Nombre dérivé

I Rappel sur la notion de pente d'une droite

parler de la dilatationd 'un facteur α le long de l'axe des y et aussi de la « somme » de deux droites

Déterminer l'équation des droites (AB) et (CD)

Lire les coefficients directeur (pentes) des droites suivantes :

f
g
h
i
j
k

Déterminer l'équation de la droite (AB) sachant que A(-5;2) et B(5;4).

Dessiner des droites ayant les pentes suivantes :

droite

D1

D2

D3

D4

D5

pente

-2

+1

0

-23

+52

II Nombre dérivé

1Définition

Le nombre dérivé, c'est la pente de la double flèche (la tangente). On le note f'(a).

Exemple ici, f'(-1)=1. Que vaut f'(2) ? Réponse :

f'(2)=

Ne pas confondre avec l'image !

Exemples :

f(-1)= f(2)=

2Lectures graphiques

Lire graphiquement sur la figure :

f'(-4)
f(-2)
f'(-2)
f(-4)
f'(1)
f(2)
f'(2)
f(1)
f'(3)
f(4)
f'(4)
f(3)
f'(-1)
f(-1)
f(0)

Pour f'(4), il faut dessiner soi-même la tangente de manière approchée.

3Nouvel entraînement

A) Les coordonnées des points peuvent être lues sur les carreaux, sauf celles de E et F qui sont données.

  1. Déterminer l'équation y=ax+b de la droite (AB).

  2. Déterminer par la méthode de votre choix les pentes des autres droites de la figure.

Figure 1. Quatre droites

B) Lire f(0),f'(0),f(-2),f'(-2),f(2),f'(2) :

Figure 2.

C) Lire f'(3) et f'(5) :

Figure 3.

III Calcul du nombre dérivé

1Taux d'accroissement

Retrouver par la formule du taux d'accroissement les dérivées des fonctions f(x)=x et f(x)=1x et f(x)=1x2

2Formule (xn)'

On dispose de la formule suivante :

si f(x)=x^n alors f'(x)=n*x^(n-1).

Exemple :

si f(x)=x^3 alors f'(x)=3*x^2.

Illustration n°1 :

Figure 4. Courbe de la fonction f(x)=x3.

Compléter le tableau suivant :

x

-1

0

+1

-0,5

+0,5

f'(x)

f(x)

IV Équation de la tangente

La formule de l'équation de la tangente est

y=f'(a)(x-a)+f(a)
.

Exemple, soit f(x)=x-x24. On veut l'équation de la tangente en 1 (donc au point A).

Figure 5.

On calcule successivement :

puis on établit l'équation de la tangente :

T1:y = = =

Exercices, donner l'équation de Ta dans les conditions suivantes :

  1. f(x)=2x2-4x4, et a=-1 ;

  2. f(x)=x48-x22, et a=2 ;

  3. f(x)=2-2x-x2, et a=-3.

V Variations d'une fonction

Pour connaître les variations d'une fonction f, on détermine l'expression de sa dérivée f'(x), on en fait un tableau de signe, et là où f'(x)>0 on met un et là où f'(x)<0 on met un .

Exemple, f(x)=x2-6x+8.

On détermine f'(x)=..

On résoud f'(x)=0.. .

On dresse le tableau :

x
f'(x)
f

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-

On peut, selon la formulation du problème, représenter la courbe de f pour vérifier. Pour cela, on peut être amené à remplir un tableau de valeurs :

x 1 2 3 4 5
f(x)

Figure 6. courbe de la fonction

Dresser le tableau de variations (sans la courbe) des fonctions suivantes :

On considère f(x)=-x+x24.

  1. Tracer la courbe (compter 20 minutes...).

  2. On place sur la courbe les points A,B,C d'abscisses respectives 4,5,92.

    Calculer les coefficients directeurs respectifs des droites (AC) puis (AB).

    Les représenter sur le schéma.

  3. On place sur la courbe le point M d'abscisse 4+h, où h est un petit nombre.

    Pour la figure, prendre h=0.25 (mais uniquement pour la figure).

    Calculer la pente de la droite (AM).

  4. Voir si l'on retrouve les valeurs trouvées au .

  5. On fait tendre h0, trouver la pente de la tangente à C en x=4.

  6. Recommencer avec d'autres points...