Matrices orthogonales

Table des matières

1.Rappels de cours 1

2.Exercices divers 1

3.Matrices orthogonales et isométries, n=2 1

3.1.Rotations 1

3.2.Symétries axiales 2

3.3.Cas particuliers 2

4.Matrices orthogonales et isométries, n=3 2

4.1.Protocole d'étude d'une matrice orthogonale 3×3 2

4.2.Études de matrices 3

4.3.Protocole pour déterminer la matrice 5

4.3.1.Rotations, méthode 1 5

4.3.2.Rotations, méthode 2 5

4.3.3.Anti-rotatio:ns 5

4.4.Détermination de matrices 5

4.5.Exercices divers 6

1.Rappels de cours

Soit A une matrice associée à un endormorphisme f de n.

Les endormorphismes dont les matrices sont orthogonales sont appelés endomorphisme orthogonaux ou isométries.

2.Exercices divers

  1. Si l'on appelle c1,c2,c3 les trois vecteurs-colonne d'une matrice AM3() orthogonale, a-t-on automatiquement c1c2=c3 ?

    Réponse : on a automatiquement c1c2=±c3, le signe + ou - donnant le signe du déterminant +1 ou -1.

3.Matrices orthogonales et isométries, n=2

3.1.Rotations

C'est très simple, la matrice d'une rotation d'angle θ s'écrit R=( cosθ sinθ -sinθ cosθ ). Il n'y a aucun changement de base à effectuer.

Le terme en haut à droite de la matrice donne le signe de θ.

Étudier A=( 0,6 0,8 -0,8 0,6 ).

Orthogonale et de déterminant +1 donc rotation.

On a 0,6=cosθ.

De plus, le terme en haut à droite est positif donc donc θ=+arccos(0,6)+53°.

Étudier A=15( 12 -13 13 12 ).

Orthogonale et de déterminant +1 donc rotation.

On a 12/5=cosθ.

De plus, le terme en haut à droite est négatif donc donc θ=-arccos(12/5)-46°.

Matrice de la rotation d'angle θ=5π/6.

On écrit simplement A=( cosθ sinθ -sinθ cosθ )=( -32 12 -12 -32 ).

3.2.Symétries axiales

La matrice d'une symétrie axiale s'écrit R=( cosθ sinθ sinθ -cosθ ). Il faut juste identifier θ.

Il n'y a aucun changement de base à effectuer non plus.

L'axe de la symétrie est donné par le vecteur u(cosθ2,sinθ2).

Étudier A=( 0 1 1 0 ).

Orthogonale et de déterminant -1 donc symétrie axiale.

On a 1=sinθ donc θ=π2.

L'axe de la symétrie est donc u(cosπ4,sinπ4), pour simplifier on peut dire (1,1).

Étudier A=( -0,6 -0,8 -0,8 0,6 ).

Orthogonale et de déterminant -1 donc symétrie axiale.

On a -0,6=cosθ donc θ=±arccos(-0,6)±127°.

On a sinθ=-0,8 donc on prendra θ=-arccos(-0,6).

L'axe de la symétrie est donc u(cosθ2,sinθ2)(0,82;0,57).

3.3.Cas particuliers

Pour θ=0 on a la rotation R=I, c'est l'identité.

Pour θ=π on a la rotation R=-I, c'est la symétrie de centre O.

Au niveau des symétries, pour θ=0 on a A=( 1 0 0 -1 ) d'axe (1,0).

Et pour θ=π on a A=( -1 0 0 1 ) d'axe (0,1).

4.Matrices orthogonales et isométries, n=3

4.1.Protocole d'étude d'une matrice orthogonale 3×3

4.2.Études de matrices

Étudier A=13( 2 2 1 1 -2 2 2 -1 -2 )

Orthogonale.

Pour l'axe on calcule A-tA=( 1 3 1 ), d'où u=(3;1;1).

On calcule Au=(3;1;1) donc detA=+1 : rotation.

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ+1=trA=-2/3 donc cosθ=-5/6 donc θ=arccos(-5/6)146°.

Conclusion : rotation d'axe u=(3;1;1) et d'angle 146° (presque 5π/6).

Bien entendu, on pourrait aussi dire : rotation d'axe (-3;-1;-1) et d'angle -146°.

Pour le changement de base, on cherche une base orthonormée (111u,v,w), on prend par exemple v=(0,1,-1) et puis w=uv et on les normalise, on a alors A=PRP-1 avec P=(u,v,w) et R=( 1 0 0 0 -5/6 11/6 0 -11/6 -5/6 ).

