Applications linéaires

Table des matières

1.Ker, Im, , rangs 1

1.Définition d'une app linéaire 1

2.Divers 1

3.Exercices où KerfImf=E 2

2.Autour de uv et/ou vu 3

2.1.Inclusions 3

2.2.Comparaison de uv et vu 3

3.Nilpotents 4

4.Projecteurs 4

4.1.Généralités 4

4.2.Application tierce à partir de deux projecteurs 4

4.2.1.Divers 4

4.2.2.L'application c=pq-qp 5

4.2.3.L'application r=p+q-pq 5

4.3.Expressions analytiques ou numérique de projecteurs 5

4.3.1.

Dans 2

5

4.3.2.Dans 3 5

4.3.3.Dans d'autres espaces 6

5.Polynômes d'applications 6

5.1.Divers 6

6.Applications dans [X] 6

6.0.1.fa:P(X2-1)P'-aXP 6

Réponses 7

6.0.2.φ(P)(x)=ex×x+P(t)e-tdt 7

6.0.3.Polynômes s'annulant quelque part 8

7.Spectre dans des espaces divers 8

7.1.Dans les espaces de fonctions 8

7.1.1.Opérateur f1x0xf(t)dt 8

7.2.Dans les espaces de suites 8

1.Ker, Im, , rangs

1.Définition d'une app linéaire

  1. Soit f:[X] qui à un polynôme P(X)=i=0naiXi associe le coefficient de son terme de plus haut degré an. L'application f est-elle linéaire ?

    Réponse : non, la somme ne marche pas f(X+1)=1 et f(X)+f(1)=1+1=2.

2.Divers

  1. Montrer que u(Ker(vu))=KervImu.

  2. On suppose que { uvu=u (1) vuv=v. (2) . Montrer que E=KeruImv.

    évidente avec (2), pour + on fait x=x-vu(x)+vu(x) et on utilise (1).

  3. On suppose que uv=w, vw=u, wu=v :

    1. Montrer que u,v,w ont même noyau, même image.

      Partir de l'inclusion KeruKervu et faire tourner. Recommencer avec ImfgImf

    2. Montrer que u2=v2=w2.

      Elles sont toutes égales à wvu (rappel : (wv)u=w(vu)).

    3. Montrer que u,v,w vérifient l'équation f5=f.

      Remplacer et bidouiller…

    4. Montrer que E=KeruImu, et de même pour v,w.

      Pour l'intersection, utiliser u=u5 et pour la somme écrire x=x-u4(x)+u4(x).

    5. Montrer que Imu est stable par u,v,w.

      Imu stable par u évidemment, et vu que Imu=Imv=Imw

    6. Montrer que sur Imu, les endomorphismes u,v,w sont bijectifs.

      Pour l'injectivité, utiliser ImuKeru={0} et pour la surjectivité, utiliser u5=u.

  4. Soit f:{ zz-az ., avec a fixé.

    1. f est-il un -morphisme ? un -morphisme ?

    2. Déterminer Kerf et Imf.

    Réponses :

  5. Montrer que |rgu-rgv|rg(u+v)rg(u)+rg(v).

    Réponse :

  6. Soient a,bE, existe-t-il toujours une fGL(E) telle que f(a)=b ?

    Oui, considérer E=vect(a,b)G et prendre f(a)=b et f(b)=a et f|G|=IdG.

3.Exercices où KerfImf=E

  1. Toute application linéaire f vérifie-t-elle l'égalité E=KerfImf ?

    Réponse : Non ! Prendre PP' ou bien prendre f:(e1,e2)(0,e1) dans 2.

  2. fL(E) non inversible vérifie (1)f3-2af2+a2f=0 pour un certain a𝕂.

    Montrer que E=ImfKerf.

    Réponse :

  3. Lien entre les trois propriétés :

    Questions (ex 64 banque CCP MP 2018) :

    1. Supposons E quelconque et E=KerfImf.

      Montrer que Ker(f2)=Ker(f)et Im(f2)=Im(f).

    2. Supposons que dimE<.

      1. Montrer que Ker(f2)=Ker(f)Im(f2)=Im(f).

      2. Montrer que Ker(f2)=Ker(f)E=KerfImf.

    3. Contre exemple en dimension infinie, prendre E=[X] et f(P)=XP(X)+P(0).

    a. Soit xKerf2 et y=f(x) alors il existe une décomposition y=k+i donc f(y)=f(i)=f2(z)=0

    Soit yIm(f) alors y=f(z) écrivons z=k+i alors f(z)=f(i)=f(f(u)).

    On remarquera que les démos utilisent seulement E=Kerf+Imf.

    b.i. C'est la formule du rang.

    b.ii. Si xKerfImf, alors x=f(y) et f2(y)=0 donc yKerf2=Kerf d'où x=f(y)=0. Ensuite, la formule du rang permet de conclure.

    c. On a Im(f)=Im(f2)={P=i=0naiXi[X]/a0=a1} et Ker(f2)={0} mais Kerf+ImfE.

