Parabel & Quadratische Gleichungen

Table of contents

1.Plan du cours 2

1.A Algebra 2

2.B Geometrie 2

2.Cours 2

2.1.Plan du cours 2

2.2.Vocabulaire 3

2.3.Présentation 3

2.3.1.der Text 3

2.4.Résolution 3

2.5.Tableau de signes 4

3.Übungen 4

3.1.Übung 4

3.2.Vier Gleichungen 4

4.Physique 4

4.1.Laufbahn eines Balls 4

4.2.Laufbahn eines Balls, traduction 5

Voici la traduction de ce premier exercice du sujet blanc. 5

Vocabulaire de ce premier exercice 5

4.3.Laufbahn eines Balls, Antworten 5

Voici la correction de ce premier exercice du sujet blanc.

5

4.4.Laufbahn eines Balls, II 6

4.5.Jonas 7

4.6.Gewinn 7

4.7.Höhe 7

5.Questions à deux 7

6.Exercices de synthèse 8

6.1.Bilder 8

6.2.Quelques questions 8

6.3.Fragen über dem quadratischen Gleichungen ax2+bx+c=0 8

6.4.Fußball, Gewinn, Höhe… 9

7.praktische Anwendungen 9

7.1.Fotos 10

7.2.das Gesetzt des Reflexions 10

7.3.der Brennpunkt 10

7.4.Text 1 11

7.5.Der Sonnenofen 11

7.5.1.Lücken 11

7.5.2.der Text 11

1.Plan du cours

1.A Algebra

I a,b,c erkennen :

Text + Beispiele (Graphen mit b=0,c=0,mit b,c fest und verschiedenen Werten von a)

II Δ berechnen :

Text + Fall [a,c von verschiedenen Vorzeichen] + Graph mit >0 und mit <0

III x1 und x2 berechnen :

Text + Fall b=0 + Fall c=0 (Graph für jeden dieser beiden Fälle)

IV konkrete Anwendungen :

Fußball, mit Figur und Lösungen.

2.B Geometrie

I Richtung/6 Fälle :

Text + Bild der 6 Fälle

II Vorzeichentabelle

III Scheitelpunkt :

Formeln, Beispiel mit Scheitelpunkt als Maximum, Beispiel mit Scheitelpunkt als Minimum, Fall b=0

IV Umlaufbahnen

V Brennpunkt :

Figur mit Geogebra

VI Praktische Anwendungen des Brennpunkts :

Sonnenofen, Scheinwerfer, Lichtturm, Teleskop ≠ Fernrohr

2.Cours

2.1.Plan du cours

  1. Berechne die y-Koordinaten und fülle diese Tabelle aus. Stelle dann die zusammengehörende Punkte dar und verbinde sie ;

    x 1 1,5 2 2,5 3 x2-3x
  2. Reconnaître des équations classiques y=x2 et y=x {parabole horizontale} y=ax+b (chercher le mot pour fonction affine ou linéaire, et donner „Gerade“) y=1/x

  3. y=x2 ist die Gleichung einer Parabel, und y=x ist die Gleichung einer halbwaagenrechten Parabel. Die Gleichung der anderen Häfte wäre y=-x. Die Kurven der Gleichungen der Form y=ax+b sind Geraden. Diese Funktionnen sind lineare Funktionnen gennant. Der Graph der Funktion y=1/x heißt eine Hyperbel.

  4. Donner les trois mots réflexion réfraction et diffraction et trois schémas et demander de commenter.

  5. Reflexion : ein Strahl kommt zu einer Spiegel oder einer reflektierenden Fläche, und „prallt zurück“. Dann gibt es ein ankommender Strahl, und ein reflektierter Strahl. Das gesetzt des Reflexions kann angewandet werden, um die Umlaufbahn zu berechnen.

  6. Refraktion, oder Brechung : ein Strahl kommt zu der Oberfläche eines Bargelds, und wird dann umgeleitet als er durch das flüssige Milieu durchdringt.

  7. Diffraktion, oder Beugung : ein Strahl kommt durch ein Wassertropfen, oder durch ein sehr kleines Öffnen, und wird in allen Richtungen umgeleiten (gebeugt).

