Ev euclidiens

Table des matières

1.Caractérisation des endomorphismes orthogonaux 1

2.Démonstrations plus générales 2

Dans toute cette page, E désigne un espace euclidien (i.e. muni d'un produit scalaire) et de dimension finie.

1.Caractérisation des endomorphismes orthogonaux

Soit fL(n) et soit M la matrice de f dans une b.o.n.

Les propriétés suivantes sont équivalentes se résument par : « f orthogonal ».

  1. (S) f conserve le produit scalaire f(u),f(v)=u,v ;

  2. (I) f conserve la norme (i.e. f est une isométrie) f(u),f(u)=u,u ;

  3. (bon) f conserve les b.o.n. ;

  4. (Cb) Les vecteurs-colonne de M, donc les (C1,C2,,Cn), forment une b.o.n. ;

  5. (Lb) Les vecteurs-ligne de M, donc les (L1,L2,,Ln), forment une b.o.n ;

  6. M×Mt=I ;

  7. Mt×M=I.

Démonstrations :

2.Démonstrations plus générales

  1. Soit fL(E) avec E euclidien, telle que f conserve l'orthogonalité :

    u,vE,uvf(u)f(v).
    1. Calculer u+v,u-v pour u,v unitaires.

    2. Montrer qu'il existe un α>0 tel que pour tout uE, ||f(u)||=α||u||.

    3. En déduire qu'il existe g orthogonale telle que f=αg.

  2. f,g deux rotations qui commutent, u unitaire sur l'axe de f,

    1. Montrer que g(u) est égal à u ou à -u.

      g(u) est invariant par f donc colinéaire à u et de norme 1 donc égal à ±u.

    2. Si g(u)=u montrer que f et g ont le même axe.

      g(u)=u implique que u est sur l'axe de g.

    3. Si g(u)=-u, montrer que les axes de f et de g sont orthogonaux entre eux, puis que f et g sont des retournements.

      Soit v unitaire sur l'axe de g. Alors, comme g conserve le produit scalaire on a u,v=-u,v=0. Ensuite on a g(u)=-u donc g est un retournement puis par un raisonnement symétrique sur f on aboutit à f retournement aussi.

    4. Inversement, si f et g sont des rotations de même axe ou des retournements daxes orthogonaux, montrer que f et g commutent.

      Réponse pour le second point, dans la base (af,ag,b) les matrices sont F=( 1 -1 -1 ) et G=( -1 1 -1 ) qui commutent.

  3. Dans Mn(), on pose A,B=tr(ATB), vérifier que c'est un produit scalaire.

    Soit ΩMn(), on pose φ:MΩM, démontrer que φ orthogonale Ω orthogonale.

    Réponse : φ orthogonale ssi pour tous M,N on a tr(MTΩTΩN)=tr(MTN) ceci peut être vu comme M,ΩTΩN=M,N donc ΩTΩN-N est orthogonal à tout donc est nul, et ce pour tout N, donc ΩTΩ=Id et la réciproque est vraie.

  4. Soit fL(E), où E est euclidien.

    a) montrer que les propriétés suivantes ne sont pas équivalentes ;

    b) montrer que deux des trois propriétés suivantes entraîne l'autre :

    1. f isométrie ;

    2. f2=-Id ;

    3. pour tout xE, on a f(x)x.

    Réponse :

    c) trouver un exemple d'endomorphisme qui vérifie ces trois propriétés.

    Réponse : rotation d'angle π2 dans le plan ou toute matrice (d'ordre pair) par blocs du type :

    ( 0 1 -1 0 0 1 -1 0 ).

  5. u isométrie de E euclidien et v=u-Id.

    1. Montrer que Kerv=(Imv).

    2. On pose un=1n(Id+u+u2++un-1) démontrer que pour tout xE, un(x) converge et dire vers quoi.

    Réponses :

    1. Si xKerv, alors u(x)=x et maintenant soit yE calculons :

      x,v(y) = x,u(y)-x,y = x,u(y)-u(x),u(y) = x-u(x),u(y) = v(x),u(y) = 0,u(y) = 0.

      Ensuite par le théorème du rang on a l'égalité.

    2. On a E=KervImv, alors soit xE, on écrit x=k+i, alors un(x)=k+un(i) mais i=v(z) donc quand on fait (Id+u+u2++un-1)(i) cela se télescope et il reste juste i-un(z) d'où un(x)=k+1n(i-un(z)), or, un(z) est de norme constante d'où un(x) converge vers le projeté orthogonal de x sur Kerv.

    Remarque : on a utilisé deux caractérisations différentes de l'isométrie :

    - dans le (a), le fait que u conserve le produit scalaire ;

    - dans le (b), le fait que u conserve la norme.

  6. Si M est symétrique et vérifie M2=I, que dire de M ?

    réponse : on a MtM=I donc M orthogonale et symétrique M est la matrice d'une symétrie orthogonale.

  7. Soit f un endomorphisme qui conserve l'orthogonalité, c'est-à-dire :

    x,y=0f(x),f(y)=0.

    a) Montrer qu'il existe un α>0 tel que pour tout xE, ||f(x)||=α||x||.

    Réponse : supposer u-v,u+v=0.

    b) Conclure qu'il existe g orthogonal tel que f=αg.

    Réponse : xf(x)α conserve la norme donc est orthogonal.