Suites

Table des matières

1.Suites arithmétiques et géométriques 1

1.1.Arithmétiques 1

1.2.Géométriques 2

1.2.1.Rappels de cours 2

1.2.2.Exercices 2

1.3.Divers 2

2.Arithmético-géométriques / Homographiques 3

2.1.Arithmético-géométriques 3

2.1.1.Batterie d'exercices 3

2.1.2.un+1=aun+b 3

2.1.3.un+1=3un+14 4

2.2.Homographiques 4

2.3.Divers 5

3.Découverte des suites (1S) 5

3.1.Découverte des suites 5

3.2.Méthodes pour la monotonie 5

3.2.1.L'exemple un=nn+1 5

3.2.2.Autres exemples, méthode par méthode 6

3.2.3.Plus difficiles : les exemples vn=n2×3n2n et wn=n2×2n3n 6

4.Études complètes (avec ou sans récurrence) 7

4.1.Exercices 7

4.2.Problèmes 7

4.2.1.D'après Pondichéry 2017 7

4.2.2.D'après Bac France 2013 8

5.Quelques suites remarquables 8

5.1.Fibonacci 8

5.2.Famille des suites de Farey 8

5.2.1.Introduction 8

5.2.2.Suite de Farey (1766-1826) 8

5.3.Syracuse 8

6.Liens à regarder 8

1.Suites arithmétiques et géométriques

1.1.Arithmétiques

  1. Compléter le tableau suivant, qui indique le comportement des suites arithmétiques suivant la valeur de leur raison R.

    R<0 R=0 0<R
    u0

1.2.Géométriques

1.2.1.Rappels de cours

Compléter le tableau suivant, qui indique le comportement des suites géométriques suivant la valeur de leur raison q.

q<-1 q=-1 -1<q<0 q=0 0<q<1 q=1 1<q
u0<0
u0>0

1.2.2.Exercices

  1. (sommation géométrique, trouver n) on place un grain de blé (1g) sur la première case, 2 sur la seconde etc. Au bout de combien de case le plateau de jeu surpassera-t-il le poids de la Terre (6.1024kg) ? Y arrivera-t-on avec un échiquier ? Avec un damier ?

    solution avec Giac :

  2. (suite géométrique, trouver n) une feuille de papier d'épaisseur 0,1mm. On la plie en deux, puis encore en 2 etc. Au bout de combien de pliages l'épaisseur atteindra-t-elle la distance Terre-Lune (1seconde-lumière). [en pratique on peut plier 6 fois. Avec des ciseaux et de la patience peut être 10 ou 12 fois)

    solution avec Python :

  3. (suite géométrique, trouver n) AB=10cm, on construit des demi cercles dont le rayon double à chaque demi-tour. Sur ce schéma, trois demi-tours ont été représentés. En combien de demi-tours atteint-on une distance de 1km ?

    Figure 1.

    Solution avec R :

    On veut 0,1×2n=1032n=104. De tête environ n=13.

    >

    2^13

    [1] 8192

    >

    2^14

    [1] 16384

    >

    d'où 13 demi tours et quelques…

1.3.Divers

  1. Compléter le tableau suivant :

    suite arithmétique

    raison R

    premier terme u0

    suite géométrique

    raison q

    premier terme u0

    relation de récurrence
    terme général
  2. Petites questions :

    1. nature de (un) définie par un=2n-3 ;

    2. nature de (un) définie par un=3-5n7 ;

    3. (un) définie par un=1+n2 est-elle arithmétique ? géométrique ?

    4. (un) géométrique avec u10=25 et u12=35, calculer u0.

    5. Un prix, chaque mois, augmente de 8% en début de mois et diminue de 8% en fin de mois. S'il vaut initialement 500€, combien vaut-il après deux ans ? (réponse environ 230€).

    6. (un) géométrique de raison 0,98 vérifie u1=100.

      Déterminer, en utilisant la calculatrice, le rang à partir duquel un50.

  3. Reconnaître des suites :

    Sont-elles géométriques ? arithmétiques ? raison ? comportement ?

    Figure 2.

2.Arithmético-géométriques / Homographiques

2.1.Arithmético-géométriques

2.1.1.Batterie d'exercices

Démontrer que (vn) est géométrique et en déduire le terme général de (un) :

un+1=1,5un-2

u0=10

vn=un-4

un+1=0,5un+1,5

u0=20

vn=un-3

un+1=23(un+9)-3

u0=-2

vn=un-9

2.1.2.un+1=aun+b

On pose un+1=aun+b et u0=1, où a1 et b sont des réels quelconques.

  1. Expliquer rapidement pourquoi (un) n'est ni arithmétique ni géométrique.

  2. Résoudre l'équation x=ax+b. On notera x0 la solution.

  3. On pose vn=un-x0. Vérifier que (vn) est géométrique. Donner le terme général de (vn).

  4. En déduire le terme général de (vn) ainsi que sa limite.

2.1.3.un+1=3un+14

On pose { un+1=3un+14 u0=-5 .. On prend la suite auxiliaire wn=un-1.

