe ( 1 1 1 ) et d'angle θ=π/2.

* Méthode 1 :

On prend u= (

1
1
1
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( 1 -1 0 ) par exemple puis w=uv=( 1 1 -2 ).

On normalise en prenant P=(13u,12v,16w).

On pose R=( 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 ). On a alors A=PRP-1.

* Méthode 2 :

K=13( 0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0 ), puis K2=13( -2 1 1 1 -2 1 1 1 -2 ).

Alors A=I+K+K2.

* Les deux méthodes donnent :

A=13( 1 1-3 1+3 1+3 1 1-3 1-3 1+3 1 ).

Matrice de la réflexion par rapport au plan x+y+2z=0.

* Méthode 1 :

On prend u= (

1
1
2
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( 1 -1 0 ) par exemple, puis uv qu'on simplifie : w=( 1 1 -1 ).

On normalise en prenant P=(16u,12v,13w).

On pose R=( -1 0 0 0 1 0 0 0 1 ). On a alors A=PRP-1.

4.Matrices orthogonales et isométries, n=2

4.1.Rotations

Ce sont les matrices orthogonales de déterminant +1.

C'est très simple, la matrice d'une rotation d'angle θ s'écrit R=( cosθ sinθ -sinθ cosθ ). Il n'y a aucun changement de base à effectuer.

Le terme en haut à droite de la matrice donne le signe de θ.

Étudier A=( 0,6 0,8 -0,8 0,6 ).

Orthogonale et de déterminant +1 donc rotation.

On a 0,6=cosθ.

De plus, le terme en haut à droite est positif donc donc θ=+arccos(0,6)+53°.

Étudier A=15( 12 -13 13 12 ).

Orthogonale et de déterminant +1 donc rotation.

On a 12/5=cosθ.

De plus, le terme en haut à droite est négatif donc donc θ=-arccos(12/5)-46°.

Matrice de la rotation d'angle θ=5π/6.

On écrit simplement A=( cosθ sinθ -sinθ cosθ )=12( -3 1 -1 -3 ).

4.2.Symétries axiales

Ce sont les matrices orthogonales de déterminant -1.

La matrice d'une symétrie axiale s'écrit R=( cosθ sinθ sinθ -cosθ ). Il faut juste identifier θ.

Il n'y a aucun changement de base à effectuer non plus.

L'axe de la symétrie est donné par le vecteur u(cosθ2,sinθ2).

Étudier A=( 0 1 1 0 ).

Orthogonale et de déterminant -1 donc symétrie axiale.

On a 1=sinθ donc θ=π2.

L'axe de la symétrie est donc vect(u(cosπ4,sinπ4)=(22,22)) soit vect(1,1).

Étudier A=( -0,6 -0,8 -0,8 0,6 ).

Orthogonale et de déterminant -1 donc symétrie axiale.

On a -0,6=cosθ donc θ=±arccos(-0,6)±127°.

On a sinθ=-0,8 donc on prendra θ=-arccos(-0,6).

L'axe de la symétrie est donc u(cosθ2,sinθ2)(0,82;0,57).

4.3.Cas particuliers

4.3.1.Rotations

Pour θ=0 on a la rotation R=I, c'est l'identité.

Pour θ=π on a la rotation R=-I, c'est la symétrie de centre O.

4.3.2.Symétries axiales

Pour θ=0 on a A=( 1 0 0 -1 ) d'axe (1,0).

Pour θ=π on a A=( -1 0 0 1 ) d'axe (0,1).