E.V.

Table des matières

1.Espaces vectoriels ou pas˙ ? 1

2.Coordonnées dans des˙ bases données 1

3.Calculs divers 2

3.1.Calculs de rangs 2

3.2.Calculs divers 2

3.3.Intersections, sommes directes, supplémentaires 3

4.Espace des fonctions˙ réelles 3

4.1.Familles libres de fonctions 3

4.2.Divers 4

5.Espace des˙ polynômes 4

5.1.Familles échelonnées 4

5.2.Exercices divers 4

5.3.Bases de n[X] 4

6.Espace des suites˙ réelles 5

7.Bases et˙ dimensions 5

7.1.Calcul de dimensions 5

7.2.Divers 6

7.3.Hyperplans 6

8.Espaces affines 4

1.Espaces vectoriels ou pas ?

Dire si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels :

  1. {fC:/f(0)=1}.

  2. {fC:/f(1)=0}.

  3. {u/lim(u)=1}.

  4. {u/lim(u)=0}.

  5. L'ensemble des sous-espaces vectoriels de 2.

  6. M2()

2.Coordonnées dans des bases données

  1. Montrer que A=(a1,a2,a3) est une base de 3 avec a1=(1,-1,), a2=(-1,,1), a3=(,1,-1). Trouver les coordonnées dans cette base de u=(1+,1-,).

    Réponse : on trouve u=12((1-)a2+(1-3)a3).

  2. Dans 3, on pose A=(( 1 0 t ),( 1 1 t ),( t 0 1 )), discuter des valeurs de t pour lesquelles A est une base de 3. Coordonnées de u=( 1 m 1 ) dans cette base.

    Réponse : c'est une base pour t±1. Et pour u, on trouve u( 1t+1-m m 1t+1 ) ; on vérifie que :

  3. Dans 3, dire si les familles suivantes sont des bases ou pas, et si oui donner les coordonnées de v=(a,b,c) dans chacune d'entre elles :

    1. m=(2,1,1), n=(5,4,3), p=(17,6,8)

    2. m=(2,1,1), n=(1,3,1), p=(-2,1,3)

      Réponse :

    3. m=(1,0,3), n=(0,1,2), p=(2,-3,0)

3.Calculs divers

3.1.Calculs de rangs

  1. Dans 4, on pose :

    f1=(1,2,3,4), f2=(1,1,1,3), f3=(2,1,1,1), g1=(-1,0,-1,2), g2=(2,3,0,1).

    On note F=f1,f2,f3 et G=g1,g2. Calculer les dimensions de F,G,F+G,FG.

    Réponse :

  2. Dans .C:]-1;1[., on considère :

    Trouver le rang de (f1,f2,f3,f4).

    Réponse : on multiplie en haut et en bas dans f1 et f2 par le conjugué du bas, on obtient : f1=f3+f4 et f2=f3-f4 et comme (f3,f4) est libre, le rang est 2.

  3. Calculer en fonction de a,b le rang de la famille P1(X)=X2-a, P2(X)=X2-bX, P3(X)=X2-aX+b.

    Réponse : On calcule det( -a 0 b 0 -b -a 1 1 1 )=ab-a2+b2, pour b0 on pose x=ab et l'on trouve au final que la famille est liée ssi a=b=0 (rang 1) ou ab=1±52 (rang 2).

  4. Rang de la famille (a,b,c,d,e) avec a=(3,2,1,0), b=(2,3,4,5), c=(0,1,2,3), d=(1,-2,1,2), e=(0,-1,2,1).

    Réponse : rang 4.

  5. Rang dans 4 de a=(2,-1,3,1), b=(1,1,1,1), c=(4,1,5,3), d=(1,-2,2,0).

    Réponse : on trouve d=a-b.

3.2.Calculs divers

  1. Montrer que les plans ( 2 3 -1 ),( 1 -1 -2 ) et ( 7 8 -5 ),( 5 0 -7 ) sont égaux dans 3.

    Réponse : on peut exprimer les deux derniers comme combinaisons linéaires des deux premiers, ou bien voir que ab=cd.

