Applications linéaires

Table des matières

1.Ker, Im, , rangs 1

1.Divers 1

2.Exercices où KerfImf=E 2

2.Autour de uv et/ou vu 2

3.Nilpotents 3

4.Projecteurs 4

4.1.Généralités 4

4.2.Application tierce à partir de deux projecteurs 4

4.2.1.Divers 4

4.2.2.L'application c=pq-qp 4

4.2.3.L'application r=p+q-pq 5

4.3.Expressions analytiques ou numérique de projecteurs 5

4.3.1.

Dans 2

5

4.3.2.Dans 3 5

4.3.3.Dans d'autres espaces 6

5.Polynômes d'applications 6

5.1.Calculs naïfs 6

6.Applications dans [X] 6

6.0.1.Principe de factorisation 6

6.0.2.fa:P(X2-1)P'-aXP 6

6.0.3.Polynômes s'annulant quelque part 7

7.Spectre dans des espaces divers 8

7.1.Dans les espaces de fonctions 8

7.1.1.Opérateur f1x0xf(t)dt 8

7.2.Dans les espaces de suites 8

1.Ker, Im, , rangs

1.Divers

  1. Montrer que u(Ker(vu))=KervImu.

  2. u,vL(X), on suppose que { uvu=u (1) vuv=v. (2) . Montrer que E=KeruImv.

    évidente avec (1), pour + on fait x=x-vu(x)+vu(x) et on utilise (2).

  3. On suppose que uv=w, vw=u, wu=v :

    1. Montrer que u,v,w ont même noyau, même image.

      Partir de l'inclusion KeruKervu et faire tourner. Recommencer avec ImfgImf

    2. Montrer que u2=v2=w2.

      Elles sont toutes égales à wvu (rappel : (wv)u=w(vu)).

    3. Montrer que u,v,w vérifient l'équation f5=f.

      Remplacer et bidouiller…

    4. Montrer que E=KeruImu, et de même pour v,w.

      Pour l'intersection, utiliser u=u5 et pour la somme écrire x=x-u4(x)+u4(x).

    5. Montrer que Imu est stable par u,v,w.

      Imu stable par u évidemment, et vu que Imu=Imv=Imw

    6. Montrer que sur Imu, les endomorphismes u,v,w sont bijectifs.

      Pour l'injectivité, utiliser ImuKeru={0} et pour la surjectivité, utiliser u5=u.

  4. Soit f:{ zz+az ., avec a fixé.

    1. f est-il un -morphisme ? un -morphisme ?

    2. Déterminer Kerf et Imf.

    Réponses :

  5. Montrer que |rgu-rgv|rg(u+v)rg(u)+rg(v).

    Réponse :

  6. Soient a,bE, existe-t-il toujours une fL(E) telle que f(a)=b ?

    Oui, considérer E=vect(a,b)G et prendre f(a)=b et f(b) quelconque et f|G|=IdG.

2.Exercices où KerfImf=E

  1. Toute application linéaire f vérifie-t-elle l'égalité E=KerfImf ?

    Réponse : Non ! Prendre PP' ou bien prendre f:(e1,e2)(0,e1) dans 2.

  2. fL(E) non inversible vérifie (1)f3-2af2+a2f=0 pour un certain a𝕂. Montrer que E=ImfKerf.

    Réponse : soient x=f(y) avec f(x)=0. Appliquons (1) à y : on trouve x=0. Le théorème du rang permet de conclure.

  3. Soit fL(E) telle que E=KerfImf.

    1. Montrer que Ker(f2)=Ker(f)et Im(f2)=Im(f).

    a. Soit xKerf2 et y=f(x) alors il existe une décomposition y=k+i donc f(y)=f(i)=f2(z)=0

    Soit yIm(f) alors y=f(z) écrivons z=k+i alors f(z)=f(i)=f(f(u)).

    On remarquera que les démos utilisent seulement E=Kerf+Imf.

2.Autour de uv et/ou vu

Soient u,v deux endomorphismes de n ou de E avec dimE=n.