Étudier A=14( 3 1 6 1 3 -6 -6 6 2 )

Orthogonale et de déterminant +1 donc rotation.

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ+1=trA=2 d'où cosθ=12 donc θ=π/3.

Pour l'axe on calcule A-tA=( 0 -26 -26 ), d'où u=(-1;-1;0) (en simplifiant par 26).

C'est donc une rotation d'axe u=(-1;-1;0) et d'angle π/3.

Ou bien : rotation d'axe (1;1;0) et d'angle -π/3.

Pour le changement de base, on cherche une base orthonormée (12u,v,w), on prend par exemple v=(1,-1,0) et puis w=uv et on les normalise, on a alors A=PRP-1 avec P=(u,v,w) et R=( 1 0 0 0 1/2 3/2 0 -3/2 1/2 )

Étudier A=19( 7 4 4 -4 8 -1 4 1 -8 )

Orthogonale et de déterminant -1 donc anti-rotation.

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ-1=trB=7/9 d'où cosθ=89 donc θ152°.

Pour l'axe on calcule A-tA=( 8 -2 0 ), d'où u=(-1;0;4) (en simplifiant par 2).

C'est donc une anti-rotation d'axe (-1;0;4) et d'angle arccos(8/9).

Pour le changement de base, on cherche une base orthonormée (117u,v,w), on prend par exemple v=(4,0,1) et puis w=uv et on les normalise, on a alors A=PRP-1 avec P=(u,v,w) et R=( -1 0 0 0 8/9 17/9 0 -17/9 8/9 )

Étudier A=14( 3 1 6 1 3 -6 6 -6 -2 ).

Orthogonale et de déterminant -1 donc anti-rotation.

Pour l'angle de la rotation, on utilise la trace :

2cosθ-1=trA=1 d'où θ=0 : anti-rotation d'angle 0 = réflexion.

Pour l'axe on doit chercher à la main le veteur propre associé à λ=-1.

On trouve u-1=(1;-1;-6).

C'est donc une réflexion dont le plan a pour vecteur normal (1;-1;-6).

Pour le changement de base, on cherche une base orthonormée (18u,v,w), on prend par exemple v=(1,1,0) et puis w=uv et on les normalise, on a alors A=PRP-1 avec P=(u,v,w) et R=( -1 0 0 0 1 0 0 0 1 )

Étudier A=19( -8 4 1 4 7 4 1 4 -8 ).

Orthogonale et de déterminant 1 donc rotation.

Comme A est symétrique on est dans le cas particulier θ=π : retournement.

On peut le vérifier avec la trace : 2cosθ+1=trA=-1 donc θ=π.

Pour l'axe on cherche à la main u1, on trouve u1=(1;4;1).

C'est donc un retournement autour de l'axe (1;4;1).

Pour le changement de base, on cherche une base orthonormée (118u,v,w), on prend par exemple v=(1,0,-0) et puis w=uv et on les normalise, on a alors A=PRP-1 avec P=(u,v,w) et R=( 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 )

Étudier A=12( 1 -2 1 2 0 -2 1 2 1 )

Orthogonale et de déterminant 1 donc rotation.

Pour l'angle de la rotation, on a 2cosθ+1=1 donc cosθ=0 donc θ=π2.

Pour l'axe on calcule A-tA=( -22 -22 0 ), d'où u=(-1;0;-1) (en simplifiant par 22).

C'est donc une rotation d'axe (-1;0;-1) et d'angle π/2.

Pour le changement de base, on cherche une base orthonormée (12u,v,w), on prend par exemple v=(0,1,0) et puis w=uv et on les normalise, on a alors A=PRP-1 avec P=(u,v,w) et R=( 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 ).

4.3.Protocole pour déterminer la matrice

4.3.1.Rotations, méthode 1

Donner la matrice de la rotation d'axe u=(a,b,c) et d'angle θ donnés.

4.3.2.Rotations, méthode 2

On pose la matrice K=( 0 -c b c 0 -a -b a 0 ). On calcule K2, alors la formule de Rodriguez donne directement la matrice de la rotation :

A=I+sinθK+(1-cosθ)K2.

4.3.3.Anti-rotatio:ns

Même méthode 1 sauf qu'on remplace R par R=( -1 0 0 0 cosθ sinθ 0 -sinθ cosθ ).