  2. Dans 4, on pose E:x+y-2z+t=0 et F:{ x-y=0 2x-z+t=0. ..

    Donner une base de E, de F, de EF.

  3. Montrer que (1,2,3) est libre sur vu comme -ev.

    Réponse : écrire (λ1+λ22)2=3λ3 et on a tout de suite λ1×λ2=0.

3.3.Intersections, sommes directes, supplémentaires

  1. Dans E=3, soient E1=vect(u,v) et E2=vect(w) avec u=(0,4,-1), v=(3,-2,5), w=(2,0,3). La somme E1+E2 est-elle directe ?

    Réponse : oui, les trois vecteurs forment une famille libre…

  2. Soient E1 et E2 les sous-espaces vectoriels suivants de 3 :

    E1 = vect((0,4,-1),(3,-2,5)) E2 = {(x,y,z)/x+2z=0}..

      La somme E1+E2 est-elle directe ?

  3. On considère les vecteurs v1=(1,0,0,1), v2=(0,0,1,0), v3=(0,1,0,0), v4=(0,0,0,1), v5=(0,1,0,1) dans 4. Les espaces suivants sont-ils supplémentaires dans 4 :

    1. vect(v1,v2) et vect(v3) ?

    2. vect(v1,v2) et vect(v4,v5) ?

    3. vect(v1,v3,v4) et vect(v2,v5) ?

    4. vect(v1,v4) et vect(v3,v5) ?

    Réponses : a) non b) oui c) non d) non.

4.Espace des fonctions réelles

4.1.Familles libres de fonctions

  1. Dans C:, montrer que {xenx,n} est libre.

    Réponse : regarder limx+(λ0+λ1ex++λnenx).

  2. x1,x2,,xn sont n réels distincts. On pose fk(x)=1x-xk. a) La famille (fk)k est-elle libre ? b) Même question en adjoignant à la famille la fonction f(x)=1(x-x1)(x-x2)(x-xk).

    Réponse : a) on multiplie par (x-xk) et on fait x=xk.

    b) non d'après la théorie des éléments simples.

  3. Montrer que la famille (x|x-a|)a est libre.

  4. Montrer que la famille (xsin(kx))k est libre.

    Réponse : par récurrence, on écrit une combinaison linéaire nulle pour tout x et on la dérive deux fois, on obtient donc :

    λ1sin(x)+λ3sin(3x)+λnsin(nx)=0 (1) λ1sin(x)+λ3×32sin(3x)+λn×n2sin(nx)=0 (2)

    on fait (2)-(1)×n2 on obtient une conbinaison nulle pour n-1 éléments.

4.2.Divers

  1. Montrer que PI=EE est l'espace des fonctions réelles, et P,I les espaces respectifs des fonctions paires et impaires. (Indication : calculer chx+shx).

  2. On donne (E):y''-2y'=x3+y (l'expression des solutions est donnée car l'étudiant ne les connaît pas par cœur apparemment). Montrer que l'ensemble des solutions est un espace affine, donner une base de sa direction et trouver les coordonnées de la solution vérifiant les conditions initiales { y(0)=1 y'(0)=-1. ..

  3. Dans E=C([0,π],) on pose F={fE,f(0)=f(π/2)=f(π)}. et G=vect(cos,sin).

    Montrer que FG=E.

    Réponse pour F+G=E :

    Soit fE, on pose :

    alors f-g est dans F.

5.Espace des polynômes

5.1.Familles échelonnées

On appelle degré d'un polynôme le plus grand exposant non nul, et valuation le plus petit exposant non nul. Exemple, si P(X)=X3+2X4-X5, son degré est 5 tandis que sa valuation est 3.

