Matrices

Table des matières

1.Matrice à la puissance n 1

1.1.Procédé I+N 1

1.2.Cas où un calcul simple (exemple : A2) permet d'avoir An 1

1.3.Divers 2

1.4.Racine de matrice 2

1.5.Exponentielle de matrice 3

2.Inverse de matrice 3

2.1.Calculs utilisant des polynômes 3

2.2.Cas où un calcul simple (exemple : A2) permet d'avoir A-1 4

2.3.Calculs directs 4

2.4.Résultats généraux 4

2.5.Méthode des combinaisons linéaires (pivot de Gauss) 5

3.Matrice d'app linéaire 5

4.Petits calculs 6

4.1.Équations de matrices 2×2 6

4.2.Divers 6

5.Matrices semblables 7

5.1.Divers 7

5.2.Montrer que deux matrices sont semblables 7

5.3.Changement de base 8

6.Projecteurs & symétries 10

7.Polynômes de matrices 11

7.0.1.Divers 11

7.0.2.Matrice compagnon 11

8.Exercices divers 11

8.0.3.Isomorphisme entre et un sous-espace de M2() 11

1.Matrice à la puissance n

1.1.Procédé I+N

  1. On donne A=( 2 1 -1 0 2 2 0 0 2 ). En écrivant A=2I+N donner une formule pour An pour tout n.

1.2.Cas où un calcul simple (exemple : A2) permet d'avoir An

  1. Utilise la division euclidienne dans [X].

    On pose A=( -1 -2 3 4 ). Calculer A2-3A. En déduire An.

    Réponse : A2-3A=-2I. On divise Xn=(X2-3X+2)Q(X)+aX+b, on trouve :

    { a+b=1 2a+b=2n .{ a=2n-1 b=2-2n. .

    Ainsi,

    An=(2n-1)A+(2-2n)I
    .

  2. Généralisation du précédent

    On pose A=( a b c d ). Calculer A2-(a+d)A. En déduire An.

    Réponse : A2-(a+d)A=-detAI. Si maintenant x,y sont les solutions de X2-(a+d)X+detA=0, alors :

    An=xn-ynx-yA+xyn-yxnx-y.

  3. A=( 2 1 5 -2 ), calculer An.

    Réponse : A2=9I donc :

    An={ 9pI si n=2p 9pA si n=2p+1. .

  4. Calculer An avec A=( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ).

    Réponse : A2=I donc :

    An={ I si n=2p A si n=2p+1. .

1.3.Divers

  1. On pose φ(x,y)=(2x-6y,-2x+y) dans 2. Par un certain calcul déterminer l'expression de φ(n)(x,y) (c'est-à-dire φ appliquée n fois de suite à (x,y)).

  2. A=( 1+a b c 1+d ) avec ad=bc. Calculer An.

    Réponse : A=I+B avec B=( a b c d ). On remarque que B2=(a+d)B et par récurrence on a donc pour k1 : Bk=(a+d)k-1B.

    Ainsi :

    An=I+k=1n( n k )(a+d)k-1B,

    et on en déduit facilement :

  3. On pose A(x)=( cosx -sinx sinx cosx ), trouver une idée pour exprimer A(x)n.

    Réponse : remarquer que A(x+y)=A(x)A(y). En fait, en notation complexe, A:xex.

  4. fL(3) telle que f20 et f3=0. Montrer que dans une certaine base Mf=( 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ).

    Réponse : soit x tel que f2(x)0 alors on prend la base (x,f(x),f2(x)).

1.4.Racine de matrice

  1. Racine p-ième de matrice :

    1. On pose A=( 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ).

      1. Exprimer An en fonction de n.

      2. En généralisant la formule précédente à n=1p (avec p), trouver l'expression d'une matrice Bp telle que (Bp)p=A.

      Réponse : An=I+nN+n(n-1)2N2N=A-I.

      Bp=I+1nN+1-nn2N2M.

      On est obligé de vérifier. Vu que M2=1n2N2 c'est assez rapide.

    2. On pose A=( 1 2 3 0 1 2 0 0 1 )

      1. Exprimer A sous la forme A=I+αN+βN2.

      2. Résoudre B2=A en cherchant B sous la forme B=I+β'N+γN2.

      Réponse : β'=γ=1.

1.5.Exponentielle de matrice

On pose A=( a 1 0 0 a 1 0 0 a )a. Donner une formule pour An, puis déterminer :

E(A)=limn+k=0n1k!Ak.

