Étude de fonctions

(avec dérivation)

exercices typiquement pour les 1eS

Table des matières

1.Rappels sur les formules de dérivation ?

2.Polynômes ou homographies ?

3.Fonctions diverses ?

4.Fonctions avec paramètre ?

5.Utilisation d'une fonction auxiliaire ?

6.Problèmes avec graphiques ou géométrie ?

6.1.Exercices divers ?

6.2.Problèmes ?

6.2.1.Une corde dans un carré ?

1.Autour des formules de dérivation

  1. Dériver f(x)=1xn de trois manières différentes :

    1. avec la formule (uv)' ;

    2. avec la formule (1u)' ;

    3. avec la formule 1xn=x-n et la formule (xα)'=αxα-1.

  2. Notations x1/2 et x-1 :

    Pour x>0 on pose x-1=1x et x1/2=x.

    On rappelle que anp=(an)p, par exemple x-3=(x-1)3 ou x3/2=(x1/2)3.

    1. Calculer sans calculatrice : a=5-1, b=2-2, c=10-3, d=93/2.

    2. Déterminer la dérivée (xx)' de deux manières.

    3. Déterminer la dérivée (1/x)' de deux manières.

2.Polynômes ou homographies

  1. Étudier les fonctions de degré 3 suivantes :

  2. Étudier les fonctions suivantes :

  3. Étudier les fonctions suivantes qui nécessitent (u/v)' et (1/u)' :

3.Fonctions diverses

  1. Variations de f définie sur ]0;+[ par f(x)=x+xx.

  2. Autour d'une fonction :

    1. résoudre xx ;

    2. donner une formule pour (u2)' ;

    3. variations de f définie sur [0;+[ par f(x)=(x-x)2.

  3. Variations de f(x)=xx2+1 et de g(x)=x2x+1. Les deux questions sont indépendantes.

  4. Bon entraînement à l'organisation des calculs

    On donne :

    f(x)=11+11+1x.

    1) Dériver.

    1. Méthode 1 : en simplifiant d'abord.

    2. Méthode 2 : par des (1u)' successifs.

    2) Équation de la tangente en 12.

    Réponses : f'(x)=-1(2x+1)2, f(12)=34 et f'(12)=14 donc T12:y=2x+58.

4.

Fonctions avec paramètre

  1. On pose f(x)=x3-3ax, où a est un paramètre réel strictement positif.

    1. Démontrer que le tableau de variations de f est le suivant :

      x --aa+
      f'(x) +0-0+
      f
    2. Calculer les extremums ; en particulier donner la valeur de ces extremums lorsque a=4.

    3. Discuter du nombre de solutions de l'équation f(x)=16 suivant les valeurs de a.

5.Utilisation d'une fonction auxiliaire

  1. On pose f(x)=1-xx3+1. On pose g(x)=2x3-3x2-1.

    Étudier les variations de g, puis celles de f.

  2. Pour les élèves rapides :

    1. variations de f(x)=x17+x16 ;

    2. variations de f(x)=0,15x5-2x3+12x+200 (on déterminera f''(x) pour étudier les variations, puis le signe, de f'(x)).

6.Problèmes avec graphiques ou géométrie

6.1.Exercices divers

  1. Les deux droites et la parabole sont-elles concourrantes ?

    Figure 1. Deux droites et la parabole d'équation y=x2.

  2. Résoudre x2x, d'abord graphiquement, puis par inéquation-produit.

    Figure 2. Courbe de xx2 et courbe de xx.

  3. Résoudre 1x2, d'abord graphiquement, puis par inéquation-quotient.

    Figure 3.

  4. On pose f(x)=axx2+1, avec a>0.

    Figure 4.

    1. Déterminer par le calcul limx+f(x) et vérifier que ce résultat est cohérent avec la courbe.

    2. Trouver la valeur de a en s'aidant du graphique.

    3. Déterminer par le calcul la valeur de α.

  5. Soient a>0 et x,y les côtés d'un rectangle d'aire a.

    Pour quelles valeurs de x,y le demi-périmètre x+y est-il minimal ?

    Réponse : x+y=x+ax, on pose f(x)=x+ax, alors f'(x)=1-ax2=x2-ax2 d'où les variations de f :

    x 0a+ f'(x) -0+ f

    minimal pour x=y=a, donc quand le rectangle est un carré..

  6. Trouver le lieu des sommets des paraboles ayant au point d'abscisse 1 une tangente parallèle à la droite d'équation y=x.

    Réponse : f(x)=ax2+bx+c et l'on a { a+b+c=1 2a+b=1 . d'où S(1-12a;1-14a) qui vérifie 1-yS=1-xS2yS=1+xS2.

6.2.Problèmes

6.2.1.Une corde dans un carré

Sur cette figure, l'arc de cercle est de centre A, et on suppose que le côté du carré ABCD a pour mesure 1. On pose x=DM et y=BN.

Figure 5.

  1. Démontrer que MN2=x2+y2-2x-2y+2.

  2. Tracer [AT], puis démontrer que MN=x+y.

  3. Déduire des deux questions précédentes l'expression de y en fonction de x, puis l'expression de MN en fonction de x.

  4. Étudier les variations de MN(x) et en déduire la position de T pour que MN soit minimal.

  5. Retrouver indépendamment de ce qui précède la valeur de x pour que A,T,C alignés.

    Réponses : y=1-x1+x puis MN=x2+1x+1 minimal pour x=2-1.

    A,T,C alignés pour TC=2-1 d'où MC=2-2 et MN=22-2 et l'on retrouve le précédent x.