Valeurs propres et diagonalisation

1.Exercices où ff est particulier

1.1.ff=f

  1. On pose A(X)=X2-32X+7 et fL(n[X]) est définie par :

    f(P) est le reste de la division euclidienne de P par A.

    Montrer que f est bien linéaire, que f2=f et en déduire la diagonalisation de f.

    f(P) est toujours de degré 1 donc f(f(P)) est toujours égal à f(P). De f2=f on tire que X(X-1) annule f donc f diagonalisable. Kerf c'est trivialement An-2[X] et Ker(f-I) c'est R1[X], ensuite on applique le lemme des noyaux : Δ=( 0 0 1 1 ) et P formée des vecteurs A,AX,,AXn-2, X,1.

1.2.ff=Id

  1. On pose Φ:{ n[X]n[X] P(X)XnP(1X). .Montrer que Φ est linéaire et diagonalisable.

    On peut aussi montrer que

    Si l'on sait que Φ symétrique Φ diago c'est évident car :

    MΦ=( 1 1 1 ).

    On peut dire aussi que ΦΦ=Id donc X2-1 annule Φ. On cherche alors les vecteurs propres, on trouve :

2.Considérations autour de fg et gf

  1. fL(E,F) et gL(F,E) avec dimE=n et dimF=p. Est-ce que Sp(fg)=Sp(gf) ?

    Réponse : Les spectres sont les mêmes sauf que si n>p, alors 0 est valeur propre de gf mais pas forcément de fg.

    Un exemple avec n>p serait E=2 et F= et f et g respectivement la surjection et l'injection canoniques.

    On peut profiter de cet exercice pour faire remarquer que si np :

  2. f,gL(E) avec dimE=n. On suppose que fg a n valeurs propres distinctes, montrer que gf est diagonalisable.

    fg et gf ont les mêmes valeurs propres non nulles, et 0Sp(fg)0Sp(gf). Donc gf a aussi n valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable.

    Remarque on peut aussi utiliser χfg=χgf qui se démontre avec f inversible puis par densité de GL(E) dans L(E).

3.Divers

  1. φ:{ n[X]n[X] P(X2-1)P''(X)+(2X+1)P'(X) . est-elle diago ?

    Réponse :

    Mφ=( 0 1 -2 2 2 2+22 n-n2 n n+n2 ),

    donc φ diago.

  2. Résoudre M3=( 3 0 0 -5 2 0 4 0 1 ) dans M3().

    Réponse : M=PDP-1=( 1 -5 1 2 0 1 )( 3 2 1 )( 1 5 1 -2 0 1 ), on résoud Δ3=D, avec Δ et D qui commutent donc simultanément diagonalisables, et au final on trouve :

    M=( ε33 -5ε33+5ε22 ε22 2ε33-2ε1 0 ε1 ).

  3. A=(ij)i,j est-elle diagonalisable ?

    Réponse : rgA=1 et trA=n donc A( 0 0 n ).

  4. MGLn() vérifie M2 diagonalisable. Montrer que M est diagonalisable.

    Réponse : Il y a un Π(X-λi) qui annule M. Si l'on choisit μk tel que (μk)2=λk, alors on a un Π(X-μi)(X+μi) qui est donc scindé et qui annule M donc M diagonalisable.

    Remarque : si l'on pouvait avoir λi=0 ça ne marcherait pas.

  5. M(z)=( 0 z z 1 0 z 1 1 0 ) est-elle diagonalisable ? (discuter suivant z).

    Réponse : On trouve déjà Χn(X)=X3+zX+z2+z ou -X3+

  6. A=( a1 a2 an-1 an ). Donner une CNS sur (a1,a2,,an) pour que A soit diagonalisable sur .

    Réponse : les (ei,en-i) sont stables par A et A y a pour matrice ( 0 ai an-i 0 ) donc A est diagonalisable ssi les (ai,an-i) sont toujours tous deux simultanément soit nuls soit non nuls, c'est-à-dire si la matrice a une certaine « symétrie » relative aux zéros.

  7. On donne b, P=[X] et fL(n) avec fbI.

    On suppose que (f-bI)3=0.

    1. montrer que f n'est pas diagonalisable ;

    2. montrer que P(f) inversible P(b) non nul.

    a. évident, et b. : si λ est valeur propre associée à x alors (λ-b)3=0 donc λ=b. Ainsi, b est la seule valeur propre. On peut trigonaliser et c'est trivial car il n'y aura que des P(b) sur la diagonale.

  8. AMn() telle que An=I et (I,A,A2,,An-1) libre. Montrer que trA=0.

    Réponse : Xn-1 annule A (donc A diago) ce qui ne veut pas dire que Xn-1 est le polynôme minimal, mais le terme en Xn-1 de χA(X) est toujours trA.

    On écrit alors comme toujours : χA(A)=0=An+trA×An-1+an-1An-2++a1A+a0I.

    Or, An=I donc la liberté permet de conclure à la nullité des coefficients dont trA.