  8. Dictée sur l‘un des deux textes ?

  9. Schéma d‘une antenne parabolique, d‘un satellite, des rayons qui convergent, donner Wellenempfang, ondes radio, signal, „câble“

  10. Die Parabelantenne kann ein elektromagnetisches Signal empfangen, eben wenn die Qvelle dieses Signals sehr weit entfernt steht (Steighöhe eines Erdstationären Satellitts ca 36000km…) 6. schéma détaillé d‘une lunette et d‘un téléscope, Galilée et Newton, Galilée brûlé, image…

  11. Durch eine Sammellinse konvergieren die Strahlen zu einem Punkt, das Foyer oder der Brennpunkt. Das wurde von Galilée entdeckt. Newton hat diese Teknich ausbessert, durch die Benutzung eines Spiegels. So gibt es kein Problem mit der Undurchsichtigkeit der Linsel.

  12. Image d‘un four solaire avec la casserole.

  13. Mit einem Sonnenofer kann man einfach kochen, aber mt ist von der Sonne abhängig !

  14. Faire préparer schémas pour la prochaine fois, avec compte rendu sur courbes (déjà fait) et paraboles.

2.2.Vocabulaire

die quadratische Gleichung

die Nullstelle

der Scheitelpunkt

die Koordinaten : der x-Wert, der y-Wert

lösen, erlösen, die Lösung, die Lösungsmenge

die Vorzeichentabelle

die Umlaufbahn

die Höhe

die Formel rechnen, berechnen, ausrechnen

Betrieb : Einkommen, herstellen, die Produktionskosten,

der Gewinn bestimmen

schreiben, zeichnen, bilden

2.3.Présentation

fichier audio parabel.mp3

2.3.1.der Text

„Die Parabel hat eine bedeutende Eigenschaft, die beim Wellenempfang und Sonnenofen ausgenutzt wird: Lichtstrahlen, die parallel zu ihrer Symmetrieachse einfallen, werden im selben Punkt reflektiert, dem sogenannten Brennpunkt der Parabel“.

2.4.Résolution

Lösungen der quadratischen Gleichung ax2+bx+c=0.

Ich rechne den ………………. . Die Formel ist …………………………………

3 Fälle:

Wenn…………………

Wenn…………………

Wenn…………………

Dann rechne ich die zwei Lösungen x1= und x2=

Anwendungen:

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen:

  1. x2-4x+3=0

  2. x2-4x+5=0

  3. x2+4x+1=0

2.5.Tableau de signes

Die Funktion f hat den Term f(x)=x2-8x+15. Berechne die Nullstellen der Funktion f. Auf dem Graphen können wir die Vorzeichen von f(x) lesen. Fülle die Vorzeichentabelle aus.

Selbe Übung mit g(x)=-2x2+x+10 (gib einen gerundeten Wert der Nullstellen) und mit h(x)=3x2-x+2.

Gesetzt : das Vorzeichen von f(x)=ax2+bx+c kommt auf dem Wert von x an :

Bestimme die Vorzeichentabelle von f(x)=-3x2+9x-6 und von g(x)=x2-x+1 und vor h(x)=x2-x-1.

3.Übungen

3.1.Übung

  1. Zeichne eine Parabel mit der Gleichung 2x2-4x-1=0.

  2. Zeichne einen freien Punkt M(x,y) auf diesem Parabel.

  3. Zeichne die Punkte N(x,0) und P(0,y) und die Strecke MN und MP mit Punktierungen.

  4. Zeichne eine Zahl a=-4 (den Wert von a darstellen).

  5. Ersezte -4 in der Gleichung mit a.

3.2.Vier Gleichungen

Lösen Sie diese 4 Gleichungen

(G1)4x2-4x+1=0

(G2)-x2-x-1=0

(G3)-2x2-2x+12=0

(G4)-x2-x+1=0

Benützen Sie dann diese 4 Beispiel, um die 4 Fälle der quadratischen Gleichung zu vorstellen

4.Physique

4.1.Laufbahn eines Balls

Die Laufbahn eines Balls folgt der Kurve f(x)=-180x2+x3.

