Limites de fonctions

Table des matières

1.Représentations graphiques 1

2.Limites déterminées ou presque 1

3.Lever des indéterminations 2

4.Divers 2

1.Représentations graphiques

  1. Représenter les courbes Cf et Cg de deux fonctions vérifiant simultanément :

  2. 1)Vrai faux. Justifier les réponses.

    On pose f(x)=x-1x+1 et g(x)=x2-1x+1

    1. vrai faux : Si une fonction admet x=1 pour valeur interdite alors son graphe admet une asymptote verticale d'équation x=1.

    2. vrai faux : Le graphe de f admet une asymptote horizontale.

    3. vrai faux : Un graphe peut croiser ses asymptotes horizontales.

    4. vrai faux : Le graphe de g admet une asymptote verticale.

2.Limites déterminées ou presque

  1. Limites en + de :

    1. f(x)=2-x4 ;

    2. f(x)=1x2.

  2. Compléter les tableaux de produit et quotient de limites :

    × 0 1 +
    0
    1
    +
    ÷ 0+ 1 +
    0+
    1
    +

  3. Compléter les tableaux de somme et différence de limites :

    + 0 1 + -
    0
    1
    +
    -
    - 0 1 + -
    0
    1
    +
    -

  4. Limites pour x0x<0 de :

    1. g(x)=1+x2x

    2. h(x)=1+1xx

  5. Compléter les tableaux de produit et quotient de limites :

    × 0 1 +
    0
    1
    +
    ÷ 0+ 1 +
    0+
    1
    +

  6. Compléter les tableaux de somme et différence de limites :

    + 0 1 + -
    0
    1
    +
    -
    - 0 1 + -
    0
    1
    +
    -

3.Lever des indéterminations

3.1.Exercices formateurs

  1. Déterminer limx+(x+1-x).

    Intéressant, expliquer graphiquement et faire le lien avec f'(x)=12x.

  2. Déterminer limx1x11-1x-1.

    Deux méthodes, une avec f'(a) et une avec 1-qn1-q.

3.2.Exercices divers

cf aussi le livre Bordas.

  1. Limites en + de :

    1. f(x)=x3-x4 ;f(x)=x3-x490x5+x6.

  2. Déterminer limx+1-1xx2+x

  3. Déterminer limx0+1-1xx2+x

  4. Déterminer limx+(x3+1-x3+2)

  5. Déterminer limx+1-x3x2-x

  6. Déterminer limx+11x-1x2, deux façons de faire, soit voir le 0+ en bas, soit même dénominateur.

  7. Déterminer limx0gauche1x1x2-1xx2-2x4

  8. Déterminer limx+x2(1+cos2x)x+1.

    Remarque: la notation cos2x signifie (cosx)2.

4.Divers

  1. 1) ROC

    1. Donner la définition de limx+f(x)=2

    2. Soit f croissante dans et vérifiant lim+f=2.

      Démontrer par des arguments logiques que pour tout x réel, f(x)2.

  2. (0,5) On pose h(x)=-x. Une fonction f vérifie limx+f(x)=-. Existe-t-il forcément un intervalle [K;+[ dans lequel f(x)<h(x) ?

  3. 0,5)Question ouverte. On appelle valeur absolue d'un réel x la grandeur :

    |x|={ xsix0 -xsix<0 .

    On pose f(x)=x|x| définie dans . On demande l'allure du graphe de f ainsi que les points de discontinuité des fonctions xf(sin(x)) et xsin(πf(x)).