autour de la fonction exponentielle

Énoncé

On considère f, de courbe Cf, définie sur par f(x)=ex, et la fonction g, de courbe Cg, définie poru tout x>0 par g(x)=ln(x).

Soit a.

1) Déterminer l'équation t(x) de la tangente en a à Cf.

2) *Démontrer que pour tout x, on a f(x)t(x).

3) *Démontrer que, dans I=]0;+[, on a f(x)>g(x).

Indication : démontrer que dans I, f(x)>x et x>g(x) en utilisant chaque fois une étude de variations.

4) Démontrer que, dans I, la fonction h définie par h(x)=f(x)-g(x) est convexe.

Réponses

1) L'équation demandée est y=f'(a)(x-a)+f(a), soit ici, vu que f'(x)=f(x)=ex :

y = ea(x-a)+ea = eax+ea(1-a).

2) Étudions les variations de f-t : pour tout x, on a f(x)-t(x)=ex-eax-ea(1-a), donc, en dérivant :

f'(x)-t'(x) = ex-ea.

Cherchons quand cela est positif :

ex>eax>a,

donc f'(x)-t'(x)>0x>a, et ainsi le tableau de variations de f-t est :

x -a+
f'(x)-t'(x) -0+
f-t

Le minimum de f-t est donc f(a)-t(a)=ea-eaa-ea(1-a)=ea-eaa-ea+eaa=0 et cela prouve que pour tout x, f(x)t(x).

Remarque : c'est une particularité des courbes de fonctions convexes, que d'être toujours au-dessus de leurs tangentes.

3)

Posons k1(x)=ex-x, alors k1'(x)=ex-1 or ex-1>0ex>1x>0 donc le tableau de variations de k1 est :

x 0+
k1'(x) 0+
k1
, avec un minimum k1(0)=e0-0=1 donc pour tout x>0 on a k1(x)>0 donc ex>x donc f(x)>x .

Posons k2(x)=x-ln(x), alors k2'(x)=1-1x=x-1x or x-1>0x>1 donc le tableau de variations de k2 est :

x 01+
k1'(x) -0+
k1
, avec un minimum k1(1)=e1-1=e-11,7 donc pour tout x>0 on a k2(x)>0 donc x>ln(x) donc x>g(x) .

Remarque : l'approximation x2,7 est à connaître par cœur.

Conclusion : pour tout x de I=]0;+[ on a f(x)>x>g(x) donc f(x)>g(x).

4) h(x)=f(x)-g(x)=ex-ln(x) donc :

h'(x)=f'(x)-g'(x)=ex-1x et donc :

h''(x)=f''(x)-g''(x)=ex+1x2. Ceci est toujours défini, et strictement positif dans I=]0;+[.

En effet, x20 car c'est un carré et ex>0 car c'est une exponentielle.

On a démontré que h=f-g est convexe dans I.