Exercices avec l'exponentielle

Table of contents

1.Exercices courts 1

2.Exercices longs 1

2.1.Utilisation d'une fonction auxiliaire 1

2.1.1.f(x)=(4-2x)ex 1

2.2.Exercices variés 2

2.2.1.f(x)=2x+2--2e2x+2e2x+1 2

2.2.2.Deux tangentes à Cf avec f(x)=Cekx 2

3.À propos de ch et sh 3

3.1.Introduction et propriétés 3

1.Exercices courts

  1. Montrer que la courbe Cf de la fonction f définie sur par f(x)=1x+ex admet exactement une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

    Réponse : pour l'asymptote horizontale, montrer avec le TVI que xx+ex admet exactement un zéro α et que α<0.

  2. simplifier e2xe-3x

  3. dériver f(x)=e-3xe5x et donner le sens de variations

  4. Variations de g(x)=(ex)2 et h(x)=ex2.

  5. étude de f(x)=x-ex

  6. étude de f(x)=(x+2)e-3x

    Réponse f'(x)=(-3x-5)e-3x. Donc +0- avec charnière en x=-53.

  7. On pose u(x)=eeex2. Donner le tableau de variations de u.

2.Exercices longs

2.1.Utilisation d'une fonction auxiliaire

2.1.1.f(x)=(4-2x)ex

On pose sur : f(x)=(4-2x)ex et Cf sa courbe.

  1. Donner les limites de f en + et -.

  2. Résoudre f(x)=0.

  3. Donner l'équation de T, la tangente en 0.

  4. On pose g(x)=f(x)-(2x+4), déterminer g''(x) et en déduire les positions relatives de Cf et de T.

Réponses :

On a :

Figure 1.

Puis T:y=4+2x puis g''(x)=-2xex puis g'(x)0 donc g donc Cf dessus puis dessous.

2.2.Exercices variés

2.2.1.f(x)=2x+2--2e2x+2e2x+1

On pose

f(x)=2x+2--2e2x+2e2x+1
.

  1. Démontrer que f peut aussi s'écrire :

    f(x)=2x+4e2xe2x+1 ou encore f(x)=2x+4-4e2x+1.

  2. Trouver lim-f et lim+f.

  3. Variations de f dans .

  4. Démontrer que pour tout x, on a 2x<f(x)<2x+4.

Réponse : Pour la dérivée on part de f(x)=2x+4-4e2x+1 et l'on trouve :

f'(x)=2--4×u'u2=2--4×(2e2x)(e2x+1)2=2+8e2x(e2x+1)2.

Ceci est toujours positif car une exponentielle et un carré sont toujours positifs.

Donc f est croissante sur .

2.2.2.Deux tangentes à Cf avec f(x)=Cekx

On considère les fonctions f(x)=Cekx, où C et k sont des nombres réels non nuls.

  1. Représenter sur un même repère le graphe de f pour les configurations suivantes :

    C 1 1 -1 1 1
    k 1 -1 -1 2 2
  2. Écrire l'équation de la tangente à f en une abscisse a, en fonction de C et de k.

    Écrire cette équation sous la forme y=Ckeka(x+λ).

  3. On souhaite que les deux droites Δ et Δ' soient des tangentes à Cf, avec :

    { Δ : y=54(x+1) Δ' : y=54e(x+5). .

    Déterminer C,k,a,a',λ,λ'.

La tangente en a a pour équation :

y = f'(a)(x-a)+f(a) = Ckeka(x-a)+Ceka = Ceka(kx+(1-ka)) = y=Ckeka(x+λ),

avec λ=1k-a.

Maintenant, on veut que trouver un a et un a' tels que :

{ Ckeka = 54 1k-a = 1 . et { Ckeka' = 54e 1k-a' = 5. .

En divisant la première ligne de gauche par la première ligne de droite on obtient :

ek(a-a')=e a-a'=1k.

En soustrayant la seconde ligne de gauche par la seconde ligne de droite on obtient :

a'-a=-4 a-a'=4.

On trouve donc

k=14, puis { a=3 a'=-1 . et enfin C=5e-3/4.

Figure 2. Courbe Cf et ses deux tangentes.

3.À propos de ch et sh

3.1.Introduction et propriétés

Pour tout x, on pose :

chx=ex+e-x2 et shx=ex-e-x2
  1. Déterminer ch0 et sh0.

  2. Limites en ± de ch et de sh.

  3. Parité ?

  4. Tableau de signes de ch et de sh.

  5. Déterminer ch'x tr sh'x. En déduire les variations de ch et de sh.

  6. Prouver de deux manières que ch2x-sh2x=1 :

    1. algébriquement, en remplaçant ch et sh par leur expression ;

    2. analytiquement, c'est-à-dire en posant f(x)=ch2x-sh2x et en étudiant les variations de f.

  7. Trouver une relation entre ch2x et ch2x.

    Trouver une relation entre sh2x et chx et shx.

  8. Montrer que pour tous réels a,b, on a :

    ch(a+b)=ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b) sh(a+b)=sh(a)ch(b)+sh(b)ch(a).
  9. On pose thx=shxchx : limites, variations.

  10. Montrer que :

    th(a+b)=th(a)+th(b)1+th(a)th(b) th(a-b)=th(a)-th(b)1-th(a)th(b).
  11. Compléter le tableau suivant :

    t -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
    cht
    sht
    .

    1. Placer sur un graphique tous les points de coordonnées (x=cht,y=sht).

    2. Dans GéoGebra, définir un curseur en tapant t=1 puis le point M=(cosh(t),sinh(t)), puis activer la trace de M.