  1. Montrer qu'une famille polynômes de degrés échelonnés est libre.

  2. Montrer qu'une famille polynômes de valuations échelonnées est libre.

5.2.Exercices divers

  1. On considère {Pn[X]/P(1)=P(2)=0}.. On demande la dimension et une base.

  2. On est dans E=6[X]. On note A=X22[X]+1 et B=6'[X]+X3 deux sous-espaces affines de E, où n'[X] désigne l'espace des polynômes pairs (au sens des fonctions paires) de degré n. Déterminer AB. Déterminer A+B. La formule dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(AB) fonctionne-t-elle dans ce cas (bien que les espaces soient affines et non vectoriels) ?

    Réponse :

5.3.Bases de n[X]

Soient U,V,W les familles de vecteurs de n[X] suivantes :

nom

écriture avec pointillés

écriture générale

U

(1,X,X2,,Xn)

(Xk)k{0,,n}

V

(1,1-X,X-X2,,Xn-1-Xn)

{1}(Xk-1-Xk)k{1,,n}

W

(1,1+X,1+X+X2,1+X+X2++Xn)

(i=0kXi)k{0,,n}

Z

((1-X)n,X(1-X)n-1,,Xn-1(1-X),Xn)

(Xk(1-X)n-k)k{1,,n}

T

(1+Xn,X+Xn,X2+Xn,,Xn-1+Xn,Xn)

(Xk+Xn)k{0,,n}

Montrer que ces familles sont des bases de n[X], et trouver les coordonnées de F(X)=X-X2+8X3 dans chacune de ces bases.

Réponse : Pour les bases, juste voir qu'elles sont de degrés échelonnés (pour U,V,W) ou de valuations échelonnées (pour Z). Pour les coefficients, on trouve :

6.Espace des suites réelles

  1. On note U l'ensemble des suites réelles vérifiant :

    un+2=2un+1-un.

    Déterminer une base B={(αn)n,(nβn)n} de U.

    Trouver les coordonnées dans B de la suite uU vérifiant u0=u1=1.

    Réponse :

  2. On note U l'ensemble des suites réelles vérifiant :

    un+2=3un+1-2un.

    Déterminer une base B={(αn)n,(βn)n} de U.

    Trouver les coordonnées dans B de la suite uU vérifiant u0=u1=1.

7.Bases et dimensions

7.1.Calcul de dimensions

  1. Soient U2 et H2 deux sous-espaces de M2() : le premier contient les matrices de rang 1, et l'autre les homothéties. Donner leur dimension.

    Réponse :

7.2.Divers

  1. Montrer que dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(UV) en utilisant le théorème de la base incomplète.

    Réponse : soit A une base de UV, on la complète en AAU une base de U et en AAV une base de V. Alors AUU\V et AVV\U. De plus AAUAV est libre (car U\V,V\U,UV sont disjoints). Donc AAUAV est une base de UV d'où le résultat en comptant le nombre d'éléments de A,AU,AV.

  2. Généralisation de dim(U+V).

    U,V,W sont des sous-espaces vectoriels d'un espace E de dimension finie.

    1. Montrer que UW+VW(U+V)W.

      Image : prendre W le sol, U une tige et V une racine…

    2. Montrer que dim(U+V+W)dim(U)+dim(V)+dim(W)-dim(UV)-dim(UW)-dim(VW)+dim(UVW).

    3. Examiner enfin le cas où U,V,W sont trois droites vectorielles de 2.

7.3.Hyperplans

  1. Dans un espace de dimension n, montrer que l'intersection de n-1 hyperplans est non réduite à {0} (c'est-à-dire de dimension 1).

    Réponse

    Par récurrrence sur n :

  2. Dans E de dimension n, on considère : H un hyperplan et FH un sous espace. Montrer que dim(FH)=dim(F)-1.

    Réponse : dim(FH)=dim(F)+dim(H)-dim(F+H)n=dim(F)-1.

8.Espaces affines

  1. On se place dans n[X]. On note P={Pn[X]/P(0)=2etP'(0)=1}..

    Est-ce un espace affine ? Direction ? Dimension ?

    Réponse : P=X2n-2[X]direction+2+X de dimension n-1 (c'est un hyperplan affine).