  4. (ex 60 banque CCP MP 2018)

    A=( 1 2 2 4 ) et f:{ M2()M2() MAM ..

    1. Déterminer Kerf et Imf.Est-ce que M2()=KerfImf ?

    Réponses :

    a. Kerf=vect(C,D) avec C=( 2 0 -1 0 ) et D=( 0 2 0 -1 ).

    rgf=2 et l'on trouve par exemple Imf=vect(K,L) avec K=( 1 0 2 0 ) et L=( 1 0 2 0 ).

    b. Oui car (C,D,K,L) est libre.

2.Autour de uv et/ou vu

Soient u,v deux endomorphismes de n ou de E avec dimE=n.

Trier les exercices qui nécessitent dimE=n et ceux qui ne le nécessitent pas.

2.1.Inclusions

  1. Parmi les 4 inclusions suivantes, l'une est toujours vraie, la montrer, et donner des contre exemples pour les autres :

    1. Ker(uv)Ker(u) ;

    2. Ker(uv)Ker(v) ; non, prendre u=0

    3. Ker(u)Ker(uv) ; non, prendre v(e2)=-v(e1) et u(e1)=u(e2)

    4. Ker(v)Ker(uv) évidente.

  2. du a) Montrer qu'on a toujours :

    b) Trouver un exemple concret de u,v dans un espace de dimension n vérifiant KervKeruv et ImuvImu.

    Dans 2[X], prendre v:aX2+bX+caX2+c et u:PP'.

2.2.Comparaison de uv et vu

  1. Montrer que si λ0 alors λSp(uv)λSp(vu).

    Réponse :

    Soit x0 tel que u(v(x))=λx (ce qui implique v(x)0), alors on a vu(v(x))=λv(x).

  2. Montrer que uv inversible implique vu inversible.

    Cet exercice est équivalent à :

    « Montrer que 0Sp(uv)0Sp(vu). »

    Il suffit de démontrer que uv inversible implique u et v inversibles (exercice suivant).

  3. Montrer que uv inversible implique u et v inversibles.

    1. par la contraposée :

      si v non inversible alors x0/v(x)=0 d'où uv(x)=0 d'où uv non inversible.

      si v inversible mais u non inversible, alors x0/u(x)=0 d'où uv(v-1(x))=0 d'où uv non inversible.

    2. <label|kervkeruv>par les Im et Ker :

      On a toujours (exo 2 du 2.1) : KervKeruv et ImuvImu d'où uv bijective implique :

      • v injective donc bijective ;

      • u surjective donc bijective.

  4. On suppose que uv=vu, montrer que Keru et Imu sont stables par v.

  5. Soit fL(E) telle que xE, f(x) et x sont colinéaires. Montrer que f est une homothétie, en déduire le centre de L(E).

    Réponse : pour (x,y) libre on a f(x+y)=λx+yx+λx+yy=λxx+λyy d'où, par définition de la liberté, λx+y=λx=λy. Soit donc un x00E fixé, alors pour tout xE, on a f(x)=λx0x.

    Soit maintenant g telle que fL(E), fg=gf, soient xE et s la symétrie par rapport à vect(x), alors s(g(x))=g(x) donc g(x) colinéaire à x, ainsi g est une homothétie.

3.Nilpotents

  1. Dans n, on suppose un=0 et un-10, montrer que x0E/(x0,u(x0),,un-1(x0)) soit libre. Montrer que cette famille est une base et écrire la matrice de u dans cette base. Rang de un-1 ?

  2. On suppose u nilpotent d'ordre p, montrer que I-u est inversible et préciser son inverse.

    Réponse : si un=0, alors (I-u)(I+u+u2++un-1)=I.

4.Projecteurs

Note 1. p2=p peut être représenté métaphoriquement par l'expression :

ce qui est tombé par terre ne tombera pas plus bas.

Note 2. Image d'un projecteur orthogonal : l'ombre à midi d'un arbre qui penche. Ker = les arbres droits, Im = les arbres couchés. Seul le mort est égal à son ombre.

4.1.Généralités

  1. Questions simples :

    1. Si p est un projecteur, pour quelles valeurs de λ𝕂 a-t-on λp projecteur ?

    2. Contre exemples

      f est-il nécessairement un projecteur, sachant que (les questions sont indépendantes) :

      1. E=kerfImf

      2. f2 est un projecteur.

