Ev euclidiens

Table des matières

1.Gram-Schmidt : rappel de cours 1

2.Gram-Schmidt Dans n 2

3.Dans n(X) 2

3.1.Avec P,Q=01PQ(t)dt 2

3.1.1.Calculs divers 2

3.1.2.Une projection 2

3.2.Avec P,Q=-11PQ(t)dt 3

3.3.Avec P,Q=0+PQ(t)e-tdt 3

4.Espaces de fonctions 3

4.1.Dans C([0,1]) avec le produit scalaire f,g=01f(t)g(t)dt 3

5.Dans Mn() 4

5.1.Avec A,B=tr(tA×B) 4

6.Divers en espace Euclidien 4

6.1.Divers 4

6.2.Utilisation d'un trinôme du second degré 5

7.Def d'un produit scalaire à partir d'une norme 5

Dans toute cette page, E désigne un espace euclidien (i.e. muni d'un produit scalaire) et de dimension finie.

1.Gram-Schmidt : rappel de cours

Soit (e1',,en') orthonormée, soit En'=vect(e1',,en').

Soit en+1En'. On détermine pEn'(en+1)=k=1nek',en+1ek'.

Puis on prend en+1-pEn'(en+1), que l'on normalise pour obtenir en+1'.

2.Gram-Schmidt Dans n

  1. Orthonormaliser les trois vecteurs e1( 0 1 1 0 ), e2( 4 0 3 0 ), e3( -1 2 3 4 ).

    Réponse : On garde e1'=12e1 , on a ensuite a2=12( -2 -1 1 8 )puisa3=132( 33 -58 33 -20 ).

  2. Orthonormaliser les deux vecteurs u( 1 2 -1 1 ), v( 0 3 1 -1 ).

    Réponse : 17( 1 2 -1 1 ),17427( -4 13 11 -11 ).

  3. Projeté sur F=vect(( 2 3 1 0 ),( 1 0 -1 5 )) dans 4.

3.Dans n(X)

3.1.Avec P,Q=01PQ(t)dt

3.1.1.Calculs divers

  1. Projeté sur F=vect(X,X2) dans 4[X].

  2. Orthonormaliser les vecteurs 1,X,X2 pour le produit scalaire (on vérifiera que c'en est un) P,Q=01PQ(t)dt.

    Réponse : on trouve 1,23(X-12),65(X2-X-16).

3.1.2.Une projection

Déterminer le projeté de X4 sur 1[X]. En déduire Mina,b01(x4-ax-b)2dx.

Retrouver ce résultat par un calcul direct.

Par projection

Mina,b01(x4-ax-b)2dx peut se voir comme Mina,b||x4-ax-b|| avec P,Q=01PQ(t)dt.

(1,X) s'orthonormalise en (1,3(2X-1)) d'où le projeté :

X4,P0P0+X4,P1P1=4X+15.

La distance est :

Imin=X4,4X+15=01x4(x4-45x-15)dx=4225.

Par calcul direct

Calcul direct : I(a,b)=13(a+3b2-12)2+14(b+15)2+4225 donc le minimum saute aux yeux, juste en rappelant qu'un carré est toujours positif.

Autres

On pouvait aussi passer par un calcul de fonctions à deux variables :

I = 01(x4-ax-b)2dx = 01(x8-2ax5-2bx4+a2x2+2abx+b2)dx = 19-2a6-2a5+a23+ab+b2.

Ensuite on a :

{ Ia=0 Ib=0 . { b+2a3-25-26=0 a+2b=0 . { b+2a3-25-26=0 a+2b=0 . { a=-4,4 b=2,2 .

3.2.Avec P,Q=-11PQ(t)dt

  1. Orthonormaliser 1,X,X2,X3.

    On trouve :

    { Q0=12 Q1=32X Q2=523X2-12 Q3=725X3-3X2 .

  2. On prend En={Pn[X]/-11P2(t)dt=1}.

    Montrer que SupE2(Sup[-1;1]|P|) est majoré par 322.

    Réponse : soit PE2 , écrivons P=aQ0+bQ1+cQ2 alors a2+b2+c2 =1 donc :

    |P(t)| |a|Sup|Q0|+|b|Sup|Q1|+|c|Sup|Q2| a2+b2+c2Sup2|Q0|+Sup2|Q1|+Sup2|Q2|1 (Cauchy-Schwartz) 322.

3.3.Avec P,Q=0+PQ(t)e-tdt

  1. Calculer Xp,Xq.

    Réponse : (p+q)!.

  2. Orthonormaliser 1,X,X2.

    Réponse : 1,X-1,12(X2-4X+2).

4.Espaces de fonctions

4.1.Dans C([0,1]) avec le produit scalaire f,g=01f(t)g(t)dt

  1. Montrer que 0+e-t/21+t2dtπ2

    C'est Cauchy-Schwartz pour une généralisation du produit scalaire introduit en tête de paragraphe : f,g=0+f(t)g(t)dt.