  1. Was ist die Name dieser Kurve ?

  2. Was ist die Höhe des Balls für den x-Wert x=40 ? (Gib einen gerundeten Wert)

  3. Was sind die x-Werte der Punkte, die die Höhe 20 haben ?

  4. Die Mauer AB hat die Höhe 6. Was soll der Abstand zwischen A und O sein, damit das Ball über die Mauer läuft ?

  5. Berechne den y-Wert des Höchsten Punkts der Parabel. Zur Überprüfung benutze den Graph.

  6. Berechne die Länge des Umlaufs des Balls (Löse f(x)=0).

4.2.Laufbahn eines Balls, traduction

Voici la traduction de ce premier exercice du sujet blanc.

Die Laufbahn eines Balls folgt der Kurve f(x)=-180x2+x3

La trajectoire d'une balle suit la courbe f(x)=

1) Was ist die Name dieser Kurve ?

Quel est le nom de cette courbe ?

2) Was ist die Höhe des Balls für den x-Wert x=40 ? (Gib einen gerundeten Wert)

Quelle est la hauteur de la balle à l'abscisse x=40 ? (Donne une valeur arrondie)

3) Was sind die x-Werte der Punkte, die die Höhe 20 haben ?

Quelles sont les abscisses des points qui ont une hauteur 20 ?

5) Berechne den y-Wert des höchsten Punkts der Parabel. Zur Überprüfung benutze den Graph.

Calcule l'abscisse du point le plus haut de la parabole. Pour vérifier, utilise le graphe.

6) Berechne die Länge der Laufbahn des Balls (Löse f (x)=0)

Calcule la longueur de la trajectoire de la balle

4) Die Mauer AB hat die Höhe 6. Was soll der Abstand zwischen A und O sein, damit der Ball über die Mauer läuft ?

Le mur a pour hauteur 6. Quelle doit être la distance entre A et O, pour que la balle passe par dessus le mur ?

Vocabulaire de ce premier exercice

die Laufbahn = la trajectoire/der Parabel;der Kreis;die Gerade /der Scheitelpunkt = le sommet/der Schnittpunkt = le point d'intersection.

der Wert = la valeur/der x-Wert = labscisse/der y-Wert = l'ordonnée/der gerundete Wert = la valeur arrondie.

der Radikant = le déterminant (Δ)

4.3.Laufbahn eines Balls, Antworten

Voici la correction de ce premier exercice du sujet blanc.

Die Laufbahn eines Balls folgt der Kurve f(x)=-180x2+x3

Les / signifie plusieurs formulations possibles pour la réponse.

1) Was ist die Name dieser Kurve ?

Diese Kurve ist eine Parabel/Diese Kurve wird Parabel bennant/Diese Kurve hat für Name Parabel. Autres courbes à connaître si questions : der Kreis (le cercle)/die Gerade (la droite)

2) Was ist die Höhe des Balls für den x-Wert x=40 ? (Gib einen gerundeten Wert)

On demande de remplacer x par 40 dans f(x) ce qui signifie calculer f(40) ou dit autrement encore, de calculer l'ordonnée du point d'abscisse 40 :

ich berechne f(40)/ich ersetze x mit 40 in f(x)/ich finde f(40)

[je dois calculer ceci] f(40)=-180×402+40×3 [ensuite je m'aide de la calculatrice pour une valeur approchée].

3) Was sind die x-Werte der Punkte, die die Höhe 20 haben ?

C'est assez simple et vous connaissez déjà tous les termes qui suivent, depuis longtemps; malgré tout je résume tout pour que ce soit bien clair :

[Ici c'est le contraire de la question 2] Ich löse die gleichung f(x)=20/Ich soll die Gleichung f(x)=20 lösen/Ich soll x finden, wenn f(x)=20./Ich soll den Wert von x finden, um f(x)=20 zu haben.

[Pour la résolution je dois écrire -180x2+x3=20. Les coefficients le jour de l'oral seront vraisemblablement plus simples. Avec ceux de cet énoncé en tous cas, il convenait de toute écrire à gauche : -180x2+x3-20=0. Ensuite on peut, et c'est conseillé, tout multiplier par -80 ce qui donne x2-80x3+1600=0 :]

Ich multipliziere jede Seite mit -80/Ich multipliziere beide Seiten mit -80.