      Chercher des f(x)=λx

  2. Propriétés simples des projecteurs

    1. Si p projecteur, montrer que Imp=Ker(I-p) et que E=KerpKer(I-p).

    2. Montrer que p projecteur I-p projecteur.

  3. L'ensemble des projecteurs

    1. L'ensemble des projecteurs de L(E) est-il un sous-espace vectoriel de L(E) ?

      Non : on sait que p2=p n'implique pas (λp)2=λp (sauf λ=0 ou 1).

    2. Dans 3, l'ensemble des projecteurs sur le plan z=0 est-il stable par addition ?

      Réponse : si p et q sont deux tels projecteurs, pq=q et qp=p (puisque p|Imq=Id|Imq). Donc on a vite fait de voir que (p+q)2=2(p+q).

4.2.Application tierce à partir de deux projecteurs

4.2.1.Divers

  1. Produits de projecteurs :

    1. Si p et pq sont des projecteurs, montrer que pqp l'est aussi.

    2. Si p,q sont des projecteurs qui commutent, montrer que pq est un projecteur, que Impq=ImpImq et que Kerpq=Kerp+Kerq.

    3. Si p(x,y)=(x,0) et q(x,y)=(y,x) dans 2, montrer que p et pqp sont des projecteurs, mais pas pq.

    4. Si p(x,y)=(x,0) et q(x,y)=(0,x) dans 2, montrer que p et pqp sont des projecteurs, mais pas qp.

    5. Si p(x,y)=(y,x) et q(x,y)=(0,x) dans 2, montrer que pq est un projecteur, mais ni p, ni q, ni pqp.

4.2.2.L'application c=pq-qp

Dans tout ce paragraphe, on considère p,q deux projecteurs, et l'on pose c=pq-qp.

  1. Montrer que pq projecteur ssi c(Imq)Kerp.

    Cela revient à montrer que pqpq=pqpcq=0 or pcq=pq-(pq)2

    On supposera pour la suite que pq est un projecteur.

  2. Montrer que Im(pq)=(Kerp+Imq)Imp.

    Pour on peut écrire pq(z)=pq(z)-q(z)+q(z).

  3. Montrer que Ker(pq)=q-1(Kerp).

    xKer(pq)q(x)Kerpxq-1(Kerp).

  4. Montrer que Ker(pq)=(KerpImq)Kerq.

4.2.3.L'application r=p+q-pq

Dans tout ce paragraphe, on considère p,q deux projecteurs, et l'on pose r=p+q-pq.

  1. On suppose que qp=0 (c'est-à-dire ImpKerq).

    1. Montrer que r est un projecteur et que Kerr=KerpKerq.

      Écrire r(x)=0 et appliquer p ou q de chaque côté.

    2. Montrer que Imr=ImpImq.

4.3.Expressions analytiques ou numérique de projecteurs

4.3.1.

Dans 2

  1. Expression dans 2 du projecteur sur D:x=y suivant u(a,b) avec ab.

    Réponse : p((x,y))=(x,y)+λx,yu donc on doit résoudre x+λa=y+λbλ=y-xa-b d'où finalement :

    p((x,y))=(x+y-xa-ba,y+y-xa-bb),

    soit une matrice :

    Mp=1a-b( -b a -b a ),

    on vérifie que M2=M.

  2. On pose a et k, puis, dans 2, on pose D:y=ax et u(1,a+1k). Déterminer l'expression du projecteur sur D parallèlement à u.

    Réponse :

    p(x,y)=(x,y)+λ(1,a+1k) et p(x,y)D d'où y+λ(a+1k)=a(x+λ) d'où :

    λ = k(ax-y),

    d'où ensuite :

    p(x,y) = (x,y)+k(ax-y)(1,a+1k) = (x+kax-ky,ka2x+ax-kay).

    Ainsi, le projecteur a pour matrice :

    P=( 1+ak -k a(1+ak) -ak ).

4.3.2.Dans 3

  1. Expression du projecteur sur P:x+2y+z=0 parallèlement à D portée par u(1;1;1).

    Réponse : on trouve

    M=14( 3 -2 -1 -1 2 -1 -1 -2 3 ).

  2. Généralisation de la question précédente

    Projecteur sur P:ax+by+cz=0 parallèlement à u(u,v,w).

    Réponse en posant n(a,b,c) :

    M=I3-1nu(tun),

    soit :

    M=I3-1au+bv+cw( au bu cu av bv cv aw bw cw ).

4.3.3.Dans d'autres espaces

  1. Dans 5[X], on pose F=4[X] et U=X5+X2+X et on demande :

    1. le projeté de P(X)=aX5+bX4+cX3 sur F parallèlement à U.

    2. le projeté de P(X)=aX5+bX4+cX3 sur U parallèlement à F.

      Matrice :

      ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 )

5.Polynômes d'applications

5.1.Divers

  1. On suppose que (u-I)2=0, déterminer u-1 et un s'ils existent.

    On passe par les suites arithmético-géométriques d'où f2-I=2(f-I) d'où :

    fn-I=2n-1(f-I).

