Logarithme népérien

Table des matières

1.Relations algébriques 1

2.Dérivation 1

2.1.Dérivées simples 1

2.2.Dérivées emboîtées 1

3.Étude de fonctions 2

3.1.Études rapides 2

3.2.Études avec fonction auxiliaire 2

3.3.Études avec identification 2

3.4.Familles de fonctions 3

1.Relations algébriques

  1. Calculer :

    1. a=ln(2-1)

    2. b=2ln(1)-ln(e)

    3. c=ln(1e).

2.Dérivation

2.1.Dérivées simples

  1. i) Dériver f(x)=ln(3x)

    ii) Dériver g(x)=ln(3)+ln(x).

    On trouve la même chose, non ? Pourquoi ?

  2. Soient a,b des réels non nuls. Donner une formule pour f'(x) lorsque :

    1. f(x)=ln(ax) ;

    2. f(x)=ln(xb).

  3. Dériver :

    1. f(x)=xln(x)

    2. g(x)=ln(3x-9)

    3. h(x)=[ln(x)]2. Astuce : Utiliser (u2)'=2uu'.

2.2.Dérivées emboîtées

  1. Dériver :

    1. f(x)=x2lnx1+x2 ;

    2. g(x)=(ln(1+x2))2.

  2. Dériver de deux manières différentes :

    1. f(x)=x2lnx2 ;

    2. f(x)=ln(11+x2).

3.Étude de fonctions

3.1.Études rapides

  1. On pose, sur ]0;+[ : f(x)=(lnx)2x.

    1. Démontrer que f'(x)=lnx(2-lnx)x2. En déduire les variations de f.

    2. Pour lim+f, démontrer que f(x)=4(lnxx)2.

  2. On pose f(x)=ln(e2x-ex).

    1. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x) est défini.

    2. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x.

    3. Déterminer les limites de f.

    4. Déterminer la position de Cf par rapport à la droite y=x.

    5. Déterminer les variations de f et y retrouver les résultats du b. si possible.

    Réponses :

    1. X=e2x alors on veut X2-X>0X]-;0[]1;+[x]0;+[.

    2. Cela revient à étudier le signe de X2-X-1 :

      x / / / / / / / / / / / / / -0ln1+52+
      X -1-52011+52+
      X2-X-1 +0--0+
      ln(e2x-ex) / / / / / / / / / / / / / --0+

3.2.Études avec fonction auxiliaire

  1. On pose f(x)=lnx1+x2 sur ]0;+[.

    1. On pose φ(x)=1+x2-2x2lnx :

      1. Étudier les variations de φ.

      2. Déterminer lim0φ et lim+φ.

      3. Prouver que φ s'annule en un unique a, et que a]1;e[.

    2. Démontrer que f'(x)=φ(x)x(1+x2)2. En déduire les variations de f.

    3. Déterminer lim0φ.

    4. Déterminer lim+f (on pourra démontrer que f(x)lnxx2).

  2. On pose f(x)=x2+3x-xlnx sur ]0;+[.

    1. Déterminer les variations de f'.

    2. En déduire les variations de f.

3.3.Études avec identification

  1. On donne une fonction f définie sur ]0;+[, dont la courbe est la suivante :

    Figure 1.

    On indique que f(x)=2x(a(lnx)2+blnx+c), où a,b,c sont des réels.

    1. Déterminer a,b,c à l'aide des informations fournies par le graphique.

      Réponse : (a,b,c)=(2,-3,2).

    2. Démontrer que f'(x)=2(lnx+1)(2lnx-1).

    3. Donner le tableau de variations de f.

3.4.Familles de fonctions

  1. Pour k>0, on pose fk(x)=lnx-kx2+1 sur ]0;+[.

    1. Déterminer lim0fk. Déterminer lim+fk (on factorisera artificiellement fk(x) par x).

    2. Déterminer fk'(x), en déduire les variations de fk sur ]0;+[.

    3. Déterminer, en discutant suivant k, le nombre de solutions de l'équation fk(x)=0.

    4. Le point A(1,12) est sur une courbe Ck. Déterminer k.

    Réponse : le sommet a pour ordonnée 1-ln(2k)2 donc pour k<e2 deux solutions.

  2. Pour k>0, on pose fk(x)=ln(ex+kx)-x sur [0;+[.

    1. Déterminer fk(0).

    2. Démontrer que fk(x)=ln(1+kxex), en déduire lim+f.

    3. Dresser le tableau de variations de fk.

    4. Montrer que pour tout x0 on a fk(x)ke.

    5. Pour k<k', déterminer les positions relatives de Ck et de Ck'.