Étude d'une fonction

Énoncé 1

On s'intéresse à la fonction f définie sur [-4;0[]0;4] par f(x)=-1x-x-1.

1) Déterminer la dérivée de f et mettre au même dénominateur.

2) Résoudre l'inéquation 1-x20 sur

3) En déduire le tableau de variations de f.

4) Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=1.

Réponses

1) On utilise la formule (1x)'=-1x2. On a alors : f'(x)=1x2-1-0=1x2-1=1-x2x2

2) Traçons la parabole y=x2 et résolvons x21 :

Figure 1. Courbe de xx2 et ligne de niveau y=1.

Par simple lecture graphique, nous avons x21x[-1;1].

Remarque : on peut aussi écrire x21x2-10(x-1)(x+1)0 et utiliser un tableau de signes.

3) Lé dénominateur de f' est un carré donc toujours positif. Le signe de f'(x) est donc le signe de 1-x2.

L'énoncé nous indique que x21x[-1;1], or x211-x20 et donc nous pouvons en déduire que f'(x)0 dans [-1;1] et donc f'(x) est négatif ailleurs.

On n'oublie pas que f admet une valeur interdite x=0.

Par conséquent, le tableau de variations de f est :

x

-4
-1
014

f'(x)

-0+||+0-

f

Énoncé 4

On s'intéresse à la fonction f définie sur [-4;0[]0;4] par f(x)=-1x-x-1.

On admet que le tableau de variations de f est le suivant :

x

-4
-1
014

f'(x)

-0+||+0-

f

4) On a :

f(-4)=-1-4-(-4)-1=14+4-1=14+3>1.

f(-1)=-1-1-(-1)-1=1+1-1=1

f(1)=-11-1-1=-1-1-1=-3<1

Par conséquent :

Conclusion : l'équation f(x)=1 n'a qu'une seule solution, c'est x=-1.

Remarque, on pouvait aussi résoudre algébriquement :

f(x)=1 -1x-x-1=1 -1x-x-2=0

et en multipliant par x à gauche et à droite on obtenait -1-x2-2x=0 et on trouvait Δ=0 et x=-1.