4.4.Détermination de matrices

Matrice de la rotation d'axe ( 3 0 4 ) et d'angle θ=π/2.

Méthode 1 :

On prend u= (

3
0
4
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( -4 0 3 ) par exemple puis w=uv=( 0 25 0 ). On normalise en prenant (15u,15v,125w).

On pose P=15( 3 -4 0 0 0 5 4 3 0 ) et R=( 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 ).

On a alors A=PRP-1.

Méthode 2 :

K=15( 0 -4 0 4 0 -3 0 3 0 ), puis K2=125( -16 0 12 0 -25 0 12 0 -9 ).

Alors A=I+K+K2.

Les deux méthodes donnent :

A=125( 9 -20 12 20 0 -15 12 15 16 ).

Matrice du retournement d'axe ( -1 1 0 ).

On rappelle que, dans 3, un retournement est une rotation d'angle π.

Méthode 1 :

On prend u= (

-1
1
0
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( 0 0 1 ) par exemple puis w=uv=( 1 1 0 ). On normalise en prenant P=(12u,v,12w).

On pose R=( 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 ). On a alors A=PRP-1.

Méthode 2 :

K=12( 0 0 1 0 0 1 -1 -1 0 ), puis K2=12( -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 -2 ).

Alors A=I+2K2.

Les deux méthodes donnent :

A=( 0 -1 0 -1 0 0 0 0 -1 ).

Matrice de l'anti-rotation d'axe ( 1 1 1 ) et d'angle θ=π/2.

Méthode 1 :

On prend u= (

1
1
1
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( 1 -1 0 ) par exemple puis w=uv=( 1 1 -2 ).

On normalise en prenant P=(13u,12v,16w).

On pose R=( 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 ). On a alors A=PRP-1.

Méthode 2 :

K=13( 0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0 ), puis K2=13( -2 1 1 1 -2 1 1 1 -2 ).

Alors A=I+K+K2.

Les deux méthodes donnent :

A=13( 1 1-3 1+3 1+3 1 1-3 1-3 1+3 1 ).

Matrice de la réflexion par rapport au plan x+y+2z=1

Méthode 1 :

On prend u= (

1
1
2
) et on choisit deux vecteurs v,w tels que (u,v,w) forme un trièdre direct :

v=( 1 -1 0 ) par exemple, puis uv qu'on simplifie : w=( 1 1 -1 ).

On normalise en prenant P=(16u,12v,13w).

On pose R=( -1 0 0 0 1 0 0 0 1 ). On a alors A=PRP-1.

4.5.Exercices divers

  1. On pose A=( a b b b a b b b a ), où a,b sont deux réels.

    À quelle condition sur a,b a-t-on A orthogonale ?

    Donner alors les éléments caractéristiques de A.

    On trouve { a2+2b2=1 2ab+b2=0 . d'où (a,b){(±1;0),±(13;-23)}

  2. Soit Ay la matrice de la rotation d'angle θy portée par le vecteur (0,1,0).

    Soit Ax la matrice de la rotation d'angle θy portée par le vecteur (1,0,0).

    a) À quelle condition sur θx,θy la matrice AxAy transforme-t-elle (0,0,1) en (x,y,z) donné ?

    b) Établir la matrice R de rotation transformant (0,0,1) en (x,y,z).

    c) A-t-on R=AxAy ?

    On posera ρ=x2+y2+z2 et R=x2+y2.

    Réponse : Ax=( 1 0 0 0 cosθx -sinθx 0 sinθx cosθx ) et Ay=( cosθy 0 sinθy 0 1 0 -sinθy 0 cosθy ).

    On trouve alors AxAy=( cosθy 0 sinθy sinθxsinθy cosθx -sinθxcosθy -cosθxsinθy sinθx cosθxcosθy ).

    a) On a donc { sinθy=xρ sinθx=-yR cosθx=zR . puis AxAy=1ρ( R 0 x -xy/R zρ/R y -xz/R -yρ/R z ).

    b) sinθ=Rρ et cosθ=zρ et n(-y,x,0) puis :

    R=( y2+x2cosθR2 -(1-cosθ)xyR2 xsinθR (1-cosθ)xyR2 x2+y2cosθR2 ysinθR -xsinθR -ysinθR cosθ )=( y2+x2z/ρR2 -(1-zρ)xyR2 xρ (1-zρ)xyR2 x2+y2z/ρR2 yρ -xρ -yρ zρ )

    c) On trouve AxAy rotation :