Trier les exercices qui nécessitent dimE=n et ceux qui ne le nécessitent pas.

  1. .Montrer que si λ0 alors λSp(uv)λSp(vu).

    Réponse :

    Soit un x0 tel que u(v(x))=λx (ce qui implique v(x)0), alors on a vu(v(x))=λv(x).

  2. Montrer que uv inversible implique vu inversible.

    Cet exercice est équivalent à :

    « Montrer que 0Sp(uv)0Sp(vu). »

    Il suffit de démontrer que uv inversible implique u et v inversibles (exercice suivant).

  3. Montrer que uv inversible implique u et v inversibles.

    1. par la contraposée :

      si v non inversible alors x0/v(x)=0 d'où uv(x)=0 d'où uv non inversible.

      si v inversible mais u non inversible, alors x0/u(x)=0 d'où uv(v-1(x))=0 d'où uv non inversible.

    2. par les Im et Ker :

      On a toujours KervKeruv et ImuvImu d'où uv bijective implique :

      • v injective donc bijective ;

      • u surjective donc bijective.

  4. À propos de l'exercice 3b

    Trouver un exemple concret de u,v dans un espace de dimension n vérifiant KervKeruv et ImuvImu.

    Dans 2[X], prendre v:aX2+bX+caX2+c et u:PP'.

  5. On suppose que uv=vu, montrer que Keru et Imu sont stables par v.

  6. Montrer qu'on a toujours :

  7. Parmi les 4 inclusions suivantes, l'une est toujours vraie, la montrer, et donner des contre exemples pour les autres :

    1. Ker(uv)Ker(u) ;

    2. Ker(uv)Ker(v) ;

    3. Ker(u)Ker(uv) ; non, prendre v=0

    4. Ker(v)Ker(uv) évidente.

  8. Soit fL(E) telle que xE, f(x) et x sont colinéaires. Montrer que f est une homothétie, en déduire le centre de L(E).

    Réponse : pour (x,y) libre on a f(x+y)=λx+yx+λx+yy=λxx+λyy d'où, par définition de la liberté, λx+y=λx=λy. Soit donc un x00E fixé, alors pour tout xE, on a f(x)=λx0x.

    Soit maintenant g telle que fL(E), fg=gf, soient xE et s la symétrie par rapport à vect(x), alors s(g(x))=g(x) donc g(x) colinéaire à x, ainsi g est une homothétie.

3.Nilpotents

  1. Dans n, on suppose un=0 et un-10, montrer que x0E/(x0,u(x0),,un-1(x0)) soit libre. Montrer que cette famille est une base et écrire la matrice de u dans cette base. Rang de un-1 ?

  2. On suppose u nilpotent d'ordre p, montrer que I-u est inversible et préciser son inverse.

    Réponse : si un=0, alors (I-u)(I+u+u2++un-1)=I.

4.Projecteurs

Note 1. p2=p peut être représenté métaphoriquement par l'expression :

ce qui est tombé par terre ne tombera pas plus bas.

Note 2. Image d'un projecteur simple : l'ombre à midi d'un arbre qui penche. Ker = les arbres droits, Im = les arbres couchés. Seul le mort est égal à son ombre.

4.1.Généralités

  1. Questions simples :

    1. Si p est un projecteur, pour quelles valeurs de λ𝕂 a-t-on λp projecteur ?

    2. Contre exemples

      f est-il nécessairement un projecteur, sachant que (les questions sont indépendantes) :

      1. E=kerfImf

      2. f2 est un projecteur.

      Chercher des f(x)=λx

  2. Propriétés simples des projecteurs

    1. Si p projecteur, montrer que Imp=Ker(I-p) et que E=KerpKer(I-p).

    2. Montrer que p projecteur I-p projecteur.

  3. L'ensemble des projecteurs

    1. L'ensemble des projecteurs de L(E) est-il un sous-espace vectoriel de L(E) ?

      Non : on sait que p2=p n'implique pas (λp)2=λp (sauf λ=0 ou 1).

