Énoncé 1

Une entreprise fabrique, puis écoule aussitôt, x appareils ce mois-ci, vendus chacun 50€.

On suppose que x[0;100].

Les charges dépendent du nombre d'appareils fabriqués, et sont données par la fonction :

C(x)=0,002x³-0,4x²+51x+999.

1) On demande l'expression des recettes R(x) et du bénéfice B(x).

2) Déterminer l'expression de B'(x).

3) On utilisera une calculatrice et on donnera les résultats à 0,1 près.

Résoudre l'équation B'(x)=0.

4) Donner le tableau de variations de B.

5) Démontrer que B s'annulle une et une seule fois sur [0;100].

6) On admettra que B(62)0.

Combien d'objets au minimum et combien d'objets au maximum l'entreprise peut-elle se permettre de fabriquer et écouler.

Réponses

1) Les recettes sont le produit du nombre d'appareils vendus par le prix unitaire de vente, soit R(x)=50x.

Il faut bien remarquer qu'il n'y a pas de surplus, puisque l'énoncé indique fabrique et écoule aussitôt.

Le bénéfice est classiquement donné par la formule B(x)=R(x)-C(x), ce qui donne ici :

B(x) = R(x)-C(x) = 50x-(0,002x³-0,4x²+51x+999) = -0,002x3+0,4x2-x-999.

2) On utilise la formule (xn)'=nxn-1.

Donc ici :

B'(x) = -0,002×3x2+0,4×2x-1-0 = -0,006x2+0,8x-1.

Énoncé 3

Une entreprise fabrique et écoule aussitôt x appareils ce mois-ci, vendus chacun 50€.

On suppose que x[0;100].

On suppose que le bénéfice en fonction du nombre x est donné par la formule :

B(x) = -0,002x3+0,4x2-x-999.

On admet que B'(x)=-0,006x2+0,8x-1.

3) Utilisons les techniques du second degré.

On a B'(x)=-0,006x2+0,8x-1. Calculons le discriminant de ce trinôme :

Δ=0,82-4×(-1)×(-0,006)=0,64+4×(-0,006)=0,64-0,024=0,616.

Calculons les racines de ce trinôme :

x1=-0,8-0,6162×(-0,006)132,1 et x1=-0,8+0,6162×(-0,006)1,3

4) On se souvient que ax2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

Ici, B'(x)=-0,006x2+0,8x-1 est un trinôme du second degré avec a=-0,006 donc est négatif en dehors de [1,2;132,1] et positif dans [1,2;132,1].

Ainsi le tableau de variations de B est le suivant :

x

0
1,2
100

B'(x)

-0+

B

5) B(0)=-999 : il suffit de remplacer x par 0.

Pour B(100) il faut remplacer x par 100 :

B(100) = -0,002×1003+0,4×1002-100-999 = -0,002×1000000+0,4×10000-1099 = -2000+4000-1099 = 2000-1099 = 901.

Ainsi, sur [0;1,2], B, qui décroît à partir de la valeur -999, ne pas s'annuler.

On remarque que B(1,2) est inférieur, du coup, à -999.

Et sur [1,2;100], B passe d'une valeur inférieure à -999 (donc négative) 901 (qui est positif). Donc, B étant classiquement une fonction continue, va s'annuler une et une seule fois.

Énoncé 6

Une entreprise fabrique et écoule aussitôt x appareils ce mois-ci, vendus chacun 50€.

On suppose que x[0;100].

On suppose que le bénéfice en fonction du nombre x est donné par la formule :

B(x) = -0,002x3+0,4x2-x-999.

On admet que le tableau de variations de B est le suivant :

x

0
1,2
100

B'(x)

-0+

B

6) Il faut que B(x)0.

D'après le tableau de variations de B, on peut affirmer que B(x)0 dans [62;100]. L'entreprise doit donc réaliser au minimum 62 objets, et au maximum 100.

Remarque : nos calculs ne montrent pas de problème particulier si x100, mais, vu que l'énoncé suppose que x[0;100], c'est que, peut-être, au-delà de 100 objets, le calcul des charges est à revoir (par exemple il faudra embaucher ou investir dans une nouvelle machine). On se restreint donc à x100 comme l'énoncé le stipule.