Réponse : on pose N=( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ), et l'on a : Ak=i=0k( k i )Niak-i.

L'astuce consiste à laisser la somme jusqu'à k et non pas jusqu'à 2 sinon l'interversion sera moins limpide.

Ensuite, on a E(A)=i01i!Niki1(k-i)!ak-i=i01i!Ni×ea d'où finalement :

E(A)=ea×(1+N+12N2).

en interver

2.Inverse de matrice

2.1.Calculs utilisant des polynômes

  1. Inverser J=( 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ).

    Réponse : J=I+N et (1+x)(1-x+x2-x3+x4++(-1)nxn)=

  2. Inverser J=( 1 2 3 n 0 3 0 2 0 0 1 ).

    Réponse : on utilise (1+2x+3x2++nxn-1)=(1+x+x2++xn)' et on trouve :

    J-1=( 1 -2 1 1 -2 1 ).

2.2.Cas où un calcul simple (exemple : A2) permet d'avoir A-1

0

  1. Inverser A(a,b)=( a b b b b b b a ).

    Réponse : On pose A=μI+λJJ n'a que des 1, et il suffit de calculer A2.

    On trouve A2=(2(a-b)+nb)A+(b-a)(b(n-1)+a)I d'où un résultat de la forme A(rA+sI)=tI, puis :

    A-1=( α β β β β β β α ) avec α=a+(n-2)bd et β=-bd, où d=(a-b)(b(n-1+a)).

    On peut procéder à des vérifications : a=b ou b=0 par exemple.

  2. ω=e2π/n et A=(ajk) avec ajk=ω(j-1)(k-1) avec n un entier et AMn(). Montrer que A est inversible et calculer A-1.

    Réponse : on trouve AA=nI.

2.3.Calculs directs

  1. Déterminer si A=( a 1 2a -a 2 0 1 a 2 ) est inversible. Discuter selon a. Exprimer A-1.

  2. Inverses de matrices 2×2.

    1. A=( 1 0 -3 -2 )A=( 1 -1 3 -4 )

    2. A=( 1 5 -3 -3 ) (il y aura du dénominateur 12 puisque le déterminant vaut 12)

  3. Inverse de :

    A=( 3 2 1 1 -1 1 0 2 2 );B=( 5 0 -5 2 2 0 0 1 -10 );C=( 3 3 1 1 3 -1 0 3 6 )

    Réponses :

    A-1=114( 4 2 -3 2 -6 2 -2 6 5 );B-1=111( 2 0 -1 -2 9/2 -19 -1/5 1/2 -1 );C-1=116( -7 -5 -2 -2 6 4/3 1 -3 2 );
  4. Inverser A=( -3 0 1 -1 4 0 0 2 0 ) avec les cofacteurs.

  5. Inverser A=( ( 0 0 ) ( 1 0 ) ( 2 0 ) ( n 0 ) 0 ( 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 0 ( n n-1 ) 0 0 ( n n ) )=(( j i ))ij.

    Réponse : c'est la matrice de P(X)P(X+1) donc son inverse sera la matrice de P(X)P(X-1) soit A-1=((-1)i+j( j i ))ij.

2.4.Résultats généraux

  1. Hadamard : Soit A=(ai,j) une matrice carrée d'ordre n.

    On dit que A est à diagonale strictement dominante si, pour tout j fixé, |aj,j|>ij|ai,j|. Montrer qu'une telle matrice A est inversible.

    Soit X=(x1,,xn) tel que AX=0 avec xi0 de module maximal (|xi0|=Max{|xi|,i{1,,n}}). On a ai0,i0xi0+ii0ai,i0xi=0 donc on aurait |ai0,i0xi0|ii0|ai,i0xi| or on a |ai0,i0|>ii0|ai,i0| qui implique |ai0,i0xi0|>ii0|ai,i0xi|.

2.5.Méthode des combinaisons linéaires (pivot de Gauss)

On écrit P et I côte à côte et on manipule par des combinaisons linéaires (sur les lignes uniquement) les deux en parallèles. Quant on a I à gauche, on a P-1 à droite.