    2. Dans 3, l'ensemble des projecteurs sur le plan z=0 est-il stable par addition ?

      Réponse : si p et q sont deux tels projecteurs, pq=q et qp=p (puisque p|Imq=Id|Imq). Donc on a vite fait de voir que (p+q)2=2(p+q).

4.2.Application tierce à partir de deux projecteurs

4.2.1.Divers

  1. Produits de projecteurs :

    1. Si p et pq sont des projecteurs, montrer que pqp l'est aussi.

    2. Si p,q sont des projecteurs qui commutent, montrer que pq est un projecteur, que Impq=ImpImq et que Kerpq=Kerp+Kerq.

    3. Si p(x,y)=(x,0) et q(x,y)=(y,x) dans 2, montrer que p et pqp sont des projecteurs, mais pas pq.

    4. Si p(x,y)=(x,0) et q(x,y)=(0,x) dans 2, montrer que p et pqp sont des projecteurs, mais pas qp.

    5. Si p(x,y)=(y,x) et q(x,y)=(0,x) dans 2, montrer que pq est un projecteur, mais ni p, ni q, ni pqp.

4.2.2.L'application c=pq-qp

Dans tout ce paragraphe, on considère p,q deux projecteurs, et l'on pose c=pq-qp.

  1. Montrer que pq projecteur ssi c(Imq)Kerp.

    Cela revient à montrer que pqpq=pqpcq=0 or pcq=pq-(pq)2

    On supposera pour la suite que pq est un projecteur.

  2. Montrer que Im(pq)=(Kerp+Imq)Imp.

    Pour on peut écrire pq(z)=pq(z)-q(z)+q(z).

  3. Montrer que Ker(pq)=q-1(Kerp).

    xKer(pq)q(x)Kerpxq-1(Kerp).

  4. Montrer que Ker(pq)=(KerpImq)Kerq.

4.2.3.L'application r=p+q-pq

Dans tout ce paragraphe, on considère p,q deux projecteurs, et l'on pose r=p+q-pq.

  1. On suppose que qp=0 (c'est-à-dire ImpKerq).

    1. Montrer que r est un projecteur et que Kerr=KerpKerq.

      Écrire r(x)=0 et appliquer p ou q de chaque côté.

    2. Montrer que Imr=ImpImq.

4.3.Expressions analytiques ou numérique de projecteurs

4.3.1.

Dans 2

  1. Expression dans 2 du projecteur sur D:x=y suivant u(a,b) avec ab.

    Réponse : p((x,y))=(x,y)+λx,yu donc on doit résoudre x+λa=y+λbλ=y-xa-b d'où finalement :

    p((x,y))=(x+y-xa-ba,y+y-xa-bb),

    soit une matrice :

    Mp=1a-b( -b a -b a ),

    on vérifie que M2=M.

  2. On pose a et k, puis, dans 2, on pose D:y=ax et u(1,a+1k). Déterminer l'expression du projecteur sur D parallèlement à u.

    Réponse :

    p(x,y)=(x,y)+λ(1,a+1k) et p(x,y)D d'où y+λ(a+1k)=a(x+λ) d'où :

    λ = k(ax-y),

    d'où ensuite :

    p(x,y) = (x,y)+k(ax-y)(1,a+1k) = (x+kax-ky,ka2x+ax-kay).

    Ainsi, le projecteur a pour matrice :

    P=( 1+ak -k a(1+ak) -ak ).

4.3.2.Dans 3

  1. Expression du projecteur sur P:x+2y+z=0 parallèlement à D portée par u(1;1;1).

    Réponse : on trouve

    M=14( 3 -2 -1 -1 2 -1 -1 -2 3 ).

  2. Généralisation de la question précédente

    Projecteur sur P:ax+by+cz=0 parallèlement à u(u,v,w).

    Réponse en posant n(a,b,c) :

    M=I3-1nu(tun),

    soit :

    M=I3-1au+bv+cw( au bu cu av bv cv aw bw cw ).

