convexité d'une fonction

Énoncé

On pose pour tout x>0 :

f(x)=3lnx+2x.

1) Déterminer l'expression de f'(x) et celle de f''(x).

2) Déterminer les points d'inflexion de Cf (la courbe de f).

3) Déterminer les intervalles où f est convexe.

4) Démontrer que la fonction g définie pour x>0 par g(x)=f(x)+x2-x34 possède un point d'inflexion commun avec f.

Réponses

1) La dérivée de u définie par u(x)=lnx est u'(x)=1x et la dérivée de v(x)=1x est v'(x)=-1x2, or (u+v)'=u'+v'. On a donc f'(x)=3x-2x2.

En se rappelant que (1xn)'=-nxn+1, on a ensuite :

f''(x)=-3x2+4x3.

2) Il s'agit de résoudre f''(x)=0 :

f''(x)=0 -3x2+4x3=0 -3x+4x3=0 -3x+4=0 x=43.

Cf possède un seul point d'inflexion en x=43.

3) Il s'agit de résoudre f''(x)0 :

f''(x)0 -3x2+4x30 -3x+4x30 -3x+40 x43.

On remarque que le passage de la ligne 2 à la ligne 3 est autorisé par le fait que x3>0 dans l'intervalle de définition de f. On remarque aussi le changement de sens de l'inégalité dans la dernière ligne.

f est convexe sur l'intervalle ]0;43].

4) g'(x)=f'(x)+2x-3x24 et donc g''(x)=f''(x)+2-6x4, que l'on peut simplifier en :

g''(x)=f''(x)+2-3x2.

Si g possède un point d'inflexion commun avec f ce ne peut être que x=43 puisque c'est le seul point d'inflexion de f. Nous devons donc simplement vérifier si g''(43)=0 :

g''(43) = f''(43)+2-3×432 = 0+2-3×432 = 2-42 = 0.

Oui, x=43 est un point d'inflexion pour g, c'est donc un point d'inflexion commun à f et à g.