  2. Dans C1([0,1]), on pose :

    φ(f,g)=01f'g'+f(0)g(1)+f(1)g(0).

    Montrer que φ définit un produit scalaire.

    Réponse : la positivité est subtile, on a (f')2(f')2 par Cauchy-Schwartz, d'où, immédiatement :

    φ(f,f)f(0)2+f(1)2.

    Que φ soit définie est ensuite immédiat.

5.Dans Mn()

La transposée d'une matrice A est notée, au choix, tA, AT ou tA

On note I pour In.

5.1.Avec A,B=tr(tA×B)

  1. Vérifier que c'est un produit scalaire.

    Réponse : on peut démontrer que tr(tA×A)=i,j(ai,j)2.

  2. On demande d'orthonormaliser les deux (matrices vues comme des) vecteurs A=( 1 -1 1 1 ), B=( 1 1 -1 1 ), C=( 2 1 1 1 ).

    Réponse : On trouve BA donc reste à calculer C'=1( ).

  3. On demande d'orthonormaliser les deux (matrices vues comme des) vecteurs A=( 2 3 0 -1 2 1 -2 3 0 ), B=( 1 0 0 2 -3 2 1 0 -1 ).

    Réponse : on trouve : B'=116( 22 9 0 29 -42 35 10 9 -16 ).

  4. Projeté sur F=vect(( 1 0 2 -1 ),( -1 1 -1 0 )) dans M4() muni de A,B=tr(tA×B).

  5. Montrer que tr(AB)=tr(A)tr(B) par un calcul de double sommation. En déduire que deux matrices semblables ont la même trace.

  6. Montrer que |trM|n×i,j(ai,j)2

    L'inégalité précédente dit juste que |M,I|||M||×||I|| : c'est Cauchy-Schwartz.

  7. On note F=Vect(I).

    1. Déterminer F.

      Réponse : F est logiquement le sous-espace des matrices de trace nulle :

      F=Ker(Tr).

      (Puisque F est de dimension 1, l'inclusion FKer(Tr) est aisée.)

    2. Déterminer le projeté orthogonal d'une matrice M, sur F, puis sur F.

      pF(M)=tr(M)nI et pF(M)=M-tr(M)nI.

6.Divers en espace Euclidien

6.1.Divers

  1. Montrer que la boule unité est strictement convexe :

    { ||x||<1 ||y||<1 .t]0,1[,||(1-t)y+tx||<1.

    C'est l'inégalité triangulaire…

  2. Dans E euclidien, montrer que pour tous x,y on a :

    2+||x+y||22(1+||x||2)(1+||y||2).

    Réponse : On développe droite moins gauche, cela donne 2||x||2||y||2+||x-y||2.

6.2.

Utilisation d'un trinôme du second degré

  1. Cauchy-Schwartz

    Dans E euclidien, montrer que pour tout couple de vecteurs (u,v) on a :

    u,v||u||×||v||.

    Réponse : pour tout λ0 on a ||u+λv||20 donc λ2||v||2+2λu,v+||u||20 donc le discriminant réduit est nul.

  2. Dans E euclidien, on dispose de deux vecteurs u,v tels que pour tout λ, on a :

    ||u+λv||||u||.
    1. Dessiner deux vecteurs de 2 vérifiant cela et deux vecteurs ne vérifiant pas cela.

    2. Montrer que uv.

    Réponse : la différence des carrés donne λ2||v||2+2λu,v, ceci est censé rester toujours positif donc par propriété d'un trinôme du second degré dans (prendre λ0), forcément u,v=0.

  3. Soit p un projecteur, montrer l'équivalence entre :

    Réponse :

    Pythagore.

    si xImp et yKerp alors écrivons que pour tout réel t :

    ||x+ty||||x||.

    On en déduit que ||y||2t2+2x,yt est toujours positif, et donc par second degré, x,y=0 ce qui prouve que KerpImp.

  4. Soit p un projecteur tel que xE :

    p(x),x0.

    Montrer que p est orthogonal.

    Réponse : Soient xImp et yKerp alors écrivons que pour tout réel t :

    p(x+ty),x+ty0 ty,x+ty0 tx,y+t2||y||20,

    ceci étant vrai pour tout réel t, forcément x,y=0.

7.Def d'un produit scalaire à partir d'une norme

  1. Soit E de dimension finie, muni d'une norme ||.|| vérifiant :

    ||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2).

    Montrer que f(x,y)=14(||x+y||2-||x-y||2) définit un produit scalaire.

    Indications :

    1. Calculer f(u,w)+f(v,w).

    2. Calculer f(x+z,y)+f(x-z,y).

    3. Calculer f(2x,y) puis f(nx,y) avec n.

    4. Calculer f(rx,y) avec r.

    5. Calculer f(λx,y) avec λ.