Inverser ainsi les matrices suivantes :

  1. P=( 2 1 1 -1 2 -1 1 -1 1 )

    Réponse : P-1=( 1 -2 -3 0 1 1 -1 3 5 )

3.Matrice d'app linéaire

  1. On pose :

    On demande la matrice de ces applications dans les bases canoniques B0 des espaces de départ et d'arrivée, et dans les bases échelonnées B=(e1,e1+e2,e1+e2+e3,)

    Indication : on peut demander de résoudre des équations à trous :

    { (2,-1)B=(,)B0 (2,-1)B0=(,)B. .
  2. On pose φ(P)=XP'(2X)+(X2-1)P''(X) dans 2[X].

    1. Trouver la matrice de φ dans la base (1,X,X2).

      Réponse :

      • on établit φ(1,0,0)=(0,0,0) puis φ(0,1,0)=(0,1,0) puis φ(0,0,1)=(-2,0,6) donc Mφ=( 0 0 -2 0 1 0 0 0 6 ) ;

      • on calcule φ(a+bX+cX2)=-2c+bX+6cX2 et on trouve pareil.

    2. Trouver la matrice de φ dans la base (1,1+X,1+X+X2).

  3. On pose φ(P)=P' dans 3[X]. Écrire la matrice de φ. φ a-t-elle des vecteurs propres ? Que pensez-vous de φ3 ? (Bonne introduction aux matrices nilpotentes)

  4. On pose A=( 1 -1 -1 1 ) puis :

    f:{ M2()M2() XAX+XA. .
    1. Donner la matrice de f dans la base canonique de M2().

    2. Montrer que cette matrice est de rang <4 et en trouver le noyau.

      Réponse : on trouve par un calcul simple Kerf=vect(( 1 1 1 1 )).

  5. f:{ 42 (x,y,z,t)(x+y+z+t,x+2y+3z+4t) .. Écrire la matrice de f dans les bases canoniques et déterminer si f injective, surjective.

4.Petits calculs

4.1.Équations de matrices 2×2

On posera M=( a b c d ).

  1. Résoudre M2=λI d'inconnue MM2(), avec λ un réel.

    Réponse : on aboutit à { a2+bc=λ b(a+d)=0 c(a+d)=0 bc+d2=λ . donc :

  2. Résoudre M2=λM d'inconnue MM2(), avec λ un réel.

    Réponse : on aboutit à :

    { a(a-λ)=d(d-λ)=-bc (1) b(a+d-λ)=c(a+d-λ)=0 (2), .

    donc :

4.2.Divers

  1. On pose M=( 0 1 -1 0 ) :

  2. On pose { u0 = 1 v0 = 0 .et { un+1 = 2un+vn vn+1 = 2vn+un. . On demande le terme général des deux suites u et v.

    Réponse :

  3. Calculer D=AB et E=BA avec :

    1. A=(ai,j)=(i) et B=(bi,j)=(j2) ;

    2. A=(ai,j)=(2i3j) et B=(bi,j)=(3i2j) ;

    3. A=(ai,j)=(i+j) et B=(bi,j)=(i-j) ;

    Réponses :

    1. di,j=k=1nai,kbk,j=k=1ni×j2=nij2.

      ei,j=k=1nbi,kak,j=k=1nk2×k=k=1nk3=(n(n+1)2)2 : tous les coefficients de la matrice sont égaux.

    2. di,j=k=1nai,kbk,j=k=1n2i32k2j=2i+j×98×(9n-1).

      ei,j=k=1nbi,kak,j=k=1n3i22k3j=3i+j×43×(4n-1)

    3. di,j=k=1nai,kbk,j=k=1n(i+k)(k-j)=k=1nk2+(i-j)k-ij

      ei,j=k=1nbi,kak,j=k=1n(i-k)(k+j)=k=1n-k2+(i-j)k+ij

  4. A=(ai,j), B=(bi,j) et C=(ci,j) étant trois matrices, calculer le terme général de (AB)C, et en déduire que le produit de matrices est transitif. En déduire aussi une formule pour tr(ABC).

    Réponse : (AB)C=(,kai,kbk,c,j)i,j et tr(ABC)=i,,kai,kbk,c,i.

  5. Montrer que tr(AB)=tr(BA) par un calcul de double sommation. En déduire que deux matrices semblables ont la même trace

5.Matrices semblables

5.1.Divers

  1. Montrer que deux matrices semblables ont même trace.

5.2.Montrer que deux matrices sont semblables

  1. Montrer que A=( 0 1 8 1 ) et B=( 16 -1 232 -15 ) sont semblables. Trouver toutes les matrices de passage P possibles.

    Réponse : on tente d'avoir u=( a b ) et v=( c d ) tels que :

    { ( 16a-b 232a-15b )=8( c d ) ( 16c-d 232c-15d )=( a+c b+d ). .