  1. Exprimer wn+1 en fonction de wn.

  2. Nature et comportement de (wn) ? En déduire le comportement de (un).

  3. Donner le terme général de (wn) puis celui de (un) et retrouver les résutats de la question 2.

  4. Tracer les escaliers de la suite (un), soit sur un papier, soit dans GeoGebra (soit les deux…).

  5. Afficher les 50 premiers termes de (un) dans un tableur.

2.2.Homographiques

  1. Exemple détaillé

    On pose u0=3 et un+1=3un-2un. On pose aussi vn=un-2un-1 (suite auxiliaire).

    1. Exprimer vn+1 en fonction de vn.

      vn un vn+1 un+1

      Figure 3. Il faut faire le tour (et donc retourner une flèche)

    2. Donner le terme général de (vn), puis celui de (un). En déduire la limite de (un).

      On trouve vn+1=12vn.

    Notes : On aurait pu prendre la suite auxiliaire wn=un-1un-2 à la place de (vn). Les chiffres 1 et 2 ont été obtenus en résolvant x=3x-2x.

  2. Exemples où (vn) est géométrique :

    1) un+1=2un-4-un-1 et vn=un-1un+4 et u0=1

    2) un+1=-3un3-2un et vn=unun-3 et u0=1

  3. Piège avec un+1=un+1un-1. Ici on peut exprimer un+2 en fonction de un ou utiliser la suite auxiliaire vn=un-1-2un-1+2.

  4. Cas où (vn) est arithmétique, recherche d'énoncés

    Il faut trouver les f(x)=ax+bcx+d ayant un point fixe double donc il faut que le discriminant de ax+bcx+d=xcx2+(d-a)x-b=0 soit nul donc que (d-a)2=-4bc. On a alors x0=a-d2c on remarque, pour aider au calcul, que (x0)2=-bc.

    Il suffit de prendre -bc carré parfait.

    On pose dans ce cas vn=1un-x0 et l'on a vn+1=vn+2ca+d.

    donc les exemples suivants conviennent :

    a

    b

    c

    d

    f(x)

    x0

    raison de (vn)

    1

    -2

    8

    9

    x-28x+9

    -12

    1,6

    1

    -3

    3

    7

    x-33x+7

    -1

    34

    1

    -2

    2

    5

    x-22x+5

    -1

    23

    11

    -5

    5

    1

    11x-55x+1

    1

    56

2.3.Récurrences doubles

  1. On pose { u0=1 u1=2 un+2=1,5un+1-0,5un ..

    On pose aussi vn=un+1-un.

    1. montrer que (vn) est géométrique ;

    2. en déduire le terme général de (un) ;

      astuce : calculer v0+v1++vn-1 de deux manières différentes.

    3. donner lim(un) puis résoudre |un-3|<10-5.

3.Découverte des suites (1S)

3.1.Découverte des suites

  1. Second degré masqué par une suite : résoudre un0 avec un=-n2+274+13n.

  2. On définit (un) par { u0=1 un+1=2un-n+1 .. Calculer u1,u2,u3.

3.2.Méthodes pour la monotonie

3.2.1.L'exemple un=nn+1

Cet exercice permet de découvrir quatre méthodes différentes pour étudier les variations d'une suite.

On pose un=nn+1, démontrer que (un) est croissante, de quatre manières différentes :

a) par un+1-un, b) par un+1un, c) par un=f(n), d) en divisant par n en haut et en bas.

Solutions :

a) Étude de un+1-un :

On écrit un+1-un=n+1n+2-nn+1=(n+1)2-n(n+2)(n+2)(n+1)=1(n+2)(n+1), c'est toujours positif !

b) Étude de un+1un :

On écrit un+1un=n+1n+2nn+1=(n+1)2n(n+2)=n2+2n+1n2+2n clairement supérieur à 1.

c) Étude de fun=f(n) :

On écrit f(x)=xx+1 d'où f'(x)=1(x+1)2 défini et positif dans [0;+[ d'où la croissance.

d) Méthode directe :

  1. On divise par n en haut et en bas et on écrit un=11+1n alors ensuite on part de nn+1 et l'on reconstruit pour aboutir à unun+1.

  2. On écrit n=n+1-1 et cela donne un=n+1n+1-1n+1=1-1n+1 et on procède comme à la ligne précédente.

3.2.2.Autres exemples, méthode par méthode

Méthode un+1-un

  1. On pose u1=1, puis u2=1+12, puis u3=1+12+13 puis un=1+12++1n.

    Démontrer que (un).

Méthode un+1un.

  1. On pose u2=3 et un+1=un×n-1n2.

    1. démontrer que pour tout n2, on a 0<n-1n2<1 ;

    2. démontrer que (un) est décroissante.

