Récurrence

Table of contents

1.Exercices avec des sommes ?

2.Exercices avec des inégalités ?

3.Exercices avec des suites ?

4.Autres exercices avec des factorielles ?

1.Exercices avec des sommes

  1. La somme des n premiers entiers est Sn=1+2+3++n=n(n+1)2.

    Le démontrer par récurrence (on peut aussi le montrer par formule de suite arithmétique ou par astuce de Gauss).

  2. La somme des n premiers carrés est Cn=12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6.

    Le démontrer par récurrence.

  3. On appelle Sn' la somme Sn'=1×2+2×3++(n-1)×n.

    Montrer par récurrence que pour tout n on a Sn'=(n-1)n(n+1)3.

  4. Démontrer, pour le plaisir, que Cn-Sn=Sn'.

  5. Pour la culture générale :

    Sn''=1×2×3+2×3×4++n(n+1)(n+2) est égal à Sn''=n(n+1)(n+2)(n+3)4.

    Sn,p=k=1nk(k+1)(k+p) est égal à Sn,p=n(n+1)(n+p)p+1.

    Kn=13+23++n3=(n(n+1)2)2.

2.Exercices avec des inégalités

  1. (Inégalité de Bernoulli) Soit x>0, montrer que pour tout n2 :

    (1+x)n>1+nx.

    On amorce à 2. Pour l'hérédité, on part de (1+x)n>1+nx et l'on multiplie de part et d'autre par (1+x).

  2. On considère la suite u0=2 et un+1=1+11+un, montrer par récurrence que pour tout entier n, on a 1un2.

  3. On considère la suite u0=0 et un+1=2+un, montrer par récurrence que pour tout entier n, on a 0un<2.

3.Exercices avec des suites

  1. On définit (un) par { u0=1 un+1=3un-1 ., démontrer que pour tout n0 :

    un=3n+12.

4.Autres exercices avec des factorielles

  1. On pose n!=1×2××n.

    1. Calculer 3! et 4!.

    2. Simplifier n!×(n+1) et (n+1)!n+1

    3. Est-ce que (2n)!=2×(n!) ?

  2. Démontrer par récurrence sur n que pour tous 0kn :

    ( n k )+( n k+1 )=( n+1 k+1 ).
  3. Démontrer que pour tout entier n0 on a :

    ‘‘pour tout réel x>0, ex>xnn!''.

    Voici des indications :

    1. Vérifier l'initialisation (pour n=0).

    2. Supposer que pour un certain n donné, on ait :

      pour tout réel x>0, ex>xnn!.

      Poser g(x)=ex-xn+1(n+1)! et déterminer g'(x).

    3. Établir le tableau de variations de g.

    4. Conclure.

    Remarque : on pourrait montrer par une méthode similaire que pour tout entier n, on a :

    limx+(ex-xnn!)=+.