  2. Soit fL(E)E est un -ev de dimension quelconque. On suppose que f2-f-2I=0.

    1. f est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.

    2. Démontrer que E=Ker(I+I)Ker(I-2I).

    3. Démontrer que si dimE<, on a Im(f+I)=Ker(f-2I).

    4. Le c. reste-t-il vrai en dimension infinie ?

      Remarque : on a aussi bien sûr Im(f-2I)=Ker(f+I).

    Réponse : f-1=12(f-I) puis le b. peut se faire sans le lemme des noyaux, pour le + il faut raisonner par analyse/synthèse en écrivant g=u+v donc f(g)=-u+2v et par système on trouve u et v et on vérifie. Pour le c., ça passe tout seul avec la formule du rang, et, pour le d., reprendre la décomposition g=2g-f(g)3+f(g)+g3 établie dans le b.

6.Applications dans [X]

6.0.1.fa:P(X2-1)P'-aXP

Dans E=[X], on considère pour tout a l'application fa:P(X2-1)P'-aXP.

  1. Montrer que fa est un morphisme.

  2. f1 et f2 sont-elles injectives ? Et f3 ? Et fn ?

Réponses

Si le terme de plus haut degré de P est Xn, alors le terme de plus haut degré de fa(P) est (n-a)Xn+1 si toutefois n-a n'est pas nul. Donc :

Cas général :

Si n3 et P(X)=k=0nakXk, alors P est dans le noyau ssi :

{ a1 = 0 aa0+2a2 = 0 (1-a)a1 = 3a3 (2-a)a2 = 4a4 ((n-2)-a)an-2 = nan (n-1-a)an-1 = 0 (n-a)an = 0 .

Déjà, donc,

si a, fa est injective
car de proche en proche tous les ai sont nuls.

Supposons donc que a et a3
.

Pour traquer d'éventuels éléments de Kerfa, il va donc falloir prendre n=a.

On prendra alors an0 mais an-1=0.

6.0.2.φ(P)(x)=ex×x+P(t)e-tdt

d'après ESCP 2007

On définit φ:n[X]n[X] qui à un polynôme P associe le polynôme défini pour tout réel x par :

φ(P)(x)=ex×x+P(t)e-tdt.
  1. a) Vérifier que φ est bien définie, et que c'est un morphisme.

    b)Montrer que φ(P) est de même degré que P.

  2. Déterminer Kerφ et Imφ.

  3. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de φ.

  4. Calculer φ(P-P').

1) Récurrence et IPP

2) On dérive l'intégrale et on a très vite φ injective ou alors on regarde le terme de plus haut degré et on utilise l'IPP.

3) On dérive on a λP'=(λ-1)P d'où λ=1 et P constant.

4) φ(P-P')=P donc φ est la réciproque de ψ:PP-P'.

6.0.3.Polynômes s'annulant quelque part

a,b,c trois réels distincts et E l'ensemble des polynomes P de degré 5 tels que :

P(a)=P(b)=P(c)=0.

Montrer que E est un espace vectoriel, et montrer, de plusieurs façons différentes, qu'il est de dimension 3 :

  1. par le principe de factorisation en considérant Φ:{ 2[X]E P(X)(X-a)(X-b)(X-c)P(X) . ;

  2. en considérant Ψ:{ E3 P(X)(P(a),P(b),P(c)) ..

Réponse :

E est clairement un sous-espace de 5[X] car la propriété est stable par combinaison linéaire.

Pour la dimension :

  1. Tout PE s'écrit P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)Q(X) avec Q=2.

    Et KerΦ=0 car on aurait un polynôme à une infinité de racines réelles.

  2. KerΨ=E et on applique le théorème du rang.

    Pour prouver que Ψ est surjective utiliser les polynômes de Lagrange.

7.Spectre dans des espaces divers

7.1.Dans les espaces de fonctions

7.1.1.Opérateur f1x0xf(t)dt

  1. On pose E=C([0,1]) l'espace des fonctions continues sur [0,1]. Soit :

    Φ:{ EE fF, .

    F est définie par :

    F(x)={ 1x0xf(t)dt si x]0,1] f(0) si x=0. .
    1. Vérifier que FE, et que Φ est un morphisme.

    2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ.

    Réponses : il faut résoudre y=λ1-λxf' donc :

7.2.Dans les espaces de suites

  1. Soit fL() définie par (f(u))n=u1+2u2++nunn2, déterminer le spectre de f.

    Réponse : en prenant une suite vérifiant u1==up=0 et up+10, on peut construire un vecteur propre pour λ=1n.

    Inversement, soit λSp(f), soit p le plus petit entier tel que u1==up=0 et up+10, on a alors forcément λ=1p.

    Ainsi, Sp(f)={1n,n}.