Matrices

Table des matières

1.Déterminants 1

1.1.Matrices 3×3 1

1.2.Matrices 4×4 1

1.3.Matrices n×n 2

1.4.Divers 2

1.5.Déterminants des matrices tridiagonales 4

1.5.1.Cas général, double récurrence 4

1.5.2.Applications 4

1.Déterminants

1.1.Matrices 3×3

  1. Déterminant de A=( 1 2 3 4 5 6 7 0 9 ) et de B=( 1 2 0 -4 5 6 7 0 9 ).

  2. Vérifier que C=( -2 -8 -1 0 8 4 1 -3 -3 ) a un déterminant nul, et trouver une combinaison linéaire entre les vecteurs-colonne. Trouver aussi une combinaison linéaire entre les vecteurs-ligne (par un système aussi).

  3. Déterminer :

    | a-b-c 2a 2a 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b |.

    Réponse : (a+b+c)3.

  4. Déterminer :

    | a2 b2 ab b2 ab a2 ab a2 b2 |.

    Réponse : -(a3-b3)2.

  5. Déterminer de deux manières :

    D(x)=| 1 cosx sinx 1 cos(x+α) sin(x+α) 1 cos(x+β) sin(x+β) |.
    1. Soit Δ(x)=| C1(x),C2(x),C3(x) |, trouver une expression simple de Δ'(x), en déduire D(x).

    2. Par multilinéarité.

      Réponses :

      a) Δ'(x)=| C1'(x),C2(x),C3(x) |+| C1(x),C2'(x),C3(x) |+| C1(x),C2(x),C3'(x) |

      donc D'(x)=0 donc D(x)=Cste=sin(α)-sin(β)-sin(α-β).

      b) par multilinéarité avec cos(u+v) et sin(u+v), ça marche très bien aussi.

1.2.Matrices 4×4

  1. Déterminer :

    | x a b x b x x a x b a x a x x b |.

    Réponse : (b-a)2(a+b+2x)(a+b-2x).

  2. Déterminer :

    Δ=| a a a a a b b b a b c c a b c d |.

    Réponse : on fait C4C4-C3 puis on remonte on trouve Δ=a(b-a)(c-b)(d-c).

1.3.Matrices n×n

  1. Trouver :

    Δn=| a1-b1 a1-bn an-b1 an-bn |.

    Réponse : On trouve 0 dès que n>2. Preuve : remplacer Ci par Ci-C1 ou Li par Li-L1.

    Reste à examiner le cas n=2, on trouve Δ2=-2(a2b1+a1b2).

  2. Calculer :

    Δn=| 1 n n-1 . 3 2 2 1 n 4 3 n n-1 . 2 1 |.

    Réponse :

  3. Déterminer :

    Δn=| a+λ1 (a) (a) a+λn |.

    Réponse : posons K=( 1 1 ) et Ei=( 0 1 0 )i-ème ligne.

    On écrit alors Δn=det(aK+λ1E1,,aK+λnEn) et on développe par la multilinéarité, on obtient Δn=λ1××λn+ak=1nikλi.

1.4.Divers

  1. Voisinage d'une matrice inversible.

    Soient A,B deux matrices de Mn(), avec A inversible et B non inversible.

    Montrer qu'il existe un voisinage I=]-ε,ε[ de 0 tel que xI, A+xB est inversible.

    Réponse : det(A+xB) est un polynôme P(x), tel que p(0)0. Donc la continuité fournit la réponse.

  2. AMn() de colonnes C1,C2,,Cn. Soit B de colonnes :

    C2-C1,C3-C2,,Cn-1-Cn,Cn-C1.

    Déterminer detB.

    Réponse : Les vecteurs C2-C1,C3-C2,,Cn-1-Cn,Cn-C1 sont liés puisque leur somme est 0. Donc detB=0.

  3. AMn() antisymétrique. Dans quel cas peut-on affirmer que det(A)=0 ?

    Réponse : on a det(A)=(-1)ndet(A) donc si n est impair det(A)=0. Sinon on ne peut rien dire, exemple simplissime det( 0 1 -1 0 )=1.

  4. _Soit α et soit :

    Mα=( 1 α (0) (0) α α 1 ).

    Trouver le rang de Mα en discutant selon α.