    On arrive rapidement à L4 redondante donc le système équivaut à :

    { 16a-b=8c 232a-15b=8d 15c=a+d . { b=16a-8c 232a-15×16a+15×8c=8d 15c=a+d .(et on sait que 232=16×29) { b=16a-8c 28a+15c=d 15c=a+d, .

    et la seconde ligne, en substituant 15c, nous donne : 28a+a+d=d d'où a=0.

    On en déduit que ( a c b d )= P=λ( 0 1 -8 15 ) et je dois maintenant vérifier que PA=BP, ce qui est bon.

  2. Montrer que A et B sont semblables, avec :

    A=( 1 1 -1 -3 -3 3 -2 -2 2 ) et B=( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ).

    Réponse : pour e1', prendre x+y-z=0, mais e1' étant dans l'image, forcément, ( x y z )=λ( 1 -3 -2 ) et du coup e1'=( 1 -3 -2 ) convient. On prend ensuite e2'=( 1 1 1 ) et pour e3' on a le choix par exemple e3'=( 0 1 1 ).

  3. Montrer que A et B sont semblables, avec :

    A=( 1 1 1 1 1 1 1 ) et B=( 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1 ).

    Réponse : soient f et B=(e1,e2,e3,e4) telles que la matrice de f dans B soit B.

  4. A=( -1 2 -2 2 ) et B=( 6 0 0 -2 ) dans M2(), et en déduire An.

    Réponse : A=PBP-1 avec P=( 2 1 -2 ) d'où P-1=-5( 2 1 -2 )

5.3.Changement de base

  1. On pose f de matrice M=( 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 ).

    Donner la matrice M' de f dans la base B'=(e1+e2+e3,e1-e3,e1-2e2+e3).

    Réponse : M'=( 0 3 -3 ) diagonale. On vérifie que detM=detM'=0 et que trM=trM'=0.

  2. On pose f de matrice M=( 1 2 4 0 -1 5 1 1 1 ).

    Donner la matrice M' de f dans la base B'=(e1-e2,e2+2e3,e1-e2-e3).

    Réponse : M'=( -1 -25 12 0 19 -9 0 35 -17 ). On vérifie que detM=detM'=8 et que trM=trM'=1.

  3. Dans 2, on pose f( x y )=( x-y x+y ). Donner :

    1. la matrice M de f dans la base canonique de 2 ;

      Réponse : M=( 1 -1 1 1 )

    2. la matrice M' de f dans la base B'={( 1 1 ),( 1 -1 )}.

      Réponse : M'=( 1 1 -1 1 )

  4. Dans 3, on pose f( x y z )=( x-2y+z x+y x+y+z ).

    On a M0=( 1 -2 1 1 1 0 1 1 1 ) de déterminant 3 et trace 3.

    Donner :

    1. la matrice M de f dans la base B={( 1 0 1 ),( 1 1 0 ),( 2 1 2 )} ;

      Réponse : M=( 0 -8 -7 0 -3 -3 1 5 6 ) de déterminant 3 et trace 3.

    2. la matrice M' de f dans la base B'={( 1 2 0 ),( 0 1 -1 ),( 1 3 0 )}.

      Réponse : M'=( -15 -10 -23 -3 0 -4 12 7 18 ) de déterminant 3 et trace 3.

  5. Dans 3, on pose φ définie par : { φ(e1)=e3 φ(e2)=-e1+e2+e3 φ(e3)=e3 .,

    et on pose aussi { f1=e1-e3 f2=e1-e2 f3=-e1+e2+e3. .

    On suppose que (e) est une base, montrer que (f) aussi, puis déterminer la matrice de φ dans (e) puis dans (f). Reconnaître φ.

    Réponse : on trouve Mf(φ)=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ) donc φ est la projection sur f2,f3 parallèlement à f1.

  6. Soit fL(3) de matrice A=( 3 -1 1 2 0 1 1 -1 2 ) dans la base canonique. Écrire la matrice de f dans la base B=((0,1,1),(1,1,0),(1,1,1)) et en déduire An.