[ensuite on calcule Δ] Ich berechne Delta/Ich finde den Wert den Radikanten/ich soll zuerst den Radikanten berechnen. [On trouve Δ=12800]

[Ensuite on calcule x1 et x2] Dann rechne ich die beide Lösungen/dann finde ich x1 und x2/Als Δ positiv ist, bin ich sicher, dass es zwei Lösungen gibt [On trouve 12 et 124 environ]

Questions possibles : können Sie ihres Ergebnis auf dem Graph überprüfen ? [pouvez vous vérifier sur le graphique]. Réponses possibles : ich lese auf dem Graph, dass…/ich suche y=20 auf dem Graph, ich finde x=…/ich sehe auf dem Graph die x-Werte der Punkte [génitif « les abscisses des points »] mit y=20/ich zeichne die Gerade mit Gleichung y=20. Sie schneidet die Parabel für x=...

5) Berechne den y-Wert des höchsten Punkts der Parabel. Zur Überprüfung benutze den Graph.

[Il s'agit du sommet] On utilise les formules, à connaître S(xS=-b2a;yS=-Δ4a)

Question possible : was ist die Name dieser Punkt. Réponse : dieser Punkt ist der Scheitelpunkt (sommet) der Parabel (génitif « de la parabole »).

Les questions qui précèdent ressemblent probablement beaucoup à celles que vous aurez à l'oral si vous tombez sur le second degré. (Naturellement, si c'est le cas, les chiffres seront très différents, évidemment).

Les deux questions suivantes, je les ai mises à la fin, car ce seront deux questions de réflexion qui ne seront pas forcément les mêmes que celles ci.

6) Berechne die Länge der Laufbahn des Balls (Löse f (x)=0). Ich löse f(x)=0, ich finde x=0 (Ursprung des Systems) und x139 (2ter Schnittpunkt zwischen der Parabel und der y-Achse)

4) Die Mauer AB hat die Höhe 6. Was soll der Abstand zwischen A und O sein, damit der Ball über die Mauer läuft ? Ich löse f(x)=6 ich finde ungefähr x=6 und x=134.

4.4.Laufbahn eines Balls, II

Figure 1.

Die Laufbahn eines Balls folgt der Kurve f(x)=-2x2+40x.

    Was ist der Name dieser Kurve ?

    Was ist die Höhe des Punkts dieser Kurve mit den x-Wert x=2 ?

    Was sind die mögliche x-Werte des Balls, wenn er die Höhe 100 hat ?

    Rechne die Koordinaten des höchsten Punkts der Parabel aus. Zur Überprüfung benutze den Graph.

    Was ist die Länge der Laufbahn des Balls ? (Löse f(x)=0).

4.5.Jonas

Jonas spielt Fußball und wirft einen Ball.

Die Umlauf des Balls folgt der Gleichung f(x)=2x-0,1x2 (x ist der x-Wert und f(x) die Höhe).

a) Rechne den x-Wert der beiden Punkte aus, dessen Höhe 0 ist.

b) Rechne den x-Wert der beiden Punkte aus, dessen Höhe 5 ist.

c) Berechne die maximal Höhe des Umlaufs, und den x-Wert dieser Höhe.

4.6.Gewinn

Ein Betrieb stellt x Objekte pro Tag her. Alle hergestellten Objekte sind verkauft, jeder für den Preis 5€.

a) Schreibe die Formel k(x) der Einkommen.

Die Produktionskosten sind p(x)=x2600+3333,33.

b) Schreibe die Formel g(x) des Gewinns, und bestimme die Vorzeichentabelle von der Funktion g.

c) Wieviele Objekte soll der Betrieb herstellen, um nicht defizitär zu sein ? Berechen den maximale Gewinn

4.7.Höhe

Eine Hügel (une colline) hat die Form des Graphs der Funktion h(x)=40-x210.

a) Berechne den x-Wert von allen Punkte der Hügel, die die Höhe 10 haben.

b) Bestimme die Vorzeichentabelle der Funktion h(x)-10.

c) Was sind die x-Werte der Punkten, die höher als 10 sind. Rechne die maximal Höhe der Hügel aus.