    Réponse : On trouve detMα=1+(-α)n en écrivant le premier vecteur ( 1 0 0 )+( 0 0 α ) et en utilisant la multilinéarité. Et on remarque que lorsque detMα=0, le rang de Mα vaut n-1 car il y a un sous-bloc carré d'ordre n-1 inversible.

  5. On pose J=( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ) et, pour tous a,b,c,d : M(a,b,c,d)=( a b c d d a b c c d a b b c d a ).

    On note V={M(a,b,c,d),a,b,c,d}.

    1. Montrer que V est stable par somme, différence, et produit de matrice.

    2. Soit MV telle que det(M)=±1, montrer que M-1V.

    3. Soit G l'ensemble des matrices M inversibles de V telles que M-1 est aussi dans V. Montrer que (G,×) est un groupe et que G={MV,det(M)=±1}.

    4. Montrer que G={±I,±J,±J2,±J3} et que G/2×/4.

    Réponses :

    1. V={aI+bJ+cJ2+dJ3,a,b,c,d} donc V est un anneau.

    2. On utilise la matrice des cofacteurs, il est aisé de voir que MVMV, on en déduit que si detM=±1 alors M-1=1detMMt est aussi dans V.

    3. L'identité I4 est dans G donc G.

      De plus, donc V est stable par produit de matrices. Et G est stable par inverse, par hypothèse.

      Enfin, si M-1V alors det(M-1) donc, vu que det(M)×det(M-1)=1, on a bien det(M)=det(M-1)=±1.

    4. Il suffit de résoudre | a b c d d a b c c d a b b c d a |=±1, on trouve a,b,c ou d qui vaut ±1 et les trois autres nuls. Ainsi, φ convient avec :

      φ:{ /2×/4 G (ε,i) (-1)ε×Ji. .

  6. Résoudre pour a :

    { x+ay+a2z=0 ax+y+az=0 a2x+az+z=0 .

    Réponse : le système est de Cramer pour |a|=1. S'il ne l'est pas, il est équivalent à x+ay+a2z=0.

1.5.Déterminants des matrices tridiagonales

1.5.1.Cas général, double récurrence

On pose :

Dn=| a1 b1 c1 a2 b2 c2 bn-1 cn-1 an |.

Trouver une relation de récurrence double pour Dn.

Réponse : Dn=anDn-1-bn-1cn-1Dn-2.

1.5.2.Applications

  1. On pose :

    Dn=| a b c a b c b c a |,

    (la matrice étant n×n). Calculer Dn avec a=7,b=25,c=1/2 puis avec a=1,b=,c=6.

    Réponse : on utilise la double récurrence Dn=anDn-1-bn-1cn-1Dn-2 qui, ici, donne :

    Dn=aDn-1-bcDn-2.

    On exploite ensuite les conditions initiales.

  2. Déterminer :

    Dn=| a+b b (0) a b (0) a a+b |.

    Réponse : On a Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2. Ainsi :

  3. Déterminer :

    Dn=| 2cosθ 1 (0) 1 1 (0) 1 2cosθ |.

    Réponse : Dn=2cosθDn-1-Dn-2 et l'équation caractéristique a pour racines eθ et e-θ ce qui donne ensuite Dn=αenθ+βe-nθ, en identifiant sur n=1 et n=2 on trouve :

    { α = eθ2sinθ = 12(cotanθ+) β = e-θ2sinθ = 12(cotanθ-), .

    on pouvait aussi démontrer par récurrence que Dn=λcos(nθ)+μsin(nθ).

2.Déterminants par blocs

Dans tout ce qui suit, A,BMn().

  1. Montrer que det( A 0n B )=det(A)×det(B).

    Par combinaisons : det( A 0n B )=det(A1,,An,+B1,,+Bn) or tous les det(A1,,An,+B1,,,,+Bn) sont nuls (n+1 vecteurs de n).

  2. Montrer que det( A B B A )=det(A2-B2).

    Réponse : on fait CiCi+Ci+n puis Li+nLi+n-Li d'où :

    det( A B B A )=det( A+B B B+A A )=det( A+B B 0 A-B ).

  3. Montrer que det( A -B B A )0.

    On fait CiCi+Ci+n puis Li+nLi+n-Li d'où :

    det( A -B B A )=det( A-B -B B+A A )=det( A-B B 0 A+B )=|det(A+B)|2.

    On a d'ailleurs aussi det( A -B B A )=det(A2+B2).