Trois fonctions

Énoncé

1) Soit a un réel tel que a<-0,5. Démontrer que -1<-12a<1.

2) On demande de dresser le tableau de variations de la foncion f, définie et continue sur [-1;1], et d'en déduire le nombre de solutions de l'équation f(x)=1, dans les cas suivants :

a) f(x)=ax2+x-a, où l'on suppose que a<-0,5.

b) f(x)=ax3-x-a, où l'on suppose cette fois-ci que a<0.

c) f(x)=a1+x-x-a, en supposant là aussi que a<0.

Réponses

1) Transformons cette inégalité, et tout d'abord multiplions par -2 partout :

-1<-12a<12>1a>-2-2<1a<2.

Par lecture graphique sur la courbe de x1x nous avons le résultat :

Figure 1. courbe de x1x et lignes de niveau y=2 et y=-2.

Nous lisons que -2<1a<2 pour a<-0,5 ou a>0,5, ce qui est bien le cas ici, puisque l'énoncé suppose que a<-0,5.

2)a) f'(x)=2ax+1 nul pour 2ax=-1x=-12a.

On a donc le tableau suivant, en notant bien que a est négatif.

x

-1
-12a
+1

f'(x)

+0-

f

Pour vérifier que le tableau est correct, nous devons nous assurer que -1<-12a<1, or ceci est stipulé dans les résultats admis par l'énoncé.

Calculons les extrema :

On a f(-1)=a-1-a=-1 et f(1)=a+1-a=1.

Par conséquent, f étant continue sur [-1,1], on peut affirmer que :

Moralité : l'équation f(x)=1 possède sur [-1;1] exactement deux solutions, lorsque a vérifie les conditions indiquées par l'énoncé.

Remarque on pouvait aussi remarquer que f(x)=1ax2+x-a-1=0 et calculer le discriminant de cette équation Δ=12-4×a×(-a-1)=1+4a2+4a mais il fallait ensuite prouver que ce discriminant était strictement positif lorsque a<-0,5, ce qui revient au même genre de calcul que ce qui a été fait ici.

2)b) La somme de deux fonctions décroissantes est décroissante.

Or :

Ainsi, la fonction f est décroissante (sur donc sur [-1;1]) quand a<0, comme somme de deux fonctions décroissantes et d'une constante.

x

-1
+1

f

D'autre part, f est continue comme combinaison de fonctions usuelles

Les valeurs aux bornes sont :

Donc f prend exactement une et une seule fois la valeur 1 sur l'intervalle [-1;1].

2)c) La somme de deux fonctions décroissantes est décroissante.

Or :

Ainsi, la fonction f est décroissante sur [-1;1] quand a<0, comme somme de deux fonctions décroissantes et d'une constante.

x

-1
+1

f

D'autre part, f est continue comme combinaison de fonctions usuelles

Les valeurs aux bornes sont :

Remarque : la valeur approchée 21,4 est à connaître par cœur.

Conclusion : f décroît continûment de f(-1)>1 à f(1)<1 et donc prend exactement une et une seule fois la valeur 1 sur l'intervalle [-1;1].