5.Questions à deux

Formulez des questions à votre partenaire en utilisant les éléments donnés de la séquence 1 et celui-ci doit vous répondre. Ensuite, pour la séquence 2, vous échangez : celui qui interrogeait doit maintenant répondre.

Utilisez à volonté tous les documents de votre cours, en particulier les derniers (Jonas spielt Fußball etc.) pour vous aider avec le vocabulaire.

Séquence 1

Jonas - Ball - Umlaufbahn - Gleichung

Maximale Höhe ? - Punkte mit y-Werte = 0 ?

Séquence 2

Hügel - form - Parabel - Gleichung

Maximale Höhe ? - Punkte mit y-Wert 50 ?

Vorzeichentabelle von f(x)-50.

6.Exercices de synthèse

6.1.Bilder

Unter den folgenden Kurven, welche sind Parabel ?

Figure 2.

6.2.Quelques questions

  1. Wie viele Lösungen hat die Gleichung x2-x-1=0 ?

    0 / 1 / 2 / 3
  2. Ein Jung wirft einen Ball. Die Umlaufbahn des Balls ist ?

    ein Kreis / eine Parabel / eine Gerade / ein Dreieck
  3. Sieht die Parabel y=1-x2 hinauf oder herunter ?

  4. Eine Parabel sieht herunter. Was ist das Vorzeichen von a ?

    positiv / negativ
  5. Eine Parabel sieht herunter und hat keine Nullstellen. Was ist das Vorzeichen von dem Produkt Δa ?

    positiv / negativ
  6. der y-Wert des Scheitelpunkts ist ?

    a2b / -2ab / -ba / b2a / -b2a

  7. Wie viele Elemente hat die Lösungsmenge der Gleichung x2-2=0 ?

    0 / 1 / 2 / 3
  8. Wie viele Nullstelle hat die Funktion f(x)=x2 ?

    0 / 1 / 2 / 3
  9. Was ist die Vorzeichentabelle der Funktion f(x)=2x2-x+4 ?

    +++ / +-+ / --- / -+-
  10. Die Umlaufbahn des Monds (la lune) ist ?

    ein Kreis / eine Parabel / eine Gerade / ein Dreieck
  11. die Formel des Gewinns ist ?

    Produktionskosten minus Einkommen / Einkommen minus Produktionskosten

  12. Eine Parabel sieht hinauf. Was ist das Vorzeichen von dem Produkt Δa ?

    positiv negativ
  13. Ist der Scheitelpunkt der Parabel y=x-3-x2

    ein Minimum / ein Maximum ?

6.3.Fragen über dem quadratischen Gleichungen ax2+bx+c=0

  1. Stellen wir uns vor, dass Δ=0 ist. Ist est möglich, dass die Rechnung nicht aufgeht ?

  2. Wenn Δ=20 ist, geht es dann auf ?

  3. Nehmt die Gleichung x2-2x-5=0.

    Ich sage, dass es 2 Lösungen gibt. Habe ich Recht ?

    Ich sage, dass es nicht aufgeht. Habe ich Recht ?

    Ich sage, dass der Produkt der Lösungen aufgeht. Rechnet nach, ob dies stimmt.

  4. Stimmt folgende Aussage: « wenn a und b verschiedene Vorzeichen haben, dann gibt es 2 Lösungen. »?

  5. Ich sage: « wenn b=0 ist, dann gibt es keine Lösung ». Habe ich Recht ?

  6. Ich sage : « wenn a=0 ist, gibt es immer 2 Lösungen. ». Habe ich Recht ?

  7. Ich sage: « wenn c=0 ist, geht die Gleichung immer auf. » Habe ich Recht ?

  8. Können die Ausdrücke…

    x1=-14+32 und x2=-14-32

    …lösungen der Gleichung -2x2+2x+1=0 sein ?

  9. Hat die Gleichung x22+x+12 zwei Lösungen ?

6.4.Fußball, Gewinn, Höhe…

  1. Fußball

    Jonas spielt Fußball und wirft einen Ball. Die Umlauf des Balls folgt der Gleichung f(x)=2x-0,1x2 (x ist der x-Wert und f(x) die Höhe)

    1. Rechne den x-Wert der beiden Punkte aus, dessen Höhe 0 ist.

    2. Rechne den x-Wert der beiden Punkte aus, dessen Höhe 5 ist.

    3. Neue Formel : die Koordinaten des Scheitels sind S(-b2a;-Δ4a). Berechne die maximal Höhe des Umlaufs, und den x-Wert dieser Höhe.

