Champs de vecteurs

Table des matières

1.rot, grad, div, Δ 1

1.1.Rappels de cours 1

1.2.Exercices 1

2.Green Riemann 1

2.1.Rappels de cours 1

2.2.Exercices 2

1.rot, grad, div, Δ

1.1.Rappels de cours

Formules importantes :

rot(gradf)=0

divgradf=Δf

div(rotE)=0.

1.2.Exercices

  1. Champs de gradient et de rotationnel :

    1. Y=( y2z 2yz(x+1) 12z(xy2+y2) ) est-il un champ de gradient ? Lequel ?

      Réponse : rotY=0 puis l'on trouve Y=gradw avec w(x,y,z)=(x+1)y2z.

    2. Z=( xz-x -yz z-x ) est-il un champ de rotationnel ? Lequel ?

      Réponse : divZ=0 puis l'on trouve Z=rotV avec V=( xy xz xyz ).

    Pour ces deux voir fichier champs_a_b dans le dossier scans.

2.Circulations & Green Riemann

2.1.Rappels de cours

Circulation

L=CEdM, où C=AB̑ est un chemin orienté et E un champ.

Usuellement, cela s'écrit L=C(Exdx+Eydy)M=( x(t) y(t) ).

Champ de gradients

f/E=gradf est équivalent à rotE=0. Dans la pratique donc, si rotE=0, on résoud { fx=Ex fy=Ey. .

Circulation d'un champ de gradients

Si E=gradf alors AB̑EdM=f(B)-f(A).

Chemin C fermé

Deux cas :

  1. si E=gradf alors CEdM=0 ;

  2. sinon (Green-Riemann) CEdM=iintD(Eyx-Exy)dxdyD est le domaine délimité par C. En dimension 3, cela donne CEdM=iintD(rotE)dxdy.

2.2.Exercices

  1. Dans 2, calculer de deux manières si possible :

    1. I=CEdMC est le cercle de centre A(2;1) et de rayon 2, orienté positivement et où E=( x2 y2 ).

      Réponse : rotE=0 donc E est un champ de gradient E=gradT et pour info on a T=x33+y33.

      première méthode : I=0 puisque le circuit est fermé ;

      seconde méthode : il faut paramétrer la courbe par M:{ x=2+2cosθ y=1+2sinθ. .On retrouve I=0, voir dossier scans le fichier 1a.

    2. I=CEdMC est le demi-cercle AB d'équation { x2+(y-1)2=1 y1, . avec A(-1;1) et B(1;1) et le champ E=( y2 x2 ).

      Réponse : rotE0 donc E n'est pas un champ de gradients.

      Green Riemann ne s'applique pas puisque la courbe n'est pas fermée.

      Méthode directe : il faut paramétrer le demi-cercle par M:{ x=cosθ y=1+sinθ. .

      On trouve I=103+π, voir dossier scans le fichier 1b.

    3. I=CEdMC est l'ellipse d'équation (x-2)2+y24=1 et le champ E=( xy 1 ).

      Réponse : par Green-Riemann ou directement par paramétrage, on trouve I=-4π voir dossier scans le fichier 1c.

    4. I=iintDf(x,y)dxdy avec D le triangle A(1;-1), B(1;1), C(-1;0) et f(x,y)=x-y2 de deux façons.

      Réponse : directement on trouve I=13 et par Green-Riemann à l'envers on retrouve E( y3/3 x2/2 ) et on a I=IAB+IBC+ICA=1-13-13=13 aussi. Voir dossier scans le fichier 1d.

3.Flux & Ostrogradsky

3.1.Rappels de cours

Flux

Φ=iintSEdSE est un champ ambiant et dS un vecteur normal élémentaire.

Dans la pratique on paramètre la surface par M( x(u,v) y(u,v) z(u,v) ) et alors dS=Ndudv avec N=MuMv. Une fois N déterminé, on regarde s'il correspond à l'orientation choisie et si ce n'est pas le cas on le remplace par -N.

Champ de rotationnel

R/E=rotR est équivalent à divE=0.

Flux d'un champ de rotationnel

Si E=rotR alors iintSEdS=CRdM : c'est Green-Riemann écrit différemment mais surtout généralisé à des surfaces pas forcément planes. Ça s'appelle Stockes.

Flux sortant par une surface fermée

Deux cas :

  1. si divE=0 alors iintSEdS=0 ;

  2. sinoniintSEdS=iiintVdivEdV : Ostrogradsky.

3.2.Exercices

  1. Un bon exercice pédagogique pour introduire les flux est le suivant : Appliquer Ostrogradsky à E( xy y+1 y2 ) à travers toutes les parois du cylindre { x2+y21 0z1. .