    Réponse : MB(f)=C=( 1 0 0 0 2 1 0 0 2 ) on écrit cela C=2I+K avec K=( -1 0 0 0 0 1 0 0 0 ) d'où K2=( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) d'où Kn=( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) pour n2.

    An=( (n+2)2n-1 -n2n-1 n2n-1 (n+2)2n-1-1 1-n2n-1 n2n-1 2n-1 1-2n 2n ).

  7. On donne A5=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) et B5=( ε1 0 0 0 0 0 ε2 0 0 0 0 0 ε3 0 0 0 0 0 ε4 0 0 0 0 0 ε5 ) avec les εi{-1,+1}.

    a) Trouver des valeurs de (ε1,,ε5) pour que A et B soient semblables. Donner la matrice de passage.

    b) Généraliser avec An=( 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ).

    Réponse : a) il suffit de regarder l'image par A5 de e1+e52,e2+e42,e3,e1-e52,e2-e42.

    On a alors (ε1,,ε5)=(1,1,1,-1,-1).

    b) on trouve :

    si n=2p

    si n=2p+1

    P=( 1 1 1 1 1 -1 1 -1 )

    P=( 1 1 1 -1 1 -1 )

    (ε)=(1,,1,-1,,-1)

    avec autant de 1 que de -1

    (ε)=(1,,1,1,-1,,-1)

    avec un 1 au milieu

6.Projecteurs & symétries

  1. Matrice de la symétrie par rapport à ( 1 1 ) de direction ( 1 -1 ).

  2. Dans 4, on pose :

    { F=e1+e2,e3+e4 G=e1-e2,e3-e4. .

    On demande la matrice de la symétrie par rapport à F parallèlement à G.

    Réponse : dans la base (e1+e2,e3+e4,e1-e2,e3-e4), on a M'=( -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ). Donc, j'ai PM'=MP avec P=( 1 0 1 0 1 0 -1 0 0 1 0 1 0 1 0 -1 ), ici l'inverse de P peut se deviner, on trouve P-1=12( 1 1 0 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1 ) d'où ensuite M=PM'P-1=( 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 ).

  3. Dans 3, on pose P:x+2y-z=0 et Δ=( 1 0 -1 ). On demande les matrices de :

    1. f, la projection sur P parallèlement à Δ ;

    2. g, la projection sur Δ parallèlement à P ;

    3. h, la symétrie par rapport à P parallèlement à Δ ;

    4. j, la symétrie par rapport à Δ parallèlement à P ;

      Réponses : Mf=( 1/2 -1 1/2 0 1 0 1/2 1 1/2 ) ; Mg=I3-Mf=( 1/2 1 -1/2 0 0 0 -1/2 -1 1/2 ) ;

      Mh=2Mf-I3=( 0 -2 1 0 1 0 1 2 0 ).

  4. Dans 3, soit f de matrice A=( 2 0 0 0 1 0 0 1 2 ). On demande F=Ker(f-2I) et G=Ker(f-I).

    On pose ensuite p la projection sur F de direction G et q la projection sur G de direction F. On demande les matrices de p et de q.

    Calculer 2p+q, en déduire An pour n.

  5. On considère :

    φ:{ M2()4 ( a c b d )( a b c d ). .
    1. Montrer que c'est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

    2. Soient U2 et H2 deux sous-espaces de M2() : le premier contient les matrices de rang 1, et l'autre les homothéties. On considère U2' et H2' leur image par φ.

      Déterminer la matrice M de la projection sur U2' selon H2'.

      Réponse : on trouve M=( 1 -1 1 -1 1 -1 0 ).

7.Polynômes de matrices

7.0.1.Divers

  1. Si P(A)=0 et P(0)0, montrer que A inversible.

    Évident : on a a1A++anAn=-a0I et on factorise par A à gauche.

7.0.2.Matrice compagnon

On pose A=( 0 a0 1 0 1 0 1 an-1 ), appelée matrice compagnon de P(X)=a0++an-1Xn-1.

Déterminer le polynôme minimal πA(X) de la matrice A.

Réponse :

8.Exercices divers

8.0.3.Isomorphisme entre et un sous-espace de M2()

  1. Calculer le déterminant de ( a -b b a )×( c -d d c ) de deux manières différentes.

    On obtient l'identité de Lagrange (a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)(ad+bc).

    Cet exercice revient à calculer (a+b)(c+d) de deux manières différentes.