E.V. normés

Table des matières

1.Normes sur des espaces de polynômes 1

1.1.Différentes normes sur [X] 1

1.1.1.Présentation 1

1.1.2.Polynômes qui serviront pour distinguer les normes 1

1.1.3.Comparaisons 1

1.1.4.Conclusion 2

1.1.5.Rappel de la définition des normes étudiées 2

1.1.6.Reste à faire 3

2.Normes sur les espaces de suites réelles 3

2.1.Différentes normes sur B(,) (suites bornées) 3

2.1.1.Présentation 3

2.1.2.Suites qui serviront pour distinguer les normes 3

2.1.3.Comparaisons 3

2.1.4.Conclusion 3

2.1.5.Remarques diverses 3

2.1.6.Reste à faire 3

3.Normes sur les espaces de fonctions réelles 3

3.1.Différentes normes sur C:[0;1] (fonctions continues) 4

3.1.1.Présentation ?

3.1.2.Fonctions qui serviront pour distinguer les normes ?

3.1.3.Comparaisons ?

3.1.4.Conclusion ?

3.1.5.Reste à faire ?

Feuille en cours de rédaction

Note 1. Métaphore pour une norme plus fine qu'une autre :

Une norme plus fine ne se laisse pas aussi facilement embarquer à tendre 0 ni à confondre deux vecteurs : elle garde ses distances.

1.Normes sur des espaces de polynômes

1.1.Différentes normes sur [X]

1.1.1.Présentation

Soit P(X)=k0akXk[X]. On définit :

normes à partir des dérivées

||P||d=k0|P(k)(0)| ||P||d'=Supk0|P(k)(0)|

normes à partir des coefficients

||P||c=k0|ak| ||P||c'=Supk0|ak| ||P||h=k0|ak|k+1

norme du sup sur un compact

||P||=Supx[0,1]|P(x)|

normes ésotériques

||P||p=Supx[0,1]|(P-P')(x)|

1.1.2.Polynômes qui serviront pour distinguer les normes

On pose tout d'abord :

An(X)=k=0nXkk!

Bn(X)=Xn

Cn(X)=k=0nXk

Dn(X)=(X(1-X))n

En(X)=(X-1/2)n

1.1.3.Comparaisons

Soit un polynôme P(X)=k=0nakXk[X].

1.1.4.Conclusion

|||| est la norme la moins fine parmi les exemples proposés et l'on a la hiérarchie suivante :

(moins fine) ||.|| ||.||c' ||.||c ||.||d' ||.||d ||.||d (plus fine)
||.||h
||.||p

1.1.5.Rappel de la définition des normes étudiées

normes à partir des dérivées

||P||d=k0|P(k)(0)| ||P||d'=Supk0|P(k)(0)|

normes à partir des coefficients

||P||c=k0|ak| ||P||c'=Supk0|ak| ||P||h=k0|ak|k+1

norme du sup sur un compact

||P||=Supx[0,1]|P(x)|

normes ésotériques

||P||p=Supx[0,1]|(P-P')(x)|

1.1.6.Reste à faire

Reste à voir si ||.||p est comparable à ||.||h'.

Reste à montrer que les coefficients de majoration sont optimaux…

2.Normes sur les espaces de suites réelles

2.1.Différentes normes sur B(,) (suites bornées)

2.1.1.Présentation

Soit u=(un) une suite réelle bornée, on pose :

2.1.2.Suites qui serviront pour distinguer les normes

On pose tout d'abord : uk,n=1-e-kn

2.1.3.Comparaisons

Pour toute suite réelle bornée u, on a :

2.1.4.Conclusion

On a la hiérarchie suivante :

(moins fine)

||.||Δ

||.||d||.||

(plus fine)

2.1.5.Remarques diverses

||u||d=Sup|un+u2n| n'est pas une norme, car la suite définie par uL×2k=(-1)k pour tout L impair vérifie : ||u||d=0.

2.1.6.Reste à faire

Étudier ||u||1=|un| et ||u||2=(|un|2)1/2 dans les espaces 1 et 2.

voir les normes qui dérivent d'un produit scalaire et celles qui n'en dérivent pas.

3.Normes sur les espaces de fonctions réelles

3.1.Différentes normes sur C:[0;1] (fonctions continues)

3.1.1.Présentation

Soit f:[0,1] continue. On pose :

On peut aussi se placer sur les fonctions C sur [0,1] telles que f(0)=f'(0)=0 et poser :

N1(f)=Sup|f''|+Sup|f|

N2(f)=Sup|f+f''|

On peut montrer que N1N2 mais elles ne sont pas équivalentes à ||.||.

3.1.2.Fonctions qui serviront pour distinguer les normes

Considérons les deux fonctions an et bn suivantes :

Figure 1. Fonctions an et bn.

3.1.3.Comparaisons

Soit f:[0,1] continue :

3.1.4.Conclusion

On a la hiérarchie suivante :

(moins fine)

||.||1

||.||2

||f||

(plus fine)

3.1.5.Reste à faire

Regarder du côté de ||f||=max{|f(0)|,||f'||} si ça serait bien une norme et où la placer.

Travailler un peu plus du côté des espaces Lp.

Refaire la figure avec MatPlotLib