  2. On pose u1=2 et un+1=un×2n-12n2.

    1. démontrer que pour tout n1, on a 0<2n-12n2<1 ;

    2. démontrer que (un) est décroissante.

  3. On pose u1=1, puis u2=1×12, puis u3=1×12×13 puis un=1×12××1n.

    Déterminer les variations de (un).

Méthode un=f(n)

  1. On pose un=n2+32-12n. En écrivant un=f(n), déterminer les variations de (un).

3.2.3.Plus difficiles : les exemples vn=n2×3n2n et wn=n2×2n3n

Trouver les variations des deux suites (un) et (vn) avec :

  1. vn=n2×3n2n ;

  2. wn=n2×2n3n avec un+1un.

Ce sont de bons calculs en première.

1. Pour v :

2. Pour w :

Le programme de 1S indique « d'approcher la notion de limite par des exemples », et ici on a un bel exemple : le quotient wn+1wn tend vers 2/3 donc l'élève peut concevoir que w croît puis décroît. Pour démontrer, on résoud wn+1wn1, et l'on trouve n132-14,4495.

Ainsi, w croît jusqu'à w5 puis décroît.

4.Études complètes (avec ou sans récurrence)

4.1.Exercices

  1. On considère la suite u0=0 et un+1=2+un :

    1. Calculer u1.

    2. Montrer par récurrence que pour tout entier n, on a 0un<2.

    3. Montrer par récurrence que pour tout entier n, on a un+1un.

    4. La suite (un) est-elle convergente ou divergente ?

  2. Soit un=4n-53n+1, montrer que (un) est bornée et trouver ses bornes de deux manières :

    1. en étudiant un=43 ;

    2. en étudiant f(x)=4x-53x+1.

  3. Soit un=2n+12+n2, prouver que (un) est bornée et donner ses bornes (étudier f associée).

  4. On pose un+1=nun+12(n+1) et u1=52, en posant vn=nun-1, trouver le terme général de (un) et l'étudier.

    On trouve (vn) géométrique de raison 12 et un=3×0,5n+1n. Ensuite, un est le produit de deux suites décroissantes (et positives) donc décroît, vers 0.

4.2.Problèmes

4.2.1.D'après Pondichéry 2017

On pose u0=1 et un+1=2un-n+3 et aussi wn=2n.

  1. Expliquer comment rentrer ces deux suites dans un tableur. Pour (wn) il y a deux possibilités.

  2. Question tirée du bac :

    Figure 4. La colonne 10,11… indique n ;

    la colonne 3080,… indique un ;

    la colonne 1024,… indique 2n.

  3. Montrer par récurrence que le terme général de (un) est :

    un=3×2n+n-2.
  4. Déterminer les limites de (un), de (1ln(un)).

  5. Démontrer par récurrene que pour tout n4 on a 2nn2. En déduire la limite de (n2n). En déduire la limite de (un2n).

  6. En remarquant que x2x=xln2exln2, retrouver la limite de (n2n).

  7. Démontrer que la suite (unvn) est décroissante à partir du rang n=3.

  8. Résoudre un106.

  9. Résoudre unvn10-6.Résoudre unvn-10-6.

4.2.2.D'après Bac France 2013

On pose u0=2 et un+1=23un+13n+1.

  1. Calculer u1,,u4 et conjecturer les variations de (un).

  2. Démontrer que pour tout n on a unn+3 et en déduire les variations de (un).

  3. On pose vn=un-n, démontrer que (vn) est géométrique et en déduire le terme général de (vn), puis celui de (un).

  4. On pose Sn=u0++unn2, donner l'expression, puis la limite, de (Sn).

5.Quelques suites remarquables

5.1.Fibonacci

5.2.Famille des suites de Farey

5.2.1.Introduction

Prenons un nombre avec un chiffre après la virgule et multiplions le par 2 plusieurs fois de suite, regardons l'évolution du chiffre après la virgule. On peut dessiner au tableau un cercle (8,6,2,4) dans lequel on peut arriver par différentes portes :

départ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 entrée 2 déjà 6 déjà -sort- déjà 4 déjà 8 .

On peut recommencer en multipliant par un chiffre k autre que 2 :

k 2 3 4 5 6 7 8 9 cercles (8,6,2,4) (3,9,7,1) (4,6) (5) (6) (1,7,9,3) (8,4,2,6) (1,9) 5sort (2,6,8,4) (2,8) 2,4,6,8sortent (2) (2,4,8,6) 5sort (2,8) (5) 5sort (8) (5) (3,7) (4) (4,6) (5) .

5.2.2.Suite de Farey (1766-1826)

Géologue érudit, il aida la Révolution Industrielle en localisant des gisement de métal.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Farey

Beaucoup à programmer : temps de vol, hauteur maximale etc

5.3.Syracuse

6.Liens à regarder

http://www.universalis.fr/classification/histoire-des-sciences/histoire-des-mathematiques/

http://www.les-suites.fr/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Suite_(mathématiques)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Série_(mathématiques)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_(mathématiques)