4.3.3.Dans d'autres espaces

  1. Dans 5[X], on pose F=4[X] et U=X5+X2+X et on demande :

    1. le projeté de P(X)=aX5+bX4+cX3 sur F parallèlement à U.

    2. le projeté de P(X)=aX5+bX4+cX3 sur U parallèlement à F.

      Matrice :

      ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 )

5.Polynômes d'applications

5.1.Calculs naïfs

  1. On suppose que (u-I)2=0, déterminer u-1 et un s'ils existent.

    On passe par les suites arithmético-géométriques d'où f2-I=2(f-I) d'où :

    fn-I=2n-1(f-I).

6.Applications dans [X]

6.0.1.Principe de factorisation

On sera amené à utiliser la propriété :

[P(μ)=0P se factorise par(X-μ)] (1)

Elle se démontre :

  • à l'aide de la division euclidienne en divisant P(X) par (X-μ) ;

  • ou en factorisant directement P(X) par (X-μ) à l'aide de an-bn=(a-b).

6.0.2.fa:P(X2-1)P'-aXP

Dans E=[X], on considère pour tout a l'application fa:P(X2-1)P'-aXP.

  1. Montrer que fa est un morphisme.

  2. f1 et f2 sont-elles injectives ? Et f3 ? Et fn ?

Réponses

Si le terme de plus haut degré de P est Xn, alors le terme de plus haut degré de fa(P) est (n-a)Xn si toutefois n-a n'est pas nul. Donc :

Cas général :

Si n3 et P(X)=k=0nakXk, alors P est dans le noyau ssi :

{ a1 = 0 aa0+2a2 = 0 (1-a)a1 = 3a3 (2-a)a2 = 4a4 ((n-2)-a)an-2 = nan (n-1-a)an-1 = 0 (n-a)an = 0 .

Déjà, donc,

si a, fa est injective
car de proche en proche tous les ai sont nuls.

Supposons donc que a et a3
.

Pour traquer d'éventuels éléments de Kerfa, il va donc falloir prendre n=a.

On prendra alors an0 mais an-1=0.

6.0.3.Polynômes s'annulant quelque part

a,b,c trois réels distincts et E l'ensemble des polynomes P de degré 5 tels que :

P(a)=P(b)=P(c)=0.

Montrer que E est un espace vectoriel, et montrer, de plusieurs façons différentes, qu'il est de dimension 3 :

  1. par le principe de factorisation () en considérant Φ:{ 2[X]E P(X)(X-a)(X-b)(X-c)P(X) . ;

  2. en considérant Ψ:{ E3 P(X)(P(a),P(b),P(c)) ..

Réponse :

E est clairement un sous-espace de 5[X] car la propriété est stable par combinaison linéaire.

Pour la dimension :

  1. Tout PE s'écrit P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)Q(X) avec Q=2.

    Et KerΦ=0 car on aurait un polynôme à une infinité de racines réelles.

  2. KerΨ=E et on applique le théorème du rang.

    Pour prouver que Ψ est surjective utiliser les polynômes de Lagrange.

7.Spectre dans des espaces divers

7.1.Dans les espaces de fonctions

7.1.1.Opérateur f1x0xf(t)dt

  1. On pose E=C([0,1]) l'espace des fonctions continues sur [0,1]. Soit :

    Φ:{ EE fF, .

    F est définie par :

    F(x)={ 1x0xf(t)dt si x]0,1] f(0) si x=0. .
    1. Vérifier que FE, et que Φ est un morphisme.

    2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ.

    Réponses : il faut résoudre y=λ1-λxf' donc :

7.2.Dans les espaces de suites

  1. Soit fL() définie par (f(u))n=u1+2u2++nunn2, déterminer le spectre de f.

    Réponse : en prenant une suite vérifiant u1==up=0 et up+10, on peut construire un vecteur propre pour λ=1n.

    Inversement, soit λSp(f), soit p le plus petit entier tel que u1==up=0 et up+10, on a alors forcément λ=1p.

    Ainsi, Sp(f)={1n,n}.