Limites de fonctions

Table des matières

1.Représentations graphiques 1

2.Limites déterminées ou presque 1

3.Lever des indéterminations 2

4.Divers 2

1.Représentations graphiques

  1. Représenter les courbes Cf et Cg de deux fonctions définies sur et vérifiant simultanément les cinq propriétés suivantes :

  2. Vrai faux. Justifier les réponses.

    On pose f(x)=x-1x+1 et g(x)=x2-1x+1

    1. vrai faux : Le graphe de f admet une asymptote horizontale.

    2. vrai faux : Le graphe de g admet une asymptote verticale.

  3. Trouver toutes les asymptotes des deux fonctions f(x)=1x+1x2 et g(x)=1x+x2.

Remarque 1. Une fonction peut admettre x=a pour valeur interdite sans que sa courbe n'admette d'asymptote verticale d'équation x=a. Exemples f(x)=11x-a ou g(x)=x2-a2x-a.

Une courbe de fonction peut croiser ses asymptotes horizontales (mais pas ses asymptotes verticales sinon ce ne serait pas une fonction). Exemple f(x)=1+sinxx.

2.Limites déterminées ou presque

  1. Limites en + de :

    1. f(x)=2-x4 ;

    2. f(x)=1x2.

  2. Compléter les tableaux de produit et quotient de limites :

    × 0 1 +
    0
    1
    +
    ÷ 0+ 1 +
    0+
    1
    +

  3. Compléter les tableaux de somme et différence de limites :

    + 0 1 + -
    0
    1
    +
    -
    - 0 1 + -
    0
    1
    +
    -

  4. Limites pour x0x<0 de :

    1. g(x)=1+x2x

    2. h(x)=1+1xx

  5. Compléter les tableaux de produit et quotient de limites :

    × 0 1 +
    0
    1
    +
    ÷ 0+ 1 +
    0+
    1
    +

  6. Compléter les tableaux de somme et différence de limites :

    + 0 1 + -
    0
    1
    +
    -
    - 0 1 + -
    0
    1
    +
    -

3.Lever des indéterminations

3.1.Exercices formateurs

  1. Déterminer limx+(x+1-x).

    Intéressant, expliquer graphiquement et faire le lien avec f'(x)=12x.

  2. Déterminer limx1x11-1x-1.

    Deux méthodes, une avec f'(a) et une avec 1-qn1-q.

3.2.Exercices divers

cf aussi le livre Bordas.

  1. Limites en + de :

    1. f(x)=x3-x4 ;f(x)=x3-x490x5+x6.

  2. Déterminer limx+1-1xx2+x

  3. Déterminer limx0+1-1xx2+x

  4. Déterminer limx+(x3+1-x3+2)

  5. Déterminer limx+1-x3x2-x

  6. Déterminer limx+11x-1x2.

  7. Déterminer limx0gauche1x1x2-1xx2-2x4

  8. Déterminer limx+x(1+cos2x)x2+1.

4.Divers

  1. Croissances comparées :

    1. Existe-t-il une fonction f telle que limx+f(x)=+ et limx+f(x)x2=0 ?

      Oui : f(x)=x.

    2. Existe-t-il une fonction f telle que limx+f(x)=+ et limx+f(x)x=0 ?

      Oui : f(x)=x.

    3. Existe-t-il une fonction f telle que limx+f(x)=+ et limx+f(x)x=0 ?

      Oui : f(x)=x