  2. Gewinn

    Ein Betrieb stellt x Objekte pro Tag her. Alle hergestellten Objekte sind verkauft, jeder für den Preis 5 euro.

    1. Schreibe die Formel k(x) der Einkommen

    2. Die Produktionskosten sind p(x)=30-65×(x-5)2. Schreibe die Formel g(x) des Gewinns, und bestimme die Vorzeichentabelle von der Funktion g.

    3. Wieviele Objekte soll der Betrieb herstellen, um nicht defizitär zu sein ? Berechen den maximale Gewinn.

  3. Höhe

    Eine Hügel (une colline) hat die Form des Graphs der Funktion h(x)=40-x210.

    1. Berechne den x-Wert von allen Punkte der Hügel, die die Höhe 10 haben.

    2. Bestimme die Vorzeichentabelle der Funktion h(x)-10.

    3. Was sind die x-Werte der Punkten, die höher als 10 sind ?

    4. Rechne die maximal Höhe der Hügel aus.

7.praktische Anwendungen

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7.1.Fotos

Die Parabolantenne und das Teleskop (von Newton XVII Jahrhundert erschaffen) :

Figure 3.

Der Sonnenofen

Figure 4. klein und handwerklich / industriell oder experimental

7.2.das Gesetzt des Reflexions

Wenn ein Lichtstrahl an einem Spiegel sich reflektiert, sind der Winkel zwischen dem ankommenden Strahl und dem Spiegel und der Winkel zwischen dem reflektierten Strahl und dem Spiegel gleich. Das ist das Gesetzt des Reflexions.

7.3.der Brennpunkt

Ein senkrechter Sonnenstrahl kommt auf einen parabolischen Spiegel. Wir wollen die Umlaufbahn der ankommenden und reflektierten Strahlen zeichnen.

Füllen Sie die folgende Tabelle aus, und dann stellen Sie die zusammengehörenden Punkte auf einem Millimeterpapier dar, mit dem Achsenkreuz Mitte/unten, Maßeinteilung 2cm = 1 Einheit

x

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

x2

Verbinden Sie die Punkte und Sie haben eine Parabel.

Zeichnen sie (a) einen senkrechten Sonnenstrahl, zB mit x-Koordinate x=-1. Benennen Sie K den Schnittpunkt zwischen Strahl und Parabel. Zeichnen Sie die ergebende Tangente zu der Parabel am Punkt K. (b) Tragen Sie den Winkel zwischen Strahl und Tangente ein. (c) Zeichnen Sie dann den reflektierten Strahl. Benutzen Sie dafür das Gesetzt der Reflexion eines Strahls. (d)

Wiederholen sie dies für alle senkrechten Strahlen für x=-3,5 x=-3 usw bis x=3,5. Welche wichtige Eigenschaft erkennen Sie ?

Figure 5.

7.4.Text 1

„Die ______________ hat eine bedeutende ________________, die beim ___________________ und _______________ aus_____________ wird: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, werden _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, dem sogenannten _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ “.

7.5.Der Sonnenofen

fichier audio sonnenofen.mp3

7.5.1.Lücken

Der "_________________" von Odeillo, der _______ ___________ in den ___________________ Pyrenäen zu Forschungszwecken betrieben wird, hat __________ Fang____________, _______ das ___________ auf den _______ __________ großen Hohlspiegel __________________. Dieser ____________ dann die Strahlung _______ den Absorber. Die dabei erzeugte __________ kann bis zu ____________ ______________

7.5.2.der Text

Der "Sonnenofen" von Odeillo, der seit 1972 in den französischen Pyrenäen zu Forschungszwecken betrieben wird, hat 63 Fangspiegel, die das Sonnenlicht auf den 2000 m² großen Hohlspiegel reflektieren. Dieser konzentriert dann die Strahlung auf den Absorber. Die dabei erzeugte Temperatur kann bis zu 4000°C betragen