Étude de fonctions

(avec dérivation mais sans log ni exp)

exercices typiquement pour les 1eS

Table des matières

1.Autour des formules de dérivation 1

2.Polynômes ou quotients de polynômes 2

3.Fonctions de degré 3 à étudier 2

3.1.Fonctions à bosses 2

3.2.Fonction monotones 3

4.Fonctions diverses 3

4.1.Exercices classés 3

4.2.Révisions en vrac 4

4.3.Fonctions f(x)=(ax2+bx+c)a'x2+b'x+c' 4

5.fonctions étudiables de plusieurs manières 5

6.Fonctions avec paramètre 5

7.Valeurs intermédiaires (bijection) 6

8.Utilisation d'une fonction auxiliaire 6

9.Problèmes avec graphiques ou géométrie 7

9.1.Exercices divers 7

9.2.Problèmes 7

9.2.1.Une corde dans un carré (1eS) 7

9.2.2.Une petite hauteur 8

1.Autour des formules de dérivation

  1. Dériver f(x)=1xn de trois manières différentes :

    1. avec la formule (uv)' ;

    2. avec la formule (1u)' ;

    3. avec la formule 1xn=x-n et la formule (xα)'=αxα-1.

  2. Notations x1/2 et x-1 :

    Pour x>0 on pose x-1=1x et x1/2=x.

    On rappelle que anp=(an)p, par exemple x-3=(x-1)3 ou x3/2=(x1/2)3.

    1. Calculer sans calculatrice : a=5-1, b=2-2, c=10-3, d=93/2.

    2. Déterminer la dérivée (xx)' de deux manières.

    3. Déterminer la dérivée (1/x)' de deux manières.

  3. dériver les fonctions suivantes

2.Polynômes ou quotients de polynômes

  1. Étudier les fonctions de degré 3 suivantes :

  2. On pose f(x)=ax2+bx+c. On suppose a>0.

    1. Tableau de variation complet de f.

    2. Combien de fois f s'annulle-t-elle ? Retrouver un résultat d'algèbre.

  3. Étudier les fonctions suivantes :

  4. Étudier les fonctions suivantes qui nécessitent (u/v)' et (1/u)' :

  5. Étudier les variations de f(x)=112(3x4-8x3-18x2+60)

3.Fonctions de degré 3 à étudier

3.1.Fonctions à bosses

racines f(x) 3f(x) 3F(x)
(x-1)(x+23) x2-x3-23 3x2-x-2 x3-x22-2x+k
(x+2)(x+4) x2+6x+8 3x2+18x+24 x3+9x2+24x+k
(x+3)(x+1) x2+4x+3 3x2+12x+9 x3+6x2+9x+k
x(x+2) x2+2x 3x2+6x x3+3x2+k
(x+5)(x+1) x2+6x+5 3x2+18x+15 x3+9x2+15x+k
(x+2)(x+6) x2+8x+12 3x2+24x+36 x3+12x2+36x+k
(x-8)(x-4) x2-12x+32 3x2-36x+96 x3-18x2+96x+k
x(x+6) x2+6x 3x2+18x x3+9x2+k
(x-2)(x+4) x2+2x-8 3x2+6x-24 x3+3x2-24x+k
(x+2)(x+8) x2+10x+16 3x2+30x+48 x3+15x2+48x+k
(x+3)(x+9) x2+12x+27 3x2+36x+81 x3+18x2+81x+k
(x-3)(x+5) x2+2x-15 3x2+6x-45 x3+3x2-45x+k
(x-2)(x+6) x2+4x-12 3x2+12x-36 x3+6x2-36x+k
(x-3)(x+7) x2+4x-21 3x2+12x-62 x3+6x2-62x+k
(x-8)(x+4) x2-4x-32 3x2-12x-96 x3+6x2-96x+k
(x+12)(x-4) x2+4x-48 3x2+12x-144 x3+6x2-144x+k
(x+2)(x-12) x2-10x-24 3x2-30x-72 x3-15x2-72x+k
(x+4)(x-14) x2-10x-56 3x2-30x-168 x3-15x2-168x+k
x(x-14) x2-14x 3x2-42x x3-21x2
(x-2)(x+16) x2+14x-32 3x2+42x-96 x3+21x2-96x+k
(x+1)(x-17) x2-16x-17 3x2-48x-51 x3-24x2-51x+k

3.2.Fonction monotones

racines f(x) f(x) 3F(x)
(x+3-)(x+3+) x2+6x+10 (x+3)2+1 x3+9x2+30x+k
(x+2-)(x+2+) x2+4x+5 (x+2)2+1 x3+6x2+15x+k
(x+1-)(x+1+) x2+2x+2 (x+1)2+1 x3+3x2+6x+k
(x+3-2)(x+3+2) x2+6x+13 (x+3)2+4 x3+9x2+39x+k
(x+4-2)(x+4+2) x2+8x+20 (x+4)2+4 x3+12x2+60x+k
(x-6-2)(x-6+2) x2-12x+40 (x-6)2+4 x3-18x2+120x+k
(x+3-3)(x+3+3) x2+6x+18 (x+3)2+9 x3+9x2+54x+k
(x+1-3)(x+1+3) x2+2x+10 (x+1)2+9 x3+3x2+30x+k
(x+5-3)(x+5+3) x2+10x+34 (x+5)2+9 x3+15x2+102x+k
(x+6-3)(x+6+3) x2+12x+45 (x+6)2+9 x3+18x2+135x+k

4.Fonctions diverses

4.1.Exercices classés

  1. Petites fonctions

    Variations de :

    1. f définie sur par f(x)=xx2+1 ;

    2. f définie sur par f(x)=x2x+1 ;

  2. Inégalités

    1. résoudre xx :

      1. en mettant tout à gauche et en factorisant par x ;

      2. par analyse de la fonction xx-x ;

      3. graphiquement.

    2. résoudre x1x :

      1. en mettant tout à gauche et au même dénominateur ;

      2. en mettant tout à gauche et étude de fonction ;

      3. graphiquement.

        Le fait de faire graphiquement à la fin permet d'éclairer le sens des calculs.

  3. Autour des tangentes

    On pose f(x)=-2xx-2.

    1. Trouver la valeur interdite de f, exprimer f'(x), puis donner le tableau de variations.

    2. Équation de la tangente en 1, puis en -1, puis en a\{2}.

    3. Cf admet-elle des tangentes :

      1. de pente -3 ;

      2. de pente +3 ;

      3. horizontales ;

      4. parallèles à D1:y=2x-1 ;

      5. parallèles à D2:2x-7y+3=0 ;

      6. parallèles à la tangente en 0 ;

      7. passant par (0,-1) ;

      8. passant par (-1,0) ;

4.2.Révisions en vrac

(1)

f(x)=x32-2x2-5x+4 sur [-4;6]

(2)

g(x)=3-2x5+4x sur [-2;2]

(3)

h(x)=3x2-54x sur [-2;2]

(4)

i(x)=-2x3+3x sur [-1,5;1,5]

(5)

j(x)=2x-13x2+x+1 sur [-4;4]

(6)

k(x)=2x2+13x-1 sur [-3;3]

(7)

(x)=4x23-4x9 sur [0;0,5]

Corrigés (cliquer sur )

f(x)=x32-2x2-5x+4

g(x)=3-2x5+4x

h(x)=3x2-54x

i(x)=-2x3+3x

j(x)=2x-13x2+x+1

k(x)=2x2+13x-1

(x)=4x23-4x9

4.3.Fonctions f(x)=(ax2+bx+c)a'x2+b'x+c'

Notation 1. signifie « strictement de même signe que »

On a

f'(x) (2ax+b)(a'x2+b'x+c')+(ax2+bx+c)(a'x+b'2) = 3aa'x3+(2,5ab'+2ba')x2+(1,5bb'+2ac'+a'c)x+(bc'+0,5b'c).

Pour construire un problème de lycée il faut avoir 3aa'=0 ou bc'+0,5b'c=0.

Exemples :

5.fonctions étudiables de plusieurs manières

  1. Petites fonctions

    Variations de :

    1. f définie sur ]0;+[ par f(x)=x+xx :

      1. avec (uv)' ;

      2. en simplifiant d'abord.

    2. f définie sur [0;+[ par f(x)=(x-x)2, deux méthodes :

      1. en développant avant de dériver (il faut poser X=x) ;

      2. en utilisant (u2)' ; bien factoriser la dérivée ;

      3. en étudiant les variations et le signe de xx-x.

  2. Bon entraînement à l'organisation des calculs

    On donne :

    f(x)=11+11+1x.

    1) Dériver.

    1. Méthode 1 : par des (1u)' successifs (laisser les u2 et v2 tels quels) ;

      Avec un élève débrouillard on peut chercher la valeur interdite.

    2. Méthode 2 : en simplifiant d'abord.

      Revenir sur la valeur interdite.

      Réponse : f(x)=1+x1+2x.

    2) Équation de la tangente en 12. Faire le plus possible de calculs mentalement.

    Réponses : f'(x)=-1(1+2x)2, f(12)=34 et f'(12)=-14 donc T12:y=7-2x8.

6.

Fonctions avec paramètre

  1. On pose f(x)=x3-3ax, où a est un paramètre réel strictement positif.

    Nécessite le TVI

    1. Démontrer que le tableau de variations de f est le suivant :

      x --aa+
      f'(x) +0-0+
      f
    2. Calculer les extremums ; en particulier donner la valeur de ces extremums lorsque a=4.

    3. Discuter du nombre de solutions de l'équation f(x)=16 suivant les valeurs de a.

  2. f(x)=xm+x2, où m. (Commencer par le cas m>0).

    Pas mal de travail et gestion des -k intéressante avec la problématique du signe de k ou de -k.

    Figure 2. Illustration pour m>0, m=0, m>0.

7.Valeurs intermédiaires (bijection)

Nombre de solution des équations suivantes :

  1. x1+x2=110 sur [-5;5] ;

  2. 2x5+x-5=0 sur [-1;3]; direct

  3. x+1=x3 sur [-2;2] puis -5x3+15x=-2 sur [-10;10] ;

    conduisent à petit tableau de variations

  4. 3x4-x3=4 sur [-1;1]; conduit à inéquation-produit

8.Utilisation d'une fonction auxiliaire

  1. On pose f(x)=1-xx3+1. On pose g(x)=2x3-3x2-1.

    Étudier les variations de g, puis celles de f.

    Nécessite le TVI.

  2. Pour les élèves rapides :

    1. variations de f(x)=x17+x16 ;

    2. variations de f(x)=0,15x5-2x3+12x+200.

      Réponse : f'(x)=0,75x4-6x2+12 et là, deux méthodes :

      • équation bicarrée Δ=0, toujours positif !

      • on pose g(x)=f'(x)=0,75x4-6x2+12 et :

        g'(x)=3x3-12x=3x(x2-4)

        donc

        x --202+
        g'(x) -0+0 - 0+
        g(x)
        et g(2)=g(-2)=0 .

      On pouvait aussi utiliser f''(x) (voir question suivante).

9.Problèmes avec graphiques ou géométrie

9.1.Exercices divers

  1. On pose f(x)=axx2+1, avec a>0.

    Figure 3.

    1. Déterminer par le calcul limx+f(x) et vérifier que ce résultat est cohérent avec la courbe.

    2. Trouver la valeur de a en s'aidant du graphique.

    3. Déterminer par le calcul la valeur de α.

  2. Soient a>0 et x,y les côtés d'un rectangle d'aire a.

    Pour quelles valeurs de x,y le demi-périmètre x+y est-il minimal ?

    Réponse : x+y=x+ax, on pose f(x)=x+ax, alors f'(x)=1-ax2=x2-ax2 d'où les variations de f :

    x 0a+ f'(x) -0+ f

    minimal pour x=y=a, donc quand le rectangle est un carré..

  3. On pose f(x)=1x+1 et g(x)=x2+1x+1.

    Soit M le point d'abscisse x de la courbe Cf. On pose d(x)=OM2.

    Étudier les variations de d et en trouver le minimum.

  4. On pose f(x)=(1-x)(3-x).

    1. Soit a un réel. Écrire l'équation de la tangente Ta en a.

    2. Pour quelle valeur de a la droite Ta passe-t-elle par (0,0)

9.2.Problèmes

9.2.1.Une corde dans un carré (1eS)

Sur cette figure, l'arc de cercle est de centre A, et on suppose que le côté du carré ABCD a pour mesure 1. On pose x=DM et y=BN.

Figure 4.

  1. Démontrer que MN2=x2+y2-2x-2y+2.

  2. Tracer [AT], puis démontrer que MN=x+y.

  3. Déduire des deux questions précédentes l'expression de y en fonction de x, puis l'expression de MN en fonction de x.

  4. Étudier les variations de MN(x) et en déduire la position de T pour que MN soit minimal.

  5. Retrouver indépendamment de ce qui précède la valeur de x pour que A,T,C alignés.

    Réponses : y=1-x1+x puis MN=x2+1x+1 minimal pour x=2-1.

    A,T,C alignés pour TC=2-1 d'où MC=2-2 et MN=22-2 et l'on retrouve le précédent x.

9.2.2.Une petite hauteur

[AB] un segment de longueur 6, et H un point sur [AB]. La perpendiculaire à (AB) passant par H coupe le demi cercle de diamètre [AB] en H. Soit enfin K le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB.

On pose x=AH, donner l'expression de f(x)=HK en fonction de x et déterminer la valeur de x qui minimise la longueur HK.

Réponse : par un double Thalès classique, on a AM=6x puis par un autre petit Thalès tout simple on a f(x)=6-x66x=66×(6-x)x.

Ensuite, f'(x)=66×[3-3x2x], nul